Карточки
Тесты
Зави
Градусная мера угла
Углы в геометрии
Обновленный урок по теме: «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса»
Угол — один из самых интересных объектов в геометрии. Он объединяет свойства, характерные как для точки, так и для луча. В дальнейшем вы познакомитесь с основными особенностями углов, узнаете способы их обозначения и научитесь различать типы углов.
Теперь пришло время систематизировать знания и посмотреть на углы как на один из главных объектов геометрии.
Луч и угол
Представьте, что вы сгибаете руку в локте. Если рассмотреть эту фигуру с геометрической точки зрения, можно выделить точку перегиба (локтевой сустав) и две линии — плечо и предплечье.
Перенесем этот пример на плоскость. Начертим два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $AB \cap AB_1 = A$. Полученная фигура называется углом. Таким образом, углы в геометрии образованы двумя лучами, имеющими общую начальную точку.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.
Эту фигуру можно рассматривать двояко — как составную (два луча и точка) или как единую. В совокупности лучи называются боковыми сторонами угла, а их общая точка — вершиной угла.
Луч и угол
Сторона и вершина
Обозначение угла
Уильям Отред, английский математик XVI – XVII вв., придумал логарифмическую линейку, знак деления ($/$), знак умножения ($\times$).
Раньше угол обозначался знаком неравенства, Отред «облагородил» его обозначение, придумав символ $\angle$.
Все современные способы записи углов используют символ $\angle$, которому уже более четырех веков. Первоначально (в 1634 году) он напоминал знак $<$. Символ $\angle$ ставится перед буквенным обозначением фигуры и указывает, что речь идет об угле.
Важно
Если не использовать перед буквами обозначение фигуры, возникает неоднозначность. Например, запись $ABC$ может обозначать и треугольник $△ABC$, и угол $∠ABC$. Поэтому символы фигур являются обязательными элементами записи.
Обозначение угла через вершину
Иногда угол обозначают одной буквой, соответствующей вершине. Например, если вершина обозначена как $A$, то угол можно записать как $∠A$. Однако этот способ не всегда однозначен.
Если из точки $A$ выходят три луча, то запись $∠A$ не позволяет определить, о каком именно угле идет речь — о левом, среднем или правом.
Поэтому важно выбирать обозначения таким образом, чтобы всем участникам рассуждения было ясно, какой именно угол имеется в виду.
Обозначение угла строчными греческими буквами
Чтобы избежать неоднозначности, углы в геометрии часто обозначают строчными буквами греческого алфавита. Например, на чертеже можно увидеть $∠α$ (угол альфа).
| Буква | Обозначение | Чтение |
|---|---|---|
| $α$ | $∠α$ | угол альфа |
| $β$ | $∠β$ | угол бета |
| $γ$ | $∠γ$ | угол гамма |
| $δ$ | $∠δ$ | угол дельта |
| $θ$ | $∠θ$ | угол тета |
| $ϕ$ | $∠ϕ$ | угол фи |
Такое обозначение делает запись компактной и избавляет от двусмысленности при рассмотрении сложных фигур.
Обозначение угла с помощью направляющих точек
Напомним, что луч можно обозначать не только начальной, но и направляющей точкой. Пусть два луча $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$, то есть $AB \cap AC = A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.
В этом случае угол можно обозначить как $∠CAB$ или $∠BAC$.
Порядок букв в записи не имеет значения, однако точка, стоящая посередине, всегда обозначает вершину угла, а крайние буквы — точки, лежащие на его сторонах.
Обозначение угла прямыми
Иногда углы в геометрии обозначают не точками, а прямыми, если лучи принадлежат этим прямым.
В этом случае используется запись $∠(ab)$ или $∠(ba)$. Такой способ применяется реже, но он удобен, если на чертеже имеются обозначенные прямые и требуется указать угол между ними.
Порядок обозначения углов
В обозначениях принято следовать определенному порядку: запись ведется от точки, расположенной слева, к точке, находящейся справа.
Подобно тому как буквы греческого алфавита имеют устоявшийся порядок, углы в геометрии традиционно отсчитываются против часовой стрелки. Поэтому корректным считается обозначение $∠CAB$, а не $∠BAC$.
Тем не менее вариант по направлению часовой стрелки ($∠BAC$) также допустим. Это не строгая норма, а скорее правило академической традиции, которое можно нарушить, если того требует удобство записи или специфика чертежа.
Определение направления против часовой стрелки
Если вам трудно мысленно представить направление отсчета угла, можно воспользоваться наглядным методом пальцев. Этот способ помогает быстро определить порядок букв при обозначении углов в геометрии.
Алгоритм:
- Приложите указательный палец левой руки к крайней точке угла с левой стороны.
- Приложите указательный палец правой руки к крайней точке угла с правой стороны.
- Вершина угла должна находиться посередине между вашими пальцами.
- Запишите буквенное обозначение слева направо — от пальца левой руки к пальцу правой руки.
Положение угла на плоскости не имеет значения. Например, если угол расположен «домиком», то соответствующее обозначение останется тем же — $∠MPK$.
Таким образом, независимо от ориентации фигуры на чертеже, при соблюдении данного порядка запись угла будет корректной и однозначной.
Внутренняя и внешняя сторона угла
Каждый угол образует на плоскости две области — внутреннюю и внешнюю. Обычно при изучении углов в геометрии рассматривают внутреннюю область, однако стороны угла можно анализировать и для внешней. Таким образом, два луча образуют два угла — внутренний и наружный.
Области угла
Внешняя сторона угла
Чтобы различать их, применяют два подхода.
- Простой способ: обозначить внутренний угол как $∠θ$, а наружный — как $∠θ_1$.
- Более сложный способ: использовать дополнительные геометрические указания, например направление измерения против часовой стрелки. Например, $\angle ABC$ и $\angle CBA$. Или $\angle (ab)$ и $\angle (ba)$.
Интерактив
В интерактивном упражнении можно самостоятельно изменять величину угла и наблюдать, к какому типу он относится — острому, прямому, тупому, развернутому, выпуклому или полному. При этом угол подсвечивается цветом, а его значение отображается в градусах.
Такое упражнение помогает вам лучше понимать классификацию углов в геометрии, видеть взаимосвязь между величиной и типом угла, а также закреплять определения.
Часто задаваемые вопросы
Углы играют ключевую роль в понимании формы, структуры и взаимного расположения фигур. С их помощью определяют положение прямых, стороны многоугольников, наклон плоскостей и пропорции в пространстве. Без знания свойств углов невозможно изучать треугольники, параллелограммы, окружности и другие базовые объекты геометрии. Поэтому понятие угла служит основой для дальнейшего освоения всего курса.
Величина показывает, насколько «развернуты» стороны угла, а направление — в какую сторону происходит поворот. Эти два параметра вместе определяют положение угла на плоскости и позволяют различать, например, острые и развернутые углы, а также движения и вращения фигур. Без учета направления можно неверно построить угол или получить противоположное по смыслу решение. Поэтому при работе с углами в геометрии важно всегда указывать и направление отсчета.
Такой порядок обозначений — исторически сложившаяся традиция, восходящая к математическим соглашениям XVII – XVIII веков. Отсчет против часовой стрелки принят как стандарт, поскольку он соответствует положительному направлению вращения в математике и системе координат. Это обеспечивает единообразие при записи и интерпретации углов в геометрии.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий