Простейшие геометрические фигуры и их свойства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите расстояние от точки $A$ до середины отрезка $BC$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fwf15un0edph.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Перегните $BC$ так, чтобы $B$ легла на $C$: сгиб пройдет через середину. $BC$ — 6 клеток, середина — в 3 клетках от $B$.","Середина лежит на одной горизонтали с точкой $A$.","От $A$ до середины 5 клеток — 5 см."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите расстояние от точки $A$ до середины отрезка $BC$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3aljvuqllffg.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Перегните $BC$ так, чтобы $B$ легла на $C$: сгиб пройдет через середину. $BC$ — 8 клеток, середина — в 4 клетках от $B$.","Середина лежит на одной вертикали с точкой $A$.","От $A$ до середины 4 клетки — 4 см."],"step":1},{"id":"2","content":"Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $AB = 10$ см. Точка $C$ лежит на прямой $AB$, $BC = 3$ см. Чему может быть равна длина отрезка $MC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["7 см или 13 см","Только 8 см","Только 2 см","2 см или 8 см"],"explanations":["Это длина $AC$, а спрашивают расстояние от середины $M$","Потерян случай, когда $C$ лежит между $M$ и $B$: $MC = 5 - 3 = 2$ см","Потерян случай, когда $C$ лежит за точкой $B$: $MC = 5 + 3 = 8$ см",""],"answer":[3]}},"hints":["Перегните $AB$ так, чтобы $A$ легла на $B$: сгиб пройдет через середину $M$. Значит, $MB = 10 : 2 = 5$ см.","Где лежит $C$, не сказано. Если $C$ между $M$ и $B$: $MC = 5 - 3 = 2$ см. Если $C$ за точкой $B$: $MC = 5 + 3 = 8$ см.","Ответ: 2 см или 8 см. Когда расположение точек не задано, проверяйте оба случая."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $AB = 14$ см. Точка $C$ лежит на прямой $AB$, $BC = 4$ см. Чему может быть равна длина отрезка $MC$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Только 11 см","Только 3 см","3 см или 11 см","10 см или 18 см"],"explanations":["Потерян случай, когда $C$ лежит между $M$ и $B$: $MC = 7 - 4 = 3$ см","Потерян случай, когда $C$ лежит за точкой $B$: $MC = 7 + 4 = 11$ см","","Это длина $AC$, а спрашивают расстояние от середины $M$"],"answer":[2]}},"hints":["Перегните $AB$ так, чтобы $A$ легла на $B$: сгиб пройдет через середину $M$. Значит, $MB = 14 : 2 = 7$ см.","Где лежит $C$, не сказано. Если $C$ между $M$ и $B$: $MC = 7 - 4 = 3$ см. Если $C$ за точкой $B$: $MC = 7 + 4 = 11$ см.","Ответ: 3 см или 11 см. Когда расположение точек не задано, проверяйте оба случая."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]Луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$, $\\angle AOC = 40^\\circ$, $\\angle COB = 70^\\circ$. Луч $OK$ — биссектриса угла $AOB$. Найдите угол $KOC$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vxcpjxomtv5u.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Биссектриса — линия сгиба: при перегибании по $OK$ луч $OA$ ложится на $OB$. Сначала найдем весь угол: $\\angle AOB = 40^\\circ + 70^\\circ = 110^\\circ$.","Биссектриса делит угол пополам: $\\angle AOK = 110^\\circ : 2 = 55^\\circ$.","$\\angle KOC = \\angle AOK - \\angle AOC = 55^\\circ - 40^\\circ = 15^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$, $\\angle AOC = 20^\\circ$, $\\angle COB = 100^\\circ$. Луч $OK$ — биссектриса угла $AOB$. Найдите угол $KOC$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/btcylbupijmo.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Биссектриса — линия сгиба: при перегибании по $OK$ луч $OA$ ложится на $OB$. Сначала найдем весь угол: $\\angle AOB = 20^\\circ + 100^\\circ = 120^\\circ$.","Биссектриса делит угол пополам: $\\angle AOK = 120^\\circ : 2 = 60^\\circ$.","$\\angle KOC = \\angle AOK - \\angle AOC = 60^\\circ - 20^\\circ = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Сопоставьте угол и его величину.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Больший угол","Меньший угол"],"items":["$144^\\circ$","$36^\\circ$","$135^\\circ$","$45^\\circ$"]}},"hints":["Смежные углы вместе дают развернутый угол $180^\\circ$. Меньший угол — 1 часть, больший — 4 части, всего $1 + 4 = 5$ частей.","Одна часть: $180^\\circ : 5 = 36^\\circ$.","Меньший угол: $36^\\circ$; больший: $4 \\cdot 36^\\circ = 144^\\circ$. Проверка: $144^\\circ + 36^\\circ = 180^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Один из смежных углов на $48^\\circ$ меньше другого. Сопоставьте угол и его величину.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Больший угол","Меньший угол"],"items":["$114^\\circ$","$66^\\circ$","$132^\\circ$","$48^\\circ$"]}},"hints":["Отнимем разницу: $180^\\circ - 48^\\circ = 132^\\circ$ — это два одинаковых меньших угла.","Меньший угол: $132^\\circ : 2 = 66^\\circ$; больший: $66^\\circ + 48^\\circ = 114^\\circ$.","Проверка: $114^\\circ + 66^\\circ = 180^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-5]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 42^\\circ$, $\\angle DOF = 74^\\circ$. Найдите угол $FOA$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wl7u34ingeoo.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Поверните кальку с углом $DOF$ на пол-оборота вокруг $O$: он ляжет на угол $COE$. Вертикальные углы равны: $\\angle COE = \\angle DOF = 74^\\circ$.","Углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ составляют развернутый угол: $\\angle EOB = 180^\\circ - 42^\\circ - 74^\\circ = 64^\\circ$.","$\\angle FOA = \\angle EOB = 64^\\circ$ как вертикальные."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-6]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle BOD = 58^\\circ$, $\\angle EOB = 47^\\circ$. Найдите угол $DOF$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/etyr6jqpxjit.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"75"}},"hints":["Поверните кальку с углом $BOD$ на пол-оборота вокруг $O$: он ляжет на угол $AOC$. Вертикальные углы равны: $\\angle AOC = \\angle BOD = 58^\\circ$.","Углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ составляют развернутый угол: $\\angle COE = 180^\\circ - 58^\\circ - 47^\\circ = 75^\\circ$.","$\\angle DOF = \\angle COE = 75^\\circ$ как вертикальные."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-7]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $a$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8rjqogdp7fcw.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Прямая $a$ вертикальна, перпендикуляр к ней идет по горизонтальной линии сетки.","От точки $A$ влево до прямой $a$ — 6 клеток.","Расстояние от $A$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра: 6 см."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-8]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $a$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/llpm4ogf8fkj.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Прямая $a$ горизонтальна, перпендикуляр к ней идет по вертикальной линии сетки.","От точки $A$ вверх до прямой $a$ — 5 клеток.","Расстояние от $A$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра: 5 см."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-9]]На клетчатой бумаге изображен план спортивной площадки с вырезом под трибуну. Сторона клетки равна 1 м. Найдите длину ограждения площадки. Ответ дайте в метрах. [[input-9]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gkhj15sglakt.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Ограждение идет по всей границе площадки, поэтому его длина — периметр: сумма длин всех сторон. Обойдем контур и сложим стороны по клеткам.","$8 + 5 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 = 32$.","Проверка: у прямоугольника 8 на 5 периметр $2 \\cdot (8 + 5) = 26$; вырез добавил две стенки по 3 клетки: $26 + 6 = 32$ м."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-10]]На клетчатой бумаге изображен план спортивной площадки с вырезом под трибуну. Сторона клетки равна 1 м. Найдите длину ограждения площадки. Ответ дайте в метрах. [[input-10]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7zc9gvx6q2el.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Ограждение идет по всей границе площадки, поэтому его длина — периметр: сумма длин всех сторон. Обойдем контур и сложим стороны по клеткам.","$2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 6 + 8 + 6 = 34$.","Проверка: у прямоугольника 8 на 6 периметр $2 \\cdot (8 + 6) = 28$; вырез добавил две стенки по 3 клетки: $28 + 6 = 34$ м."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-11]]Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-3]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fcpudgt3latu.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$L$","$N$","$M$","$K$"],"explanations":["$L$ на 3 клетки правее прямой, но ниже: отрезок $AL$ не перпендикулярен прямой $a$","$N$ лежит на прямой $a$ — это основание перпендикуляра из $A$, а не симметричная точка","$M$ на 2 клетки правее прямой, а $A$ — на 3 клетки левее: прямая не проходит через середину $AM$",""],"answer":[3]}},"hints":["Перегните лист по прямой $a$: в какую отмеченную точку ляжет $A$? Она окажется на перпендикуляре к $a$ через $A$, по другую сторону и на том же расстоянии.","$A$ на 3 клетки левее прямой $a$; по той же горизонтали отсчитываем 3 клетки правее прямой.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-12]]Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-4]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dmenkdbhyocc.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$L$","$N$","$K$","$M$"],"explanations":["$L$ на 3 клетки ниже прямой, но сдвинута вбок: отрезок $AL$ не перпендикулярен прямой $a$","$N$ лежит на прямой $a$ — это основание перпендикуляра из $A$, а не симметричная точка","","$M$ на 2 клетки ниже прямой, а $A$ — на 3 клетки выше: прямая не проходит через середину $AM$"],"answer":[2]}},"hints":["Перегните лист по прямой $a$: в какую отмеченную точку ляжет $A$? Она окажется на перпендикуляре к $a$ через $A$, по другую сторону и на том же расстоянии.","$A$ на 3 клетки выше прямой $a$; по той же вертикали отсчитываем 3 клетки ниже прямой.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Сумма смежных углов равна $180^\\circ$","Если прямые перпендикулярны, то все четыре угла при их пересечении прямые","Середина отрезка делит его на два равных отрезка"],["Любые два угла с общей стороной смежные","Если $AM = MB$, то точка $M$ — середина отрезка $AB$","Диагональ любого прямоугольника — его ось симметрии"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определению из модуля, а не «на глаз».","Углы с общей стороной смежные, только если две другие стороны на одной прямой. Точка $M$ с $AM = MB$ может не лежать на отрезке $AB$. Диагональ прямоугольника с неравными сторонами — не ось.","Верно: про сумму смежных, про четыре прямых угла, про середину. Неверно: про общую сторону, про $AM = MB$, про диагональ."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Вертикальные углы равны","Середина отрезка находится на одинаковом расстоянии от его концов","Каждая точка оси симметрии симметрична самой себе"],["Сумма вертикальных углов равна $180^\\circ$","Прямая, перпендикулярная данной, всегда вертикальна","Если от прямоугольника отрезать квадрат в углу, его периметр уменьшится"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определению из модуля, а не «на глаз».","Вертикальные углы равны, но их сумма не обязана быть $180^\\circ$. Перпендикулярность — угол $90^\\circ$ между прямыми, а не направление «вверх». Если отрезать в углу прямоугольника квадрат меньше обеих его сторон, две стороны укоротятся, но появятся две стенки выреза той же длины — периметр не изменится. Значит, «уменьшится» — неверно.","Верно: про вертикальные углы, про середину, про точки оси. Неверно: про сумму вертикальных, про вертикальную прямую, про отрезанный квадрат."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-13]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 35^\\circ$. Решавр нашел угол $COE$: «Шаг 1. У углов $AOC$ и $COE$ общая сторона $OC$. Шаг 2. Значит, эти углы смежные. Шаг 3. $\\angle COE = 180^\\circ - 35^\\circ = 145^\\circ$». Где ошибка в решении Решавра?[[choice-5]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dtzttffxg9jy.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["В шаге 1: общей стороны у этих углов нет","В шаге 2: лучи $OA$ и $OE$ не лежат на одной прямой, углы не смежные","Ошибок нет","В шаге 2: углы не смежные, а вертикальные, поэтому $\\angle COE = 35^\\circ$"],"explanations":["Общая сторона $OC$ у них есть; не выполнено другое условие — про две другие стороны","","Соседние углы не обязательно смежные: $OE$ — не продолжение $OA$","У вертикальных углов нет общей стороны, а у $AOC$ и $COE$ есть общая сторона $OC$"],"answer":[1]}},"hints":["Смежные углы — развернутый угол, разрезанный одним лучом: их две другие стороны образуют одну прямую. Найдите на чертеже, какой луч продолжает $OA$.","Шаг 1 верен: $OC$ — общая сторона. Но продолжение луча $OA$ — луч $OB$, а не $OE$: углы $AOC$ и $COE$ только соседние.","Ответ: ошибка в шаге 2 — лучи $OA$ и $OE$ не лежат на одной прямой. Чтобы найти $\\angle COE$, нужен еще один угол, например $\\angle EOB$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-14]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle BOD = 30^\\circ$. Решавр нашел угол $DOF$: «Шаг 1. У углов $BOD$ и $DOF$ общая сторона $OD$. Шаг 2. Значит, эти углы смежные. Шаг 3. $\\angle DOF = 180^\\circ - 30^\\circ = 150^\\circ$». Где ошибка в решении Решавра?[[choice-6]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bqkbuvifgakl.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибок нет","В шаге 2: углы не смежные, а вертикальные, поэтому $\\angle DOF = 30^\\circ$","В шаге 1: общей стороны у этих углов нет","В шаге 2: лучи $OB$ и $OF$ не лежат на одной прямой, углы не смежные"],"explanations":["Соседние углы не обязательно смежные: $OF$ — не продолжение $OB$","У вертикальных углов нет общей стороны, а у $BOD$ и $DOF$ есть общая сторона $OD$","Общая сторона $OD$ у них есть; не выполнено другое условие — про две другие стороны",""],"answer":[3]}},"hints":["Смежные углы — развернутый угол, разрезанный одним лучом: их две другие стороны образуют одну прямую. Найдите на чертеже, какой луч продолжает $OB$.","Шаг 1 верен: $OD$ — общая сторона. Но продолжение луча $OB$ — луч $OA$, а не $OF$: углы $BOD$ и $DOF$ только соседние.","Ответ: ошибка в шаге 2 — лучи $OB$ и $OF$ не лежат на одной прямой. Чтобы найти $\\angle DOF$, нужен еще один угол, например $\\angle FOA$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>