Взаимное расположение точек и прямой

На предыдущем уроке нами были рассмотрены две ключевые аксиомы геометрии, описывающие основные свойства принадлежности точек и прямых. Теперь, когда принцип принадлежности в геометрии понятен, целесообразно перейти к изучению взаимного расположения точек и прямой на плоскости.

Способ, которым задается расположение точек и прямых, подводит нас к новым важным понятиям — отрезку, лучу и полуплоскости.

Отрезок в геометрии

Представьте, что вы наблюдаете телевизионную трансляцию автомобильных гонок. Комментатор произносит: «А сейчас участников ожидает самый сложный отрезок трассы». Возникает образ определенной части пути, ограниченной началом и концом. В геометрии понятие отрезка схоже с этим бытовым представлением.

Начертим на плоскости прямую $a$ и отметим на ней точки $A$, $B$ и $C$ так, что: $A \in a$, $B \in a$, $C \in a$.

Под отрезком $AC$ в геометрии понимается часть прямой $a$, состоящая из всех ее точек, расположенных между точками $A$ и $C$. Точки $A$ и $C$ называются концами отрезка.

Например, точка $B$ принадлежит отрезку $AC$, поскольку она находится между концами отрезка: $B \in AC$. С опорой на точки $A$, $B$ и $C$ можно сформулировать важное свойство:

$A3$. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Возможно ли на прямой $a$ расположить точки $A$, $B$ и $C$ таким образом, что одновременно выполняются условия $B \in AC$ и $A \in BC$?

{"questions":[{"content":"[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"answer":[1]}},"explanation":"Если $B \\in AC$ и $A \\in BC$, то точка $A$ получается «плавающей»: в одно мгновение она является концом отрезка $AC$, и сразу же в другое мгновение перемещается между точками $B$ и $C$, «занимая прежнюю нишу» точки $B$.<br /><br />Согласно аксиоме взаимного расположения только одна точка может находиться между двумя другими. Условия, заданные в вопросе, противоречат аксиоме. Поэтому нет, на прямой $a$ расположить так точки невозможно.<br />"}]}

Принадлежность отрезка прямой

Отрезок, как и точка, может принадлежать или не принадлежать прямой.

На приведенном выше чертеже отрезок $AB$ располагается обоими концами на прямой $a$, следовательно, справедлива запись: $AB \in a$. Если бы один из концов отрезка $AB$ не принадлежал прямой $a$, то следовало бы записать: $AB \notin a$.

Оба конца отрезка должны находиться на прямой, чтобы можно было утверждать, что отрезок принадлежит этой прямой.

Логично также, что отрезок может принадлежать не только прямой, но и другому отрезку. Точка, в свою очередь, может принадлежать прямой, на которой расположен отрезок, но не принадлежать самому отрезку, то есть находиться за его пределами.

Решение

Скрыть решение

Отрезок в геометрии: определение

Рассмотрев взаимное расположение точек и прямой, можно дать формальное определение:

Отрезок — это часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих между двумя ее заданными точками, называемыми концами отрезка.

Отрезок в геометрии всегда обозначается по его концам. Например, отрезок $AD$ отличается от отрезка $AC$, даже несмотря на то, что $AD \in AC$. В большинстве случаев обозначение отрезков записывается слева направо, однако возможен и обратный порядок.

{"questions":[{"content":"На плоскости заданы прямая $a$ и точки $A$, $B$, $C$, $F$, $G$. [[image-229]]Распределите утверждения о взаимном расположении точек и прямой согласно их истинности относительно заданного чертежа.[[grouper-6]]","widgets":{"grouper-6":{"type":"grouper","labels":["Не соответствует чертежу","Соответствует чертежу"],"items":[["$AF \\in AG$","$C \\in a$","$AF \\in AB$"],["$AB \\in a$","$AB \\in AF$","$AC \\notin a$","$G \\notin AB$","$B \\in AF$"]]},"image-229":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/test-img.svg"}}}]}

Расположение прямых и точек — нотация

В математике для обозначения пересечения используется символ $\cap$. Общая запись имеет вид: «$x \cap y = z$», где $x$ и $y$ обозначают фигуры — отрезки или прямые, — а $z$ обозначает точку пересечения. Если пересечение отсутствует, то указывается символ $\varnothing$ — символ пустого множества.  

Следует отметить, что запись $x \cap y = \varnothing$ используется только в случаях, когда рассматриваются отрезки или комбинация отрезка и прямой. Для параллельных прямых применяется иная символика, которая будет введена позднее.

Расположение прямых и точек: пересечение отрезков

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости удобно описывать через понятие пересечения. Отрезки могут не пересекаться, прямые могут не пересекаться, однако если пересечение происходит, оно всегда происходит только в одной точке.

Рассмотрим четыре возможные ситуации.

Если прямые $a$ и $b$ не пересекаются, такая ситуация называется параллельностью. Понятие параллельных прямых будет рассмотрено подробнее далее в курсе.

Если же прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $A$, то таких точек может быть только одна. Это записывается так: $a \cap b = A$ (прямая $a$ пересекается с прямой $b$ в точке $A$).

Отрезки $AB$ и $CD$ могут пересекаться в точке $O$. Иногда точка пересечения совпадает с одним из концов отрезков. Для такой ситуации используется запись: $AB \cap CD = O$ (отрезок $AB$ пересекается с отрезком $CD$ в точке $O$).

Если отрезки $AB$ и $CD$ не пересекаются, то, в отличие от прямых, им необязательно быть параллельными, ведь каждый отрезок — лишь часть прямой. В этом случае записывается: $AB \cap CD = \varnothing$ (отрезок $AB$ не пересекается с отрезком $CD$)

Интерактив

Предлагаем интерактивное упражнение, демонстрирующее одно из фундаментальных свойств геометрии: через любые две точки можно провести единственную прямую.

Перемещайте точки мышью и нажимайте кнопку «Построить прямую» — система проведет через них линию. Это позволит закрепить понимание аксиомы.

{"questions":[{"content":"Соедините пары так, чтобы напротив каждой математической нотации стояло верное текстовое ее прочтение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$AB \\cap BC = B$","$a \\cap b = H$","$AB \\cap GF = \\varnothing$"],"items":["Отрезок $AB$ пересекается с отрезком $BC$ в точке $B$","Прямая $a$ пересекается с прямой $b$ в точке $H$","Отрезок $AB$ не пересекается с отрезком $GF$"]}}}]}

Полуплоскость

Некоторые из вас могли заметить, что помимо рассмотренных четырех случаев существует и пятый — пересечение прямой и отрезка. Это особый тип взаимного расположения, связанный с одной из аксиом геометрии, которую мы сейчас подробно рассмотрим.

Рассмотрим прямую $c$ на плоскости. Она разделяет наше двухмерное пространство на две части — то, что как бы располагается сверху, и то, что ниже.

Выделим части на чертеже разными цветами. Каждая из цветных частей имеет в геометрии особое название — полуплоскость.

Полуплоскость —  множество точек плоскости, располагающихся по одну сторону от заданной прямой на плоскости.

Плоскость бесконечна, прямая тоже бесконечна. Идея полуплоскости проистекает из того факта, что если на бесконечном «полотне» плоскости провести бесконечную прямую, то плоскость поделится на два отличных друг от друга множества точек.

Полуплоскость и прямая, соответственно, связаны аксиомой:

$A4$​. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Рассмотрим прямую $a$ и отметим на чертеже точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Пусть точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат одной полуплоскости, а точка $D$ — другой. Если соединить точки $A$ и $B$ отрезком $AB$, а точки $C$ и $D$ — отрезком $CD$, можно сформулировать следующее утверждение:

$А5$. отрезок не пересекает прямую, если его концы принадлежат одной полуплоскости. Если же концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Задача 1

Дана прямая $a$ и три точки $A$, $B$, $C$, для которых известно, что $A, B, C \notin a$. Также известно, что отрезок $AB$ пересекает прямую $a$, а отрезок $AC$ не пересекает ее. Определите, пересекает ли прямую $a$ отрезок $BC$.

Выполните чертеж самостоятельно и приведите формальное доказательство с опорой на аксиому пересечения отрезка с прямой.

Показать решение

Скрыть

Часто задаваемые вопросы