Точка и прямая на плоскости

Любая геометрическая фигура, даже самая сложная, может быть представлена как совокупность точек и прямых. Если обратиться к аксиоматическому методу, рассмотренному ранее, то можно провести следующую параллель: так же как любая теорема основывается на аксиомах, любая фигура разлагается до элементарных объектов — точки и прямой.

Эти объекты являются фундаментальными элементами геометрии. Все геометрические построения осуществляются на плоскости, и исходными фигурами здесь выступают точка, прямая и сама плоскость.

Что такое плоскость в геометрии?

Для наглядности можно использовать следующую аналогию. Перед началом сборки модели из конструктора необходимо освободить поверхность стола или пола, на которой будет выполняться работа. Эта поверхность служит «основой» для всех действий.

Аналогичным образом в геометрии плоскость является тем пространством, внутри которого располагаются фигуры. При этом важно понимать, что плоскость в математическом смысле не является физическим объектом. Она не имеет ограничений, неосязаема и рассматривается исключительно как абстрактное понятие.

Плоскость — это двумерное множество, в котором расположены все рассматриваемые геометрические фигуры.

Ее основные характеристики:

• абстрактность — плоскость не является физическим объектом, ее нельзя сфотографировать или изобразить буквально, но можно представить;
• двумерность — на плоскости задаются фигуры, имеющие лишь протяженность в длину и ширину, но не обладающие объемом;
• неизмеримость — плоскость бесконечна и не ограничена, ее нельзя измерить, в отличие от поверхности реального объекта.

Абстрактные плоскости

Хотя многие геометрические фигуры отражают реальные предметы окружающего мира, их первоначальное исследование опирается на абстрактные модели. Абстракция в данном контексте представляет собой мыслительную конструкцию, не обладающую материальной формой; она служит инструментом для упрощения и точного описания пространственных отношений.

Числа и другие математические объекты также являются абстракциями: они не существуют как материальные предметы, но обеспечивают эффективный язык для количественного описания явлений. Аналогично плоскость в геометрии следует понимать как удобную математическую идею — идеальную ровную поверхность, не ограниченную протяженностью и не имеющую физических неровностей. Эта идеализация существенно отличается от реальной поверхности пола, однако она позволяет формализовать аксиомы и выстраивать строгие доказательства.

Обратите внимание, что использование абстракций не умаляет прикладной ценности теории. Именно через идеализированные модели можно получать общие и точные результаты, пригодные для описания реальных объектов. Вышеописанный переход от конкретики к абстракции — методологически необходимый этап при изучении, например, планиметрии.

{"questions":[{"content":"Выберите положения, которые соответствуют определению плоскости в геометрии.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Измеряемая","Конкретная","Не имеет меры","Трехмерная","Абстрактная","Двумерная"],"answer":[2,4,5]}},"hints":["Мы обсудили три положения."]}]}

Точка и прямая в геометрии

В бытовом понимании слова «точка», «прямая» и «плоскость» отличаются от их математического содержания. В геометрии эти понятия формируются аксиоматически и рассматриваются как исходные.

На плоскости точка и прямая являются основными геометрическими фигурами. Рассмотрим, как они изображаются и обозначаются. На чертеже вы видите прямые $a$ и $b$ и точки $A$ и $B$. Плоскость в геометрии никак не обозначается — мы просто подразумеваем ее существование.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте фигуру и ее свойства.[[matcher-6]]","widgets":{"matcher-6":{"type":"matcher","labels":["Точка","Прямая"],"items":["Она является неделимым объектом, не имеющим длины, ширины или площади.","Она рассматривается как бесконечное множество точек, не имеющее ширины и простирающееся бесконечно в обе стороны."]}},"explanation":"Точка обозначается прописными буквами латинского алфавита $A,B,C…Z$. Она является неделимым объектом, не имеющим длины, ширины или площади.<br /><br />Прямая обозначается строчными буквами латинского алфавита $a,b,c…z$. Она рассматривается как бесконечное множество точек, не имеющее ширины и простирающееся бесконечно в обе стороны."}]}

Размер точки

С геометрической точки зрения размер точки отсутствует. На практике при изображении точек на бумаге мы используем карандаш или маркер. Однако различие в толщине нарисованной точки не имеет математического значения.

Точку можно рассматривать как положение на плоскости, определяемое лишь координатами. В этом смысле точка — очередная абстракция, идеализированный объект, не обладающий размерами, подобно тому, как прямая не имеет толщины, но бесконечна по длине.

{"questions":[{"content":"С геометрической точки зрения размер точки отсутствует. [[fill_choice_big-19]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["верно","неверно"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Принадлежность точки прямой

Точка может принадлежать прямой или не принадлежать ей.

Определимся, как выражать принадлежность точки прямой. Для этого рассмотрим на плоскости точки $C$, $D$, $F$, $G$ и прямые $a$, $b$. Точки $C$ и $D$ лежат на прямой $a$. Точка $G$ лежит на прямой $b$. С другой стороны, точки $F$ и $G$ не лежат на прямой $a$. То же самое можно сказать про точки $C$, $D$ и $F$ — они не лежат на прямой $b$.

Точки и прямые связаны отношениями принадлежности. Также вспомним, что прямая — абстрактный геометрический объект, состоящий из точек. Из этого мы можем сделать вывод, что на плоскости всегда будут точки, принадлежащие прямой, и точки, ей не принадлежащие. Это — одна из главных аксиом планиметрии.

$A1$​. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

{"questions":[{"content":"Даны прямая $a$ и точки $A$ и $B$. Сопоставьте отношения принадлежности точек прямой.[[matcher-13]]","widgets":{"matcher-13":{"type":"matcher","labels":["$A$","$B$"],"items":["Принадлежит прямой.","Не принадлежит прямой."]}}}]}

Интерактив

В этом интерактиве вы можете проверить, принадлежит ли точка прямой. Просто перемещайте точку мышью и сразу наблюдайте результат: если она окажется на прямой, сообщение подсветится зелёным цветом, а если нет — красным.

Это задание помогает не ограничиваться формальным определением, а увидеть, что значит «точка принадлежит прямой». Благодаря этому вы научитесь быстрее распознавать такие ситуации в задачах.

Точка и прямая: аксиома прямой

Для определения прямой в планиметрии необходимо установить минимальное количество точек, через которые она проводится.

Ранее мы отмечали, что прямая в геометрии рассматривается как множество точек. Однако остается вопрос: какое минимальное количество точек необходимо задать на плоскости, чтобы получить единственную прямую?

Если исходить из одной точки, например точки $A$, то через нее можно провести бесконечно много различных прямых. Обозначим их, к примеру, $a$ и $b$. Следовательно, одной точки недостаточно для строгого определения прямой.

Так, появляется следующая аксиома:

$A2$. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую, и только одну.

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между количеством точек и утверждением о проведении прямой. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Одна точка","Две точки"],"items":["Можно провести бесконечно много прямых.","Можно провести только одну прямую."]}},"explanation":"На плоскости всегда могут существовать точки, принадлежащие прямой, и ей не принадлежащие.","hints":["Все точки, существующие на плоскости, принадлежат одной прямой."]}],"mix":1}

Почему через две точки можно провести только одну прямую?

Представьте ситуацию: у нас есть две прямые, которые пересекаются не в одной, а сразу в двух точках.

Попробуем начертить подобный случай. Получается, что линии, соединяющие эти две точки, совпадают по всей своей протяжённости.

Иначе говоря, если бы прямые имели две общие точки, они перестали бы быть прямыми и превратились бы в кривые.

Таким образом, аксиома о единственности прямой через две точки выражает не только здравый смысл, но и логическую необходимость.

Из аксиомы $A2$ следует важное утверждение: если две различные прямые пересекаются, то они имеют ровно одну общую точку.

{"questions":[{"content":"Какие утверждения не противоречат рассмотренным аксиомам $A1$ и $A2$?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["Все точки, существующие на плоскости, принадлежат одной прямой.","На плоскости всегда могут существовать точки, принадлежащие прямой, и ей не принадлежащие.","Через две точки проходит только одна прямая.","Прямые пересекаются только в одной точке.","Через две точки может проходить сколько угодно прямых."],"answer":[1,2,3]}}}]}

Часто задаваемые вопросы: