Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса

Содержание

Вы уже знаете, что такое луч (урок «Луч в геометрии»), и умеете сравнивать отрезки наложением (урок «Измерение отрезков»). В этом уроке — следующая фигура геометрии: угол. Разберем, как его обозначать, какой угол называют развернутым, как сравнить два угла без измерений и что такое биссектриса. Все это объясняет одна модель: угол можно получить поворотом луча.

Вопрос для начала. У маникюрных ножниц лезвия короткие, у садовых — в несколько раз длиннее. На схеме ниже — раскрытые ножницы: лезвия показаны сторонами углов. У каких ножниц угол между лезвиями больше? Запомните свой ответ — проверим его в третьем разделе.

Схема двух раскрытых ножниц: угол 1 — садовые ножницы с длинными лезвиями, угол 2 — маникюрные с короткими. Какой угол больше? — Угол 1 — садовые ножницы с длинными лезвиями, угол 2 — маникюрные с короткими. Какой угол больше?

Угол можно получить поворотом луча

Нарисуем луч $OA$ и будем поворачивать его вокруг начала $O$, как стрелку часов. Остановимся в положении $OB$. Начальное положение луча ($OA$) и конечное ($OB$) вместе с точкой $O$ образуют фигуру — угол.

Луч OA поворачивается вокруг точки O до положения OB; пунктиром — промежуточные положения луча. Получился угол AOB — Луч $OA$ повернули до положения $OB$. Пунктир — промежуточные положения луча

Определение

Угол — геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Угол — это фигура, а поворот — способ ее получить и представить. От $OA$ до $OB$ луч можно довести двумя поворотами — в одну и в другую сторону. Для угла всегда берем тот, который не больше пол-оборота. Насколько повернули луч — такова и величина угла; на ней держится все дальнейшее.

Угол обозначают знаком $\angle$. Угол со сторонами $OA$ и $OB$ записывают тремя буквами: $\angle AOB$ или $\angle BOA$. Вершина всегда стоит в середине записи, а крайние буквы можно писать в любом порядке — это один и тот же угол. Если при вершине только один угол, можно написать одну букву: $\angle O$. Еще угол обозначают цифрой или греческой буквой у дуги: $\angle 1$, $\angle\alpha$.

Угол с вершиной O и сторонами OA и OB. Его обозначают ∠AOB, ∠BOA, ∠O или ∠1 — вершина всегда в середине записи — Один и тот же угол: $\angle AOB = \angle BOA = \angle O = \angle 1$

Обратите внимание

Если из одной точки выходят три луча, при вершине уже три угла. Тогда запись $\angle O$ непонятна, и угол обозначают только тремя буквами.

Пример

Задача. Из точки $O$ выходят три луча: $OA$, $OB$ и $OC$, луч $OB$ лежит между $OA$ и $OC$. Назовите все углы с вершиной $O$.

Решение. Угол задается парой лучей с общим началом. Пар три: $OA$ и $OB$, $OB$ и $OC$, $OA$ и $OC$. Получаем $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle AOC$. Обозначить какой-то из них коротко, $\angle O$, нельзя: непонятно, о каком угле речь.

Ответ: три угла — $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle AOC$.

{"questions":[{"content":"Выберите все записи, которыми можно обозначить угол с вершиной $O$ и сторонами $OM$ и $OK$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle MOK$","$\\angle KOM$","$\\angle OMK$","$\\angle MKO$"],"answer":[0,1],"explanations":["","","В середине записи стоит вершина угла. Здесь в середине $M$ — это угол с вершиной $M$.","В середине записи стоит $K$ — это угол с вершиной $K$, а нужна вершина $O$."]}}},{"content":"Из точки $O$ выходят четыре луча: $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$. Сколько всего углов с вершиной $O$ они образуют?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["6","шесть"],"inline":1}},"hints":["Каждый угол задается парой лучей с общим началом $O$.","Пары с лучом $OA$: $OA$ и $OB$, $OA$ и $OC$, $OA$ и $OD$ — 3 угла. Пары с $OB$ без $OA$: $OB$ и $OC$, $OB$ и $OD$ — еще 2.","Осталась пара $OC$ и $OD$. Всего $3 + 2 + 1 = 6$ углов."],"step":1}],"mix":1}

Пол-оборота: развернутый угол

Продолжим поворачивать луч. В какой-то момент он уйдет в сторону, прямо противоположную $OA$: стороны угла лягут на одну прямую. Луч сделал пол-оборота (рисунок справа).

Слева: внутренняя область угла AOB закрашена до краев рисунка и продолжается дальше, точка M внутри угла, N вне его, луч OC проходит внутри угла. Справа: развернутый угол AOB — луч OA повернулся на пол-оборота; внутренней областью можно считать любую из двух полуплоскостей, здесь закрашена верхняя — Слева: внутренняя область угла $AOB$ закрашена (она продолжается и дальше рисунка), точка $M$ лежит внутри угла, $N$ — вне его. Справа: развернутый угол — пол-оборота луча; закрашена одна из двух полуплоскостей

Определение

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны от вершины.

А если луч не повернули совсем, он совпадет с $OA$. Такую фигуру из двух совпавших лучей углом не считают — подробнее об этом в следующем уроке.

Любой угол делит плоскость на две части. У неразвернутого угла та часть, которую луч «заметает» при повороте от $OA$ к $OB$ (меньше чем на пол-оборота), называется внутренней областью угла; она закрашена на рисунке слева и продолжается без конца, как и стороны угла. У развернутого угла обе части — полуплоскости, и внутренней областью можно считать любую из них.

Луч, который выходит из вершины и проходит во внутренней области угла, делит угол на два угла: на рисунке луч $OC$ делит $\angle AOB$ на $\angle AOC$ и $\angle COB$.

Пример

Задача. Точка $O$ лежит на прямой $AB$ между точками $A$ и $B$. Луч $OC$ не лежит на этой прямой. Назовите все углы с вершиной $O$ и укажите развернутый.

Решение. Пар лучей три: $OA$ и $OB$, $OA$ и $OC$, $OC$ и $OB$, значит, углов три: $\angle AOB$, $\angle AOC$, $\angle COB$. Лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от $O$, поэтому $\angle AOB$ — развернутый. Луч $OC$ лежит в одной из полуплоскостей — во внутренней области развернутого угла — и делит его на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$.

Ответ: $\angle AOB$ (развернутый), $\angle AOC$, $\angle COB$.

Такую пару углов — два угла, которые вместе составляют развернутый угол, — подробно изучают в уроке о смежных углах.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Какие точки лежат во внутренней области угла $AOB$? Выберите все.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w6qyqbua9otu.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$P$","$Q$","$R$","$S$"],"answer":[0,1],"explanations":["","","Точка $R$ лежит по другую сторону от луча $OB$ — вне угла.","Точка $S$ лежит под лучом $OA$ — вне угла."]}},"hints":["Внутренняя область — часть плоскости между сторонами $OA$ и $OB$, она продолжается без конца, дальше нарисованных концов сторон.","Точка $Q$ лежит за отрезком $AB$, который соединяет концы нарисованных сторон. Но она между лучами $OA$ и $OB$, а лучи продолжаются без конца, — значит, $Q$ внутри угла."],"step":1},{"content":"Распределите углы: какие из них развернутые?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Развернутый","Не развернутый"],"items":[["$\\angle AOB$, если $O$ — середина отрезка $AB$","$\\angle MKN$, если точка $K$ лежит на отрезке $MN$ и не совпадает с его концами"],["$\\angle KOM$, если точки $K$, $O$, $M$ не лежат на одной прямой","$\\angle AOB$, если луч $OB$ повернут от $OA$ меньше чем на пол-оборота"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Развернутый угол: стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от вершины — вершина лежит между точками на сторонах.","Если $O$ лежит на отрезке $AB$ между $A$ и $B$, лучи $OA$ и $OB$ противоположны — угол развернутый. Если поворот меньше пол-оборота, стороны на одну прямую не легли."],"step":1}],"mix":1}

Как сравнить два угла без измерений

Вернемся к ножницам из начала урока. Углы на глаз почти одинаковые, и многие выбирают «угол 1 больше»: у садовых ножниц длинные лезвия. Проверим.

Отрезки вы сравнивали наложением. Углы сравнивают так же: наложим угол 2 на угол 1 так, чтобы совпали вершины и нижние стороны, а вторые стороны оказались с одной стороны от общей.

Наложение: вершины совмещены, нижние стороны совпали. Вторая сторона угла 1 прошла внутри угла 2, значит, угол 1 меньше угла 2. Короткая сторона угла 2 продолжена пунктиром: стороны угла — лучи, их длина на рисунке ничего не значит — После наложения вторая сторона угла 1 прошла внутри угла 2: угол 1 меньше. Пунктир — продолжение короткой стороны угла 2

Правило

Чтобы сравнить два угла, их накладывают: вершину на вершину, сторону на сторону, а вторые стороны располагают с одной стороны от общей стороны.

Если вторые стороны совпали, углы равны. Угол, вторая сторона которого прошла внутри другого угла, меньше этого другого угла.

Ошибка

«У угла 1 стороны длиннее, значит, он больше». Стороны угла — лучи, они бесконечны; на рисунке видна только их часть, и ее длину художник выбирает сам. Продолжите короткие стороны угла 2 пунктиром — угол не изменится: луч повернут на столько же. Величина угла показывает, насколько повернули луч, а не какой длины нарисованы стороны.

Ответ на вопрос из начала урока: на схеме у садовых ножниц угол между лезвиями меньше, чем у маникюрных, хотя их лезвия в несколько раз длиннее.

Пример

Задача. В тетради нарисованы два угла в разных местах страницы. Как сравнить их без измерений?

Решение. Положите на один угол кальку (прозрачную бумагу) и обведите его. Перенесите кальку на второй угол: совместите вершины и одну пару сторон, а вторые стороны расположите с одной стороны от общей. Посмотрите, где оказалась вторая сторона перерисованного угла: совпала со стороной второго угла — углы равны; прошла внутри второго угла — перерисованный угол меньше. Если стороны на рисунке короткие, продлите их линейкой: угол от этого не изменится.

uploaded-ugol-povorot-8d3971ae5878

{"questions":[{"content":"Ученик сравнил два угла: «У угла 1 стороны по 7 см, у угла 2 — по 3 см, значит, угол 1 больше». Что можно ему ответить?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Длина сторон не влияет на угол: нужно наложить углы и посмотреть, где окажется вторая сторона","Все верно: чем длиннее стороны, тем больше угол","Нужно сравнить расстояния между концами сторон","Нужно сравнить дуги: у какого угла дуга нарисована больше, тот и больше"],"answer":[0],"explanations":["","Стороны угла — лучи; их можно продолжить сколько угодно, а угол при этом не меняется.","Расстояние между концами сторон зависит от того, какой длины нарисованы стороны: продлите их — расстояние вырастет, а угол останется тем же.","Дугу можно нарисовать любого радиуса — это только отметка угла. Размер дуги, как и длина сторон, зависит от рисунка."]}}},{"content":"Углы $AOB$ и $KOM$ наложили: вершины совпали, сторона $OA$ легла на $OK$, а сторона $OB$ прошла внутри угла $KOM$. Значит, $\\angle AOB$ [[fill_choice-1]] $\\angle KOM$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["меньше","равен","больше"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Сторона $OB$ осталась внутри угла $KOM$ — луч $OB$ повернут от общей стороны меньше, чем луч $OM$.","Значит, $\\angle AOB$ меньше $\\angle KOM$."],"step":1}],"mix":1}

Биссектриса: остановиться на полпути

Нарисуйте угол на листе бумаги и сложите лист так, чтобы сторона $OA$ легла на сторону $OB$. Линия сгиба пройдет через вершину и разделит угол на два угла. При сгибе они совпали — значит, они равны.

Перегибание: слева — лист с углом AOB, пунктир — линия сгиба, стрелка показывает, куда ляжет сторона OA. Справа — лист сложен: сторона OA легла на OB, линия сгиба OC делит угол пополам — Слева — лист с углом $AOB$ и линией сгиба. Справа — лист сложен: сторона $OA$ легла на $OB$, сгиб $OC$ делит угол пополам

Определение

Биссектриса угла — луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

В модели поворота биссектриса — это остановка ровно на полпути от $OA$ к $OB$. У неразвернутого угла биссектриса одна. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных угла, которые называют прямыми; о них подробнее — в следующем уроке. Как построить биссектрису циркулем и линейкой, рассказано в уроке «Задачи на построение циркулем и линейкой».

Слева: луч OC — биссектриса угла AOB, поворот от OA остановлен на полпути, ∠AOC = ∠COB. Справа: биссектриса развернутого угла делит его на два равных угла — Слева: поворот от $OA$ остановлен на полпути — $OC$ биссектриса, $\angle AOC = \angle COB$. Справа: биссектриса развернутого угла

Пример

Задача. Луч $OC$ — биссектриса угла $AOB$, а луч $OD$ — биссектриса угла $AOC$. Какую часть угла $AOB$ составляет угол $AOD$?

Решение. Биссектриса $OC$ делит $\angle AOB$ пополам: $\angle AOC$ — половина $\angle AOB$. Биссектриса $OD$ делит пополам уже $\angle AOC$: $\angle AOD$ — половина от половины. Если сложить лист по $OC$, а потом еще раз по $OD$, получится четыре слоя — четыре равных угла.

Ответ: четверть угла $AOB$.

Обратите внимание

Для неразвернутого угла: биссектриса проходит внутри угла. Если $\angle AOC = \angle COB$, но луч $OC$ лежит вне угла $AOB$, то $OC$ — не биссектриса: он идет в сторону, противоположную биссектрисе.

{"questions":[{"content":"Луч $OC$ — биссектриса угла $AOB$. Выберите все верные утверждения.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle AOC = \\angle COB$","$\\angle AOB$ составлен из двух углов, равных $\\angle AOC$","$\\angle AOC = \\angle AOB$","Отрезки $OC$ и $OA$ равны"],"answer":[0,1],"explanations":["","","$\\angle AOC$ — только половина угла $AOB$.","Биссектриса — луч, она делит пополам угол, а не отрезки. Длины на рисунке могут быть любыми."]}}},{"content":"Угол $AOB$ не развернутый. Луч $OC$ лежит вне угла $AOB$, и $\\angle AOC = \\angle COB$. Можно ли назвать $OC$ биссектрисой угла $AOB$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет: биссектриса проходит внутри угла, а $OC$ направлен в противоположную ей сторону","Да: углы $AOC$ и $COB$ равны","Да: луч $OC$ выходит из вершины $O$","Нет: биссектриса должна образовывать со сторонами прямые углы"],"answer":[0],"explanations":["","Равенства углов мало: по определению биссектриса делит угол на два угла, то есть проходит внутри него.","Из вершины выходит много лучей, но биссектриса среди них одна — та, что внутри угла делит его пополам.","Прямые углы со сторонами образует только биссектриса развернутого угла, а угол $AOB$ не развернутый."]}}}],"mix":1}

Понятие	Как получить поворотом луча
Угол $AOB$	Повернуть луч $OA$ до положения $OB$ (не больше чем на пол-оборота)
Развернутый угол	Повернуть ровно на пол-оборота — стороны на одной прямой
Сравнение углов	Наложить: у большего угла второй луч повернут дальше
Биссектриса	Остановиться ровно на полпути

Вывод

Угол удобно представлять как след поворота луча вокруг его начала — не больше чем на пол-оборота. Через эту модель легко вспомнить все понятия урока: развернутый угол — пол-оборота, сравнение углов — наложение (у какого угла второй луч «ушел дальше»), биссектриса — остановка на полпути. Длина нарисованных сторон на угол не влияет. Углы нужны везде, где важно направление: под каким углом поставить лестницу, повернуть руль, наклонить крышу или пандус. Наложением можно сравнить только два угла, которые есть перед глазами. Чтобы сравнивать любые углы и записывать их величину числом, углы измеряют в градусах — это тема урока «Градусная мера угла. Транспортир. Виды углов».

Часто задаваемые вопросы

Почему $\angle AOB$ и $\angle BOA$ — один и тот же угол?

Обе записи называют одни и те же стороны $OA$ и $OB$ и одну вершину $O$. Порядок крайних букв не важен, важно только, чтобы вершина стояла в середине.

Можно ли сравнить углы, не измеряя их?

Да, наложением: совместить вершины и одну пару сторон. Угол, вторая сторона которого прошла внутри другого угла, меньше; если вторые стороны совпали, углы равны.

Влияет ли длина сторон на величину угла?

Нет. Стороны угла — лучи, они бесконечны. На рисунке видна только часть сторон, и если ее продлить, угол не изменится.

Сколько биссектрис у угла?

У неразвернутого угла — одна: она проходит внутри угла и делит его пополам. У развернутого угла внутренней областью можно считать любую из двух полуплоскостей, поэтому подходит любой из двух лучей, которые делят его на два прямых угла.

Откуда взялся знак угла?

Особый знак для угла ввел французский математик Пьер Эригон в книге «Курс математики» (1634). Привычный вид $\angle$ знак получил позже.

Награды за урок