ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Углы в геометрии — введение
Если вам приходилось путешествовать между городами, вероятно, вы видели дорожный знак, предупреждающий о крутом уклоне.
Для водителя он означает: «Осторожно, дорога далее идет под углом». Этот пример из повседневной жизни помогает понять, что углы в геометрии тесно связаны с окружающим миром.
Угол — один из самых интересных объектов в геометрии. Он объединяет свойства, характерные как для точки, так и для луча. В дальнейшем вы познакомитесь с основными особенностями этой фигуры, узнаете способы ее обозначения и научитесь различать типы углов.
Луч и угол
Представьте, что вы сгибаете руку в локте. Если рассмотреть эту фигуру с геометрической точки зрения, можно выделить точку перегиба (локтевой сустав) и две линии — плечо и предплечье.
Перенесем этот пример на плоскость. Начертим два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $AB \cap AB_1 = A$. Полученная фигура называется углом. Таким образом, углы в геометрии образованы двумя лучами, имеющими общую начальную точку.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.
Эту фигуру можно рассматривать двояко — как составную (два луча и точка) или как единую. В совокупности лучи называются боковыми сторонами угла, а их общая точка — вершиной угла.
Луч и угол
Сторона и вершина
Обозначение угла
Уильям Отред, английский математик XVI – XVII вв., придумал логарифмическую линейку, знак деления ($/$), знак умножения ($\times$).
Раньше угол обозначался знаком неравенства, Отред «облагородил» его обозначение, придумав символ $\angle$.
Все современные способы записи углов используют символ $\angle$, которому уже более четырех веков. Первоначально (в 1634 году) он напоминал знак $<$. Символ $\angle$ ставится перед буквенным обозначением фигуры и указывает, что речь идет об угле.
Важно
Если не использовать перед буквами обозначение фигуры, возникает неоднозначность. Например, запись $ABC$ может обозначать и треугольник $△ABC$, и угол $∠ABC$. Поэтому символы фигур являются обязательными элементами записи.
Обозначение угла через вершину
Иногда угол обозначают одной буквой, соответствующей вершине. Например, если вершина обозначена как $A$, то угол можно записать как $∠A$. Однако этот способ не всегда однозначен.
Если из точки $A$ выходят три луча, то запись $∠A$ не позволяет определить, о каком именно угле идет речь — о левом, среднем или правом.
Поэтому важно выбирать обозначения таким образом, чтобы всем участникам рассуждения было ясно, какой именно угол имеется в виду.
Обозначение угла строчными греческими буквами
Чтобы избежать неоднозначности, углы в геометрии часто обозначают строчными буквами греческого алфавита. Например, на чертеже можно увидеть $∠α$ (угол альфа).
| Буква | Обозначение | Чтение |
| $α$ | $∠α$ | угол альфа |
| $β$ | $∠β$ | угол бета |
| $γ$ | $∠γ$ | угол гамма |
| $δ$ | $∠δ$ | угол дельта |
| $θ$ | $∠θ$ | угол тета |
| $ϕ$ | $∠ϕ$ | угол фи |
Такое обозначение делает запись компактной и избавляет от двусмысленности при рассмотрении сложных фигур.
Обозначение угла с помощью направляющих точек
Напомним, что луч можно обозначать не только начальной, но и направляющей точкой. Пусть два луча $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$, то есть $AB \cap AC = A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.
В этом случае угол можно обозначить как $∠CAB$ или $∠BAC$.
Порядок букв в записи не имеет значения, однако точка, стоящая посередине, всегда обозначает вершину угла, а крайние буквы — точки, лежащие на его сторонах.
Обозначение угла прямыми
Иногда углы в геометрии обозначают не точками, а прямыми, если лучи принадлежат этим прямым. В этом случае используется запись $∠(ab)$ или $∠(ba)$. Такой способ применяется реже, но он удобен, если на чертеже имеются обозначенные прямые и требуется указать угол между ними.
Дополнительно об обозначении углов
Порядок
В обозначениях принято следовать определенному порядку: запись ведется от точки, расположенной слева, к точке, находящейся справа.
Подобно тому как буквы греческого алфавита имеют устоявшийся порядок, углы в геометрии традиционно отсчитываются против часовой стрелки. Поэтому корректным считается обозначение $∠CAB$, а не $∠BAC$.
Тем не менее вариант по направлению часовой стрелки ($∠BAC$) также допустим. Это не строгая норма, а скорее правило академической традиции, которое можно нарушить, если того требует удобство записи или специфика чертежа.
Углы в геометрии: определение направления против часовой стрелки
Если вам трудно мысленно представить направление отсчета угла, можно воспользоваться наглядным методом пальцев. Этот способ помогает быстро определить порядок букв при обозначении углов в геометрии.
Алгоритм:
- Приложите указательный палец левой руки к крайней точке угла с левой стороны.
- Приложите указательный палец правой руки к крайней точке угла с правой стороны.
- Вершина угла должна находиться посередине между вашими пальцами.
- Запишите буквенное обозначение слева направо — от пальца левой руки к пальцу правой руки.
Положение угла на плоскости не имеет значения. Например, если угол расположен «домиком», то соответствующее обозначение останется тем же — $∠MPK$.
Таким образом, независимо от ориентации фигуры на чертеже, при соблюдении данного порядка запись угла будет корректной и однозначной.
Углы в геометрии: внутренняя и внешняя сторона угла
Каждый угол образует на плоскости две области — внутреннюю и внешнюю. Обычно при изучении углов в геометрии рассматривают внутреннюю область, однако стороны угла можно анализировать и для внешней. Таким образом, два луча образуют два угла — внутренний и наружный.
Области угла
Внешняя сторона угла
Чтобы различать их, применяют два подхода.
- Простой способ: обозначить внутренний угол как $∠θ$, а наружный — как $∠θ_1$.
- Более сложный способ: использовать дополнительные геометрические указания, например направление измерения против часовой стрелки. Например, $\angle ABC$ и $\angle CBA$. Или $\angle (ab)$ и $\angle (ba)$.
Интерактив
В интерактивном упражнении можно самостоятельно изменять величину угла и наблюдать, к какому типу он относится — острому, прямому, тупому, развернутому, выпуклому или полному. При этом угол подсвечивается цветом, а его значение отображается в градусах.
Такое упражнение помогает вам лучше понимать классификацию углов в геометрии, видеть взаимосвязь между величиной и типом угла, а также закреплять определения.
Часто задаваемые вопросы
Углы играют ключевую роль в понимании формы, структуры и взаимного расположения фигур. С их помощью определяют положение прямых, стороны многоугольников, наклон плоскостей и пропорции в пространстве. Без знания свойств углов невозможно изучать треугольники, параллелограммы, окружности и другие базовые объекты геометрии. Поэтому понятие угла служит основой для дальнейшего освоения всего курса.
Величина показывает, насколько «развернуты» стороны угла, а направление — в какую сторону происходит поворот. Эти два параметра вместе определяют положение угла на плоскости и позволяют различать, например, острые и развернутые углы, а также движения и вращения фигур. Без учета направления можно неверно построить угол или получить противоположное по смыслу решение. Поэтому при работе с углами в геометрии важно всегда указывать и направление отсчета.
Такой порядок обозначений — исторически сложившаяся традиция, восходящая к математическим соглашениям XVII – XVIII веков. Отсчет против часовой стрелки принят как стандарт, поскольку он соответствует положительному направлению вращения в математике и системе координат. Это обеспечивает единообразие при записи и интерпретации углов в геометрии.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти