7 класс Геометрия Основы геометрии Основные понятия

Ломаная. Многоугольник. Периметр

Содержание

В уроке «Длина отрезка. Равные отрезки. Середина отрезка. Расстояние между точками» вы сравнивали отрезки наложением и складывали их длины: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AB = AC + CB$. Теперь соединим несколько отрезков в одну линию. Разберем, что такое ломаная и многоугольник, как найти длину ломаной и периметр и почему периметр иногда ведет себя не так, как подсказывает глаз.

Вопрос для начала. В квадрате $ABCD$ со стороной 10 см от вершины $A$ до противоположной вершины $C$ провели лесенку по клеткам — из одной ступени, потом из 2, 5 и 10 ступеней. Чем мельче ступени, тем ближе лесенка к диагонали $AC$. Значит ли это, что длина мелкой лесенки почти равна длине $AC$? Запомните свой ответ — проверим его в последнем разделе.

Квадрат ABCD со стороной 10 и лесенки от A к C из 1, 2, 5 и 10 ступеней; чем больше ступеней, тем ближе лесенка к диагонали AC — Лесенки из 1, 2, 5 и 10 ступеней все ближе к диагонали $AC$. Приближаются ли их длины к длине $AC$?

Из отрезков, приложенных конец к началу, получается ломаная

Вбейте в доску гвоздики в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и натяните на них нитку. Между соседними гвоздиками нитка идет прямо, а на каждом гвоздике поворачивает. Получилась линия из отрезков $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$: конец каждого отрезка служит началом следующего.

А если гвоздик $L$ стоит прямо на отрезке $KM$? Тогда на нем нитка не поворачивает: куски $KL$ и $LM$ лежат на одной прямой и сливаются в один отрезок $KM$. Точку $L$ вершиной не считают.

Слева ломаная ABCDE с пятью вершинами и четырьмя звеньями. Справа точка L лежит на отрезке KM, поэтому KM — одно звено, а L не вершина — Слева ломаная $ABCDE$: на каждом гвоздике нитка поворачивает. Справа точка $L$ лежит на отрезке $KM$: $KL$ и $LM$ — одно звено $KM$

Определение

Ломаная — фигура из отрезков $AB$, $BC$, $CD$, …, в которой конец каждого отрезка — начало следующего, а соседние отрезки не лежат на одной прямой. Отрезки называют звеньями ломаной, а их концы — вершинами.

Ломаную называют по вершинам в том порядке, в каком по ним идет нитка: $ABCDE$. Первая и последняя буквы — концы ломаной. Пока концы разные, ломаная незамкнутая. Каждое звено соединяет две соседние вершины, поэтому у незамкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин: у ломаной $ABCDE$ пять вершин и четыре звена.

{"questions":[{"content":"Точка $B$ лежит на отрезке $AC$, точка $D$ не лежит на прямой $AC$. Фигура составлена из отрезков $AB$, $BC$ и $CD$. Какая это ломаная?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ломаная $ACD$ с двумя звеньями","Ломаная $ABD$ с двумя звеньями","Ломаная $ABCD$ с четырьмя звеньями","Ломаная $ABCD$ с тремя звеньями"],"explanations":["","Отрезка $BD$ в фигуре нет: вершины ломаной идут по порядку концов отрезков, после $C$ идет $D$","Звеньев у незамкнутой ломаной на одно меньше, чем вершин; кроме того, $AB$ и $BC$ — одно звено $AC$","Отрезки $AB$ и $BC$ лежат на одной прямой, а соседние звенья ломаной так не лежат: вместе это одно звено $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["У ломаной соседние звенья не лежат на одной прямой.","Отрезки $AB$ и $BC$ лежат на одной прямой: вместе это один отрезок $AC$, а точка $B$ — не вершина.","Ответ: ломаная $ACD$ с двумя звеньями $AC$ и $CD$."],"step":1},{"content":"У незамкнутой ломаной 7 вершин. Сколько у нее звеньев? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Каждое звено соединяет две соседние вершины: от первой вершины ко второй, от второй к третьей и так далее.","Звеньев на одно меньше, чем вершин: $7-1 = 6$."],"step":1}],"mix":1}

Чтобы найти длину ломаной, ее распрямляют

Снимем нитку с гвоздиков и распрямим. Каждый прямой кусок — звено — ляжет на одну прямую вслед за предыдущим. На языке геометрии мы переносим звенья наложением, как отрезки на кальке, и откладываем их подряд на одном луче. При наложении длина отрезка не меняется, поэтому длина всей нитки — это сумма длин звеньев.

Ломаная ABCDE с длинами звеньев 3, 2, 4 и 2,5 разложена в один отрезок длиной 11,5 см; расстояние между концами AE около 7,8 см — меньше — Звенья ломаной $ABCDE$ отложены подряд на луче: $3 + 2 + 4 + 2{,}5 = 11{,}5$ см. Отрезок $AE$ короче ломаной

Определение

Длина ломаной — сумма длин всех ее звеньев. Для ломаной $ABCDE$ это

$$AB + BC + CD + DE$$

Пример

Задача 1. Звенья ломаной $ABCDE$ равны: $AB = 3$ см, $BC = 2$ см, $CD = 4$ см, $DE = 2{,}5$ см. Найдите длину ломаной.

Решение. Складываем длины всех четырех звеньев: $3 + 2 + 4 + 2{,}5 = 11{,}5$ см.

Ответ: $11{,}5$ см.

Задача 2. Длина ломаной $MNKP$ равна 18 см, $MN = 5$ см, $KP = 7$ см. Найдите длину звена $NK$.

Решение. Длина ломаной — сумма звеньев: $MN + NK + KP = 18$ см. Неизвестное звено — это длина ломаной без известных звеньев: $NK = 18-5-7 = 6$ см. Проверка: $5 + 6 + 7 = 18$ см.

Ответ: 6 см.

Сравним ломаную $ABCDE$ с отрезком $AE$, который соединяет ее концы напрямую. Нитка, натянутая прямо от $A$ к $E$, короче: на рисунке $AE$ — около $7{,}8$ см, а ломаная — $11{,}5$ см. Так бывает с любой ломаной: ее длина больше отрезка между ее концами. Доказательство будет в уроке о неравенстве треугольника, а пока это наблюдение понадобится нам в пятом разделе.

{"questions":[{"content":"Длина ломаной $ABCDE$ равна 17 см. Какой может быть длина отрезка $AE$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["34 см","20 см","12 см","17 см"],"explanations":["Отрезок между концами не длиннее ломаной: путь по прямой — самый короткий","Отрезок между концами не длиннее ломаной: путь по прямой — самый короткий","","Отрезок был бы равен ломаной, только если бы все звенья лежали на одной прямой, а у ломаной соседние звенья не лежат на одной прямой"],"answer":[2]}},"hints":["Распрямите ломаную: звенья подряд на луче дают отрезок длиной 17 см.","Отрезок $AE$ — самый короткий путь из $A$ в $E$; он короче ломаной, если звенья не лежат на одной прямой.","Ответ: 12 см."],"step":1},{"content":"Звенья ломаной $MNKPR$ равны: $MN = 4$ см, $NK = 1{,}5$ см, $KP = 5$ см, $PR = 3$ см. Найдите длину ломаной в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["13,5","13.5"]}},"hints":["Длина ломаной — сумма длин всех ее звеньев: звенья как будто распрямили и отложили подряд.","$4 + 1{,}5 + 5 + 3 = 13{,}5$ см."],"step":1},{"content":"Длина ломаной $ABCD$ равна 20 см, $AB = 6$ см, $BC = 9$ см. Найдите длину звена $CD$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Длина ломаной $ABCD$ — это $AB + BC + CD$.","$CD = 20-6-9 = 5$ см."],"step":1}],"mix":1}

Если концы нитки связать, может получиться многоугольник

Свяжем концы нитки: последняя вершина совпадет с первой. Такая ломаная называется замкнутой. Совпавшую вершину в названии второй раз не пишут: замкнутую ломаную $A \to B \to C \to D \to A$ называют $ABCD$. У замкнутой ломаной $ABCD$ четыре звена: $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ — последнее звено возвращает нитку в начало. Поэтому звеньев у нее столько же, сколько вершин.

Петлю можно уложить с перехлестом: тогда звенья пересекаются, и у ломаной есть самопересечение. А если петля легла без перехлестов, она обводит кусок плоскости. Такую фигуру и называют многоугольником.

Три фигуры: незамкнутая ломаная, замкнутая ломаная с самопересечением (точка пересечения отмечена красным кружком) и многоугольник — пятиугольник — Незамкнутая ломаная, замкнутая ломаная с самопересечением и многоугольник: многоугольник — только третья фигура

Определение

Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений. Звенья этой ломаной называют сторонами многоугольника, а ее вершины — вершинами многоугольника.

Многоугольник с пятью вершинами называют пятиугольником, с четырьмя — четырехугольником; вообще с $n$ вершинами — $n$-угольником. Вершины, которые соединены стороной, — соседние. Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, — диагональ многоугольника.

Многоугольник называют по вершинам в порядке обхода, как ломаную. Пятиугольник на рисунке ниже — $ABCDE$; можно начать с любой вершины и идти в любую сторону: $CDEAB$, $AEDCB$. А запись $ACBDE$ задает другую линию: нитка пошла бы из $A$ сразу в $C$, по диагонали.

Пятиугольник ABCDE, обход против часовой стрелки; AB — сторона, AC — диагональ, потому что A и C не соседние вершины — В пятиугольнике $ABCDE$ вершины $A$ и $C$ не соседние: $AC$ — диагональ, а $AB$ — сторона

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Какая из фигур на рисунке — многоугольник?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jlxk1bshorng.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Фигура 1","Фигура 3","Фигура 4","Фигура 2"],"explanations":["Это незамкнутая ломаная: ее концы не соединены","","Концы ломаной близко, но не совпадают: ломаная не замкнута","Ломаная замкнута, но ее звенья пересекаются, а у многоугольника самопересечений нет"],"answer":[1]}},"hints":["Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений.","Фигуры 1 и 4 не замкнуты: первая и последняя вершины не совпадают. Фигура 2 замкнута, но ее звенья пересекаются.","Ответ: фигура 3."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Как можно назвать четырехугольник на рисунке?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qbllder7mrpp.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$ABDC$","$BACD$","$ABCD$","$ACBD$"],"explanations":["$B$ и $D$ не соседние: $BD$ — диагональ, а не сторона","$A$ и $C$ не соседние: в названии подряд стоят концы диагонали","","$A$ и $C$ не соседние: $AC$ — диагональ, а не сторона"],"answer":[2]}},"hints":["Вершины многоугольника называют подряд по обходу контура.","Обход: $A$, затем $B$, $C$, $D$. Соседние вершины в названии — концы одной стороны.","Ответ: $ABCD$."],"step":1}],"mix":1}

Периметр — длина нитки вокруг многоугольника

Площадку на школьном стадионе нужно обнести сеткой. Площадка — прямоугольник 40 м × 20 м. Сколько метров сетки понадобится? Обойдем контур и сложим стороны: $40 + 20 + 40 + 20 = 120$ м. Мы нашли длину замкнутой ломаной — границы площадки.

Площадка на стадионе 40 м на 20 м с разметкой; ограждение идет по контуру, его длина 40 + 20 + 40 + 20 = 120 м — Длина ограждения — периметр площадки: $40 + 20 + 40 + 20 = 120$ м

Определение

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Периметр многоугольника $ABCD$ обозначают $P_{ABCD}$, а если понятно, о какой фигуре речь, — просто $P$.

Правило

Периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$$P = 2 \cdot (a + b)$$

Периметр многоугольника с $n$ сторонами, каждая из которых равна $a$:

$$P = n \cdot a$$

Почему у прямоугольника периметр — удвоенная сумма двух соседних сторон? Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому нитка от одной вершины до противоположной проходит ровно половину контура. Значит, сумма двух соседних сторон — половина периметра. Это помогает находить сторону, если известен периметр.

Пример

Задача 3. Участок прямоугольной формы обнесли забором длиной 34 м. Одна сторона участка на 5 м длиннее другой. Найдите стороны участка.

Решение. Сумма двух соседних сторон — половина периметра: $34 : 2 = 17$ м. Если отнять от 17 м лишние 5 м длинной стороны, останутся две одинаковые короткие стороны: $(17-5) : 2 = 6$ м. Длинная сторона $6 + 5 = 11$ м.

Проверка: $2 \cdot (6 + 11) = 34$ м, и $11-6 = 5$ м.

Ответ: 6 м и 11 м.

{"questions":[{"content":"Спортивную площадку 40 м × 20 м одной длинной стороной пристроили к стене школы. Сетку ставят вдоль трех остальных сторон. Сколько метров сетки нужно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["100 м","120 м","80 м","60 м"],"explanations":["Убрали короткую сторону, а к стене примыкает длинная: $120-40 = 80$ м","Это весь периметр, а вдоль стены сетка не нужна","","Это сумма двух соседних сторон — половина периметра, а сетка идет вдоль трех сторон"],"answer":[2]}},"hints":["Сетка идет по границе площадки, кроме стороны вдоль стены.","У стены — длинная сторона 40 м. Остаются еще одна длинная и две короткие: $40 + 20 + 20 = 80$ м."],"step":1},{"content":"У шестиугольника все стороны равны $3{,}5$ см. Найдите его периметр в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Периметр — сумма длин всех сторон. У шестиугольника 6 сторон.","$P = 6 \\cdot 3{,}5 = 21$ см."],"step":1},{"content":"Периметр прямоугольника равен 26 см, одна его сторона на 3 см больше другой. Найдите большую сторону в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Сумма двух соседних сторон — половина периметра: $26 : 2 = 13$ см.","Если отнять от 13 см лишние 3 см, останутся две равные меньшие стороны: $(13-3) : 2 = 5$ см.","Большая сторона $5 + 3 = 8$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вырезали угол, а граница не стала короче

Возьмем прямоугольник 8 × 5 клеток, сторона клетки равна 1 см. Его периметр $2 \cdot (8 + 5) = 26$ см. Вырежем из него кусок тремя разными способами и посмотрим, что станет с периметром. Каждый раз начинаем с целого прямоугольника.

Три выреза из клетчатого прямоугольника 8 на 5: ступенькой у вершины (стенки 3 и 2) периметр 26 см, срез по прямой (срезаны куски 3 и 4) — периметр меньше 26 см, выемка посередине (ширина 2, глубина 1) — периметр 28 см — Фигура стала меньше во всех трех случаях, а периметр: у вершины «ступенькой» — тот же, срез угла по прямой — меньше, выемка посередине стороны — больше

Вырез	Что ушло из контура	Что появилось	Периметр
У вершины вырезали прямоугольник 3 × 2 «ступенькой»	Отрезки 3 см и 2 см на сторонах	Две стенки выреза: 3 см и 2 см	26 см — не изменился
Угол срезали по прямой через точки на двух соседних сторонах	Отрезки 3 см и 4 см на сторонах	Один отрезок между их концами	Меньше 26 см
Посередине длинной стороны вырезали выемку шириной 2 см и глубиной 1 см	2 см стороны	Дно выемки 2 см и две стенки по 1 см	28 см — больше

Во втором случае ломаную из двух отрезков, 3 см и 4 см, заменил один отрезок между теми же точками. Из второго раздела мы знаем: отрезок короче ломаной с теми же концами. Поэтому периметр уменьшился. В третьем случае дно выемки заменило убранные 2 см, а две боковые стенки по 1 см добавились: $26 + 1 + 1 = 28$ см.

Ошибка

Решавр рассуждает о первом вырезе так: «Фигура стала меньше, значит, и граница короче. Вырезали 3 см и 2 см, периметр $26-3-2 = 21$ см».

Проверим обходом контура. Стороны новой фигуры: $8 + 3 + 3 + 2 + 5 + 5 = 26$ см, а не 21 см.

Где сломалось рассуждение. Решавр убрал из контура два отрезка — 3 см и 2 см, но не заметил, что вместо них появились две стенки выреза, тоже 3 см и 2 см. Меньше стала площадь фигуры, а длина ее границы осталась прежней.

Прямоугольник 8 на 5 с вырезом 3 на 2: стенки выреза переносятся на убранные куски сторон. Запись 26 − 3 − 2 = 21 неверна, верно 8 + 3 + 3 + 2 + 5 + 5 = 26 — Стенки выреза переносятся на место убранных отрезков: контур снова складывается в прямоугольник 8 × 5, периметр 26 см

Перенос здесь — то же наложение. Стенку выреза длиной 3 см наложим на убранный кусок верхней стороны, стенку длиной 2 см — на убранный кусок правой стороны. Контур собирается в прежний прямоугольник, поэтому периметр не меняется. Так происходит при любом вырезе у вершины «ступенькой», если вырез не доходит до других вершин. Иначе перенос не сработает. Отрежем сверху полосу $8 \times 2$ во всю длину стороны: вертикальной стенки у такого выреза нет, а обе боковые стороны укоротились на 2 см. Останется прямоугольник $8 \times 3$ с периметром 22 см.

Правило

Если у вершины прямоугольника вырезать прямоугольник, который короче исходного и по длине, и по ширине (вырез не доходит до других вершин), то периметр фигуры не изменится, а площадь уменьшится.

uploaded-lomanaya-stupenka-ed1045c15118

{"questions":[{"content":"Из прямоугольника 6 см × 4 см вырезали у вершины прямоугольник 2 см × 1 см, две его стороны лежат на сторонах большого прямоугольника. Решавр считает: «Фигура стала меньше. Был периметр 20 см, вырезали 2 см и 1 см, осталось $20-2-1 = 17$ см». Найдите верный периметр получившейся фигуры в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Посмотрите на контур новой фигуры: какие отрезки из него ушли, а какие появились.","Ушли отрезки 2 см и 1 см на сторонах прямоугольника, но появились две стенки выреза — тоже 2 см и 1 см. Решавр вычел убранное и не прибавил появившееся.","Периметр не изменился: $2 \\cdot (6 + 4) = 20$ см. Проверка обходом: $6 + 3 + 2 + 1 + 4 + 4 = 20$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Из прямоугольника вырезали кусок. Распределите случаи по тому, как изменился периметр фигуры.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Периметр не изменился","Периметр уменьшился","Периметр увеличился"],"items":[["У вершины вырезали квадрат, две его стороны лежат на сторонах прямоугольника, до других вершин вырез не доходит","У вершины вырезали прямоугольник, две его стороны лежат на сторонах прямоугольника, до других вершин вырез не доходит"],["Угол отрезали по прямой, которая соединяет точки на двух соседних сторонах","Вдоль всей длинной стороны отрезали полосу"],["Посередине стороны вырезали прямоугольную выемку, углы не задеты","Посередине стороны вырезали квадратную выемку, углы не задеты"]]}},"hints":["Сравните, какие отрезки контура ушли вместе с куском, а какие появились.","Вырез у вершины «ступенькой», который не доходит до других вершин: новые стенки выреза равны убранным отрезкам, их можно перенести на место убранных. Срез угла по прямой: вместо ломаной из двух отрезков в контуре один отрезок, а он короче. Полоса вдоль всей стороны: стенок нет, а две боковые стороны укоротились. Выемка посередине стороны: дно выемки заменяет убранный кусок стороны, а две боковые стенки добавляются.","Не изменился — оба выреза у вершины. Уменьшился — срез угла по прямой и полоса вдоль всей стороны. Увеличился — обе выемки посередине стороны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображен многоугольник. Найдите его периметр в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/63qdyxn6gi6t.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"22"}},"hints":["Обойдите контур и сложите длины всех сторон в клетках.","Можно перенести ступеньку на стороны прямоугольника 6 × 5: периметр не изменится.","$P = 2 \\cdot (6 + 5) = 22$ см."],"step":1}],"mix":1}

Разрезали фигуру, и разрез вошел в периметр дважды

Разрежем тот же прямоугольник 8 × 5 отрезком длиной 5 см на два прямоугольника: 2 × 5 и 6 × 5. Их периметры: $2 \cdot (2 + 5) = 14$ см и $2 \cdot (6 + 5) = 22$ см.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Периметр целого — это периметры частей вместе: $14 + 22 = 36$ см».

Проверим. Периметр прямоугольника 8 × 5 равен $2 \cdot (8 + 5) = 26$ см, а не 36 см.

Где сломалось рассуждение. Разрез — граница каждой части. Обтягивая ниткой левую часть, мы проходим вдоль разреза, обтягивая правую — проходим вдоль него еще раз. А в периметр целого разрез не входит: он лежит внутри фигуры. Лишние $36-26 = 10$ см — это разрез, посчитанный два раза.

Прямоугольник 8 на 5 разрезан на две части 2 на 5 и 6 на 5; разрез 5 см входит в периметр каждой части: 14 + 22 = 26 + 2 · 5 — Разрез длиной 5 см входит в периметр каждой части: $14 + 22 = 26 + 2 \cdot 5$

Правило

Если многоугольник разрезали отрезком длиной $d$ на два многоугольника, то сумма их периметров больше периметра целого на два разреза:

$$P_1 + P_2 = P + 2d$$

Вернемся к лесенкам из начала урока. Перенесем каждый горизонтальный кусок лесенки вниз, на сторону $AB$, а каждый вертикальный — вправо, на сторону $BC$, как стенки выреза в предыдущем разделе. Горизонтальные куски уложатся в сторону $AB$ ровно, без пропусков и наложений, потому что лесенка все время идет только вправо и вверх: каждый следующий горизонтальный кусок начинается там, где закончился предыдущий. Вместе они дают 10 см. Вертикальные уложатся в $BC$ — еще 10 см. Значит, любая из лесенок — из 1, 2, 5 или 10 ступеней — имеет длину 20 см.

Лесенка из 5 ступеней в квадрате 10 на 10: горизонтальные куски переносятся на AB, вертикальные на BC; длина лесенки 10 + 10 = 20 см, а диагональ AC примерно 14 см — Горизонтальные ступени переносятся на сторону $AB$, вертикальные — на $BC$: длина любой такой лесенки 20 см, а диагональ $AC$ — около 14 см

А диагональ $AC$ измерим линейкой: около 14 см. Лесенки подходят к диагонали сколь угодно близко, но их длина все время 20 см. Близость линий не значит близости длин: длину ломаной не определить на глаз, ее нужно сложить из звеньев.

{"questions":[{"content":"Прямоугольник 11 см × 3 см разрезали отрезком длиной 3 см на два прямоугольника с периметрами 16 см и 18 см. Решавр находит периметр большого прямоугольника так: «$16 + 18 = 34$, разрез лишний, $34-3 = 31$ см». Оцените решение.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка: разрез надо вычесть дважды, периметр $34-6 = 28$ см","Ошибка: периметр $34 : 2 = 17$ см","Ошибка: вычитать не нужно, периметр $16 + 18 = 34$ см","Решение верное: разрез один, его и вычли"],"explanations":["","Делить пополам нельзя: части разные, а лишним в сумме оказался только разрез, посчитанный дважды","Разрез входит в периметры частей, а в периметр целого не входит: его нужно убрать из суммы","Разрез один, но он входит в периметр каждой части, поэтому в сумме $16 + 18$ он посчитан два раза"],"answer":[0]}},"hints":["Разрез — отрезок длиной 3 см — входит в периметр каждой из двух частей.","В сумме $16 + 18$ разрез посчитан два раза, а в периметр целого прямоугольника он не входит вовсе.","$34-2 \\cdot 3 = 28$ см. Проверка: $2 \\cdot (11 + 3) = 28$ см. Решавр вычел разрез только один раз."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямоугольник со сторонами 5 см и 10 см разрезали отрезком длиной 5 см на два прямоугольника. Найдите сумму периметров двух получившихся прямоугольников в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Периметр целого: $2 \\cdot (5 + 10) = 30$ см.","Разрез входит в периметр каждой части, то есть в сумму — дважды.","$30 + 2 \\cdot 5 = 40$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В квадрате со стороной 6 см от одной вершины до противоположной провели две лесенки по клеткам: из 3 ступеней и из 6 ступеней. Каждая ступенька — горизонтальный и вертикальный отрезки. Что верно о длинах лесенок?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Лесенка из 6 ступеней длиннее: у нее больше звеньев","Обе лесенки имеют длину 12 см","Обе лесенки имеют длину 6 см","Лесенка из 6 ступеней короче: она ближе к диагонали"],"explanations":["Звеньев больше, но каждое короче: горизонтальные куски вместе все равно дают 6 см, вертикальные — 6 см","","6 см — только горизонтальная часть пути; вертикальные куски вместе дают еще 6 см","Близость линий не значит равенства длин: горизонтальные куски любой лесенки вместе дают 6 см, вертикальные — тоже 6 см"],"answer":[1]}},"hints":["Перенесите все горизонтальные отрезки лесенки на нижнюю сторону квадрата, а вертикальные — на боковую.","Горизонтальные отрезки любой такой лесенки вместе дают 6 см, вертикальные — тоже 6 см.","Обе лесенки имеют длину $6 + 6 = 12$ см, сколько бы в них ни было ступеней."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Ломаная и многоугольник встречаются везде, где нужно измерить путь или границу: сколько сетки на ограждение, сколько багета на рамку, какой длины маршрут по улицам. Главное в уроке держится на одной модели — нитке на гвоздиках.

Случай	Как увидеть через нитку	Что получаем
Длина ломаной	Распрямить нитку: звенья подряд на луче	Сумма длин звеньев
Отрезок между концами ломаной	Нитка, натянутая напрямик	Короче ломаной
Многоугольник	Петля без перехлестов; называем по обходу	Стороны, вершины, диагонали
Периметр	Длина петли вокруг фигуры	Сумма сторон; у прямоугольника $2 \cdot (a + b)$
Вырез у вершины «ступенькой»	Стенки выреза переносятся на место убранных отрезков	Периметр тот же, площадь меньше
Разрез на две части	Вдоль разреза нитка проходит у каждой части	$P_1 + P_2 = P + 2d$

Часто задаваемые вопросы

Чем периметр отличается от площади?

Периметр — длина границы фигуры, его измеряют в сантиметрах или метрах. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, ее измеряют в квадратных единицах или клетках. Если вырезать у вершины прямоугольника угол «ступенькой», площадь уменьшится, а периметр останется прежним. Значит, это разные величины, и по одной нельзя судить о другой.

Треугольник — это тоже ломаная?

Да. Треугольник $ABC$ — замкнутая ломаная из трех звеньев $AB$, $BC$ и $CA$ без самопересечений, то есть многоугольник с тремя вершинами. Его периметр — сумма трех сторон.

Почему у замкнутой ломаной звеньев столько же, сколько вершин, а у незамкнутой — на одно меньше?

У незамкнутой ломаной каждое звено ведет к следующей вершине, и первая вершина остается без звена, которое в нее приходит. У замкнутой ломаной последнее звено возвращается в первую вершину, поэтому звеньев становится на одно больше — столько же, сколько вершин.

Всегда ли вырез не меняет периметр?

Нет. Площадь при любом вырезе уменьшается, а периметр — по-разному. Вырез у вершины «ступенькой», который не доходит до других вершин, периметр не меняет, срез угла по прямой уменьшает, выемка посередине стороны увеличивает, а полоса во всю ширину уменьшает. Чтобы не гадать, сравните, какие отрезки ушли из контура и какие появились.

Где пригодится периметр дальше?

В задачах на клетчатой бумаге, которые часто встречаются в проверочных работах: периметр ступенчатой фигуры удобно находить переносом сторон. В 8 классе многоугольники изучают подробнее: какие из них выпуклые и чему равна сумма их углов.

Награды за урок