Точка, прямая, отрезок, луч

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Через точки $A$ и $B$ провели прямую. Через какой из отмеченных узлов она пройдет?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g2tfstzrnbzt.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$N$","$L$","$K$","$M$"],"explanations":["От $B$ к $N$ — 1 вправо и 3 вверх: шаг другой","","От $B$ к $K$ — 3 вправо и 3 вверх, а нужен шаг 2 вправо, 3 вверх","От $B$ к $M$ — 2 вправо и 2 вверх: шаг другой"],"answer":[1]}},"hints":["От $A$ к $B$ прямая идет на 2 клетки вправо и 3 вверх. Дальше она идет такими же шагами.","От $B$ еще раз 2 вправо и 3 вверх — попадаем в узел $L$.","Ответ: через узел $L$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Через точки $A$ и $B$ провели прямую. Через какой из отмеченных узлов она пройдет?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lrlyqedu9cat.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$L$","$K$","$N$","$M$"],"explanations":["","От $B$ к $K$ — 3 вправо и 1 вниз: это не шаг 4 вправо, 2 вниз и не его половина 2 вправо, 1 вниз","От $B$ к $N$ — 4 вправо и 1 вниз: вправо как в полном шаге, а вниз как в половине","От $B$ к $M$ — 2 вправо и 2 вниз: вниз на клетку больше, чем в половине шага"],"answer":[0]}},"hints":["От $A$ к $B$ прямая идет на 4 клетки вправо и 2 вниз. Этот шаг состоит из двух одинаковых половин: 2 вправо и 1 вниз.","От $B$ на половину шага — 2 вправо и 1 вниз — попадаем в узел $L$.","Ответ: через узел $L$."],"step":1},{"id":"2","content":"Прямые $a$, $b$ и $c$ различны, и каждые две из них пересекаются. Сколько может быть точек пересечения у этих прямых?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Только 1","Только 3","1 или 3","1, 2 или 3"],"explanations":["Забыт случай, когда прямые образуют треугольник: точек три","Забыт случай, когда все три прямые проходят через одну точку","","Двух точек быть не может: если точки двух пар совпали, через нее проходят все три прямые"],"answer":[2]}},"hints":["Каждая пара прямых пересекается ровно в одной точке. Пар три: $a$ и $b$, $b$ и $c$, $a$ и $c$.","Если все три прямые проходят через одну точку, точки пар сливаются в одну. Если нет — точек три.","Двух точек быть не может: если две точки пар совпали, через нее проходят все три прямые. Ответ: 1 или 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Прямые $a$, $b$ и $c$ различны. Прямые $a$ и $b$ пересекаются, прямая $c$ пересекает прямую $a$. Сколько может быть точек пересечения у этих трех прямых?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Только 3","1, 2 или 3","Только 2","1 или 3"],"explanations":["Забыты случаи: $c$ проходит через точку пересечения $a$ и $b$ (1 точка) или не пересекает $b$ (2 точки)","","Это лишь один случай; если $c$ пересекает и $b$, точек 3, а если проходит через их общую точку — 1","Забыт случай, когда $c$ не пересекает $b$: тогда точек 2"],"answer":[1]}},"hints":["Пусть $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Если $c$ проходит через $O$, все три прямые встречаются в одной точке.","Если $c$ не проходит через $O$, она пересекает $a$ в другой точке; с прямой $b$ она может пересечься (еще точка) или не пересечься.","Получается 1, 3 или 2 точки. Ответ: 1, 2 или 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, $AB = 7$ см, $BC = 3$ см, $AC = 4$ см. Какая из точек лежит между двумя другими?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Точка $C$","Нельзя определить без чертежа","Точка $A$","Точка $B$"],"explanations":["","По длинам видно: $AB = AC + CB$, значит, $C$ между $A$ и $B$","Тогда было бы $BC = BA + AC$, а $3 \\ne 7 + 4$","Тогда было бы $AC = AB + BC = 10$ см, а $AC = 4$ см"],"answer":[0]}},"hints":["Если точка лежит между двумя другими, то самый длинный из трех отрезков равен сумме двух других.","Самый длинный — $AB = 7$ см, и $AC + CB = 4 + 3 = 7$ см. Значит, $C$ лежит на отрезке $AB$.","Ответ: точка $C$."],"step":1},{"id":"3","content":"Точки $K$, $M$, $N$ лежат на одной прямой, $KM = 5$ см, $MN = 9$ см, $KN = 4$ см. Какая из точек лежит между двумя другими?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Точка $N$","Нельзя определить без чертежа","Точка $K$","Точка $M$"],"explanations":["Тогда было бы $KM = KN + NM$, а $5 \\ne 4 + 9$","По длинам видно: $MN = MK + KN$, значит, $K$ между $M$ и $N$","","Тогда было бы $KN = KM + MN = 14$ см, а $KN = 4$ см"],"answer":[2]}},"hints":["Если точка лежит между двумя другими, то самый длинный из трех отрезков равен сумме двух других.","Самый длинный — $MN = 9$ см, и $MK + KN = 5 + 4 = 9$ см. Значит, $K$ лежит на отрезке $MN$.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"id":"4","content":"На прямой отметили несколько точек и провели все отрезки с концами в этих точках. Получился 21 отрезок. Сколько точек отметили? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Если точек $n$, каждая соединяется с $n-1$ другими, а каждый отрезок посчитан дважды: отрезков $n \\cdot (n-1) : 2$.","Подбираем: 6 точек — $6 \\cdot 5 : 2 = 15$; 7 точек — $7 \\cdot 6 : 2 = 21$.","Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"На прямой отметили несколько точек и провели все отрезки с концами в этих точках. Получилось 15 отрезков. Сколько точек отметили? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Если точек $n$, каждая соединяется с $n-1$ другими, а каждый отрезок посчитан дважды: отрезков $n \\cdot (n-1) : 2$.","Подбираем: 5 точек — $5 \\cdot 4 : 2 = 10$; 6 точек — $6 \\cdot 5 : 2 = 15$.","Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]Точки $M$, $K$, $N$, $P$ лежат на прямой, как на рисунке. Распределите пары лучей.[[grouper-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/56sj0xltcby4.svg"},"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Совпадают","Дополнительные","Ни то ни другое"],"items":[["$NK$ и $NM$","$MN$ и $MP$"],["$KM$ и $KN$","$NP$ и $NM$"],["$KN$ и $NK$"]]}},"hints":["Сначала сравните начала лучей: если они разные, лучи не совпадают и не дополнительные.","При общем начале смотрим, где вторые точки: по одну сторону от начала — совпадают, по разные — дополнительные.","Ответ: совпадают $NK$ и $NM$, $MN$ и $MP$; дополнительные $KM$ и $KN$, $NP$ и $NM$; ни то ни другое — $KN$ и $NK$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]Точки $E$, $F$, $G$, $H$ лежат на прямой, как на рисунке. Распределите пары лучей.[[grouper-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zaepr4qgptcv.svg"},"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Совпадают","Дополнительные","Ни то ни другое"],"items":[["$FG$ и $FH$","$HE$ и $HF$"],["$GF$ и $GH$","$FE$ и $FH$"],["$EG$ и $GE$"]]}},"hints":["Сначала сравните начала лучей: если они разные, лучи не совпадают и не дополнительные.","При общем начале смотрим, где вторые точки: по одну сторону от начала — совпадают, по разные — дополнительные.","Ответ: совпадают $FG$ и $FH$, $HE$ и $HF$; дополнительные $GF$ и $GH$, $FE$ и $FH$; ни то ни другое — $EG$ и $GE$."],"step":1},{"id":"6","content":"Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $a$, а точки $B$ и $C$ — по разные стороны от нее. Пересекает ли прямую $a$ отрезок $AC$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Нельзя сказать без чертежа","Не пересекает: точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $a$","Пересекает, только если $B$ лежит на отрезке $AC$","Пересекает: $A$ там же, где $B$, а $C$ — в другой полуплоскости"],"explanations":["Ответ следует из полуплоскостей: $A$ и $C$ по разные стороны от $a$","Это про отрезок $AB$, а спрашивают про $AC$","Положение $B$ на отрезке не важно: важно, в каких полуплоскостях концы $A$ и $C$",""],"answer":[3]}},"hints":["Отрезок пересекает прямую, если его концы в разных полуплоскостях, и не пересекает, если в одной.","$A$ — в той же полуплоскости, что и $B$, а $C$ — в другой. Значит, $A$ и $C$ в разных полуплоскостях.","Ответ: пересекает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Точки $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $b$, точки $N$ и $K$ — тоже по разные стороны от нее. Пересекает ли прямую $b$ отрезок $MK$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Пересекает, если $N$ лежит на отрезке $MK$","Нельзя сказать без чертежа","Не пересекает: $M$ и $K$ обе лежат не там, где $N$, то есть в одной полуплоскости","Пересекает: в условии дважды сказано «по разные стороны»"],"explanations":["$N$ не может лежать на $MK$: отрезок с концами в одной полуплоскости целиком в ней","Полуплоскостей только две, поэтому $M$ и $K$ обязательно в одной","","Каждое «по разные стороны» — про пару с $N$; сами $M$ и $K$ оказываются по одну сторону"],"answer":[2]}},"hints":["Отрезок пересекает прямую, если его концы в разных полуплоскостях, и не пересекает, если в одной.","Полуплоскостей две. $M$ — не там, где $N$, и $K$ — не там, где $N$. Значит, $M$ и $K$ в одной полуплоскости.","Ответ: не пересекает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения.[[grouper-3]]","widgets":{"grouper-3":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна","Отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — один и тот же отрезок"],["Луч $AB$ и луч $BA$ — один и тот же луч","Две различные прямые могут иметь две общие точки"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям: отрезок $AB$ — то же, что $BA$; у луча первая буква — начало.","Через две точки проходит одна прямая; две различные прямые имеют не более одной общей точки.","Верно: про прямую через две точки и про отрезки $AB$ и $BA$. Неверно: про лучи $AB$ и $BA$ и про две общие точки."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения.[[grouper-4]]","widgets":{"grouper-4":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими","Любая точка прямой делит ее на два дополнительных луча"],["Два луча с общим началом, лежащие на одной прямой, всегда совпадают","Концы отрезка не принадлежат отрезку"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям: концы входят в отрезок; совпадение лучей зависит от того, по какую сторону от начала вторые точки.","Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими; точка прямой делит ее на два дополнительных луча.","Верно: про точку между и про дополнительные лучи. Неверно: про лучи с общим началом и про концы отрезка."],"step":1},{"id":"8","content":"Точки $C$, $E$, $F$ лежат на прямой в указанном порядке. Решавр: «Отрезки $CE$ и $EC$ — один отрезок, значит, лучи $CE$ и $EC$ — один луч. Точка $F$ лежит на луче $CE$, поэтому она лежит и на луче $EC$». Оцените рассуждение.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Неверно: луч $EC$ идет от $E$ к $C$, а $F$ по другую сторону от $E$","Неверно: точка $F$ не лежит и на луче $CE$","Неверно: у лучей $CE$ и $EC$ нет ни одной общей точки","Верно: лучи, как и отрезки, не зависят от порядка букв"],"explanations":["","$F$ лежит на луче $CE$: он идет от $C$ через $E$ дальше","Общая часть лучей $CE$ и $EC$ — весь отрезок $CE$","Порядок букв у луча важен: первая буква — начало; $F$ не лежит на луче $EC$"],"answer":[0]}},"hints":["Первая буква — начало луча. Луч $EC$ начинается в $E$ и идет в сторону $C$.","Точка $F$ лежит по другую сторону от $E$, чем $C$, поэтому на луче $EC$ ее нет. Общая часть лучей $CE$ и $EC$ — только отрезок $CE$.","Ответ: рассуждение неверное, правило отрезка перенесено на луч."],"step":1},{"id":"8","content":"Точки $P$, $K$, $M$ лежат на прямой в указанном порядке. Решавр: «Луч $MK$ — то же, что луч $KM$. Точка $P$ лежит на луче $MK$, поэтому она лежит и на луче $KM$». Оцените рассуждение.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Неверно: луч $KM$ идет от $K$ к $M$, а $P$ по другую сторону от $K$","Неверно: у лучей $MK$ и $KM$ нет ни одной общей точки","Верно: лучи, как и отрезки, не зависят от порядка букв","Неверно: точка $P$ не лежит и на луче $MK$"],"explanations":["","Общая часть лучей $MK$ и $KM$ — весь отрезок $KM$","Порядок букв у луча важен: первая буква — начало; $P$ не лежит на луче $KM$","$P$ лежит на луче $MK$: он идет от $M$ через $K$ дальше"],"answer":[0]}},"hints":["Первая буква — начало луча. Луч $KM$ начинается в $K$ и идет в сторону $M$.","Точка $P$ лежит по другую сторону от $K$, чем $M$, поэтому на луче $KM$ ее нет. Общая часть лучей $MK$ и $KM$ — только отрезок $KM$.","Ответ: рассуждение неверное, правило отрезка перенесено на луч."],"step":1},{"id":"9","content":"Точки $E$, $O$, $F$ лежат на прямой в указанном порядке. Решавр: «Лучи $OE$ и $OF$ начинаются в одной точке $O$ и лежат на одной прямой, значит, они совпадают». Оцените рассуждение.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Неверно: $E$ и $F$ по разные стороны от $O$, лучи $OE$ и $OF$ дополнительные","Неверно: у лучей $OE$ и $OF$ нет ни одной общей точки","Неверно: лучи с общим началом никогда не совпадают","Верно: общее начало и общая прямая означают, что лучи совпадают"],"explanations":["","Общая точка есть — начало $O$","Совпадают, если вторые точки по одну сторону от начала, например $EO$ и $EF$","Нужно еще, чтобы вторые точки были по одну сторону от начала; здесь $E$ и $F$ по разные стороны"],"answer":[0]}},"hints":["Совпадение лучей с общим началом зависит от того, по какую сторону от начала лежат вторые точки.","Точки $E$ и $F$ лежат по разные стороны от $O$: лучи $OE$ и $OF$ идут в противоположные стороны и вместе дают прямую.","Ответ: рассуждение неверное, лучи $OE$ и $OF$ дополнительные."],"step":1},{"id":"9","content":"Точки $M$, $N$, $K$ лежат на прямой в указанном порядке. Решавр: «Лучи $NM$ и $NK$ дополнительные. Лучи $MN$ и $MK$ тоже начинаются в одной точке, значит, и они дополнительные». Оцените рассуждение.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Верно: лучи с общим началом на одной прямой всегда дополнительные","Неверно: $N$ и $K$ по одну сторону от $M$, лучи $MN$ и $MK$ совпадают","Неверно: лучи $MN$ и $MK$ не имеют общих точек","Неверно: лучи $NM$ и $NK$ тоже не дополнительные"],"explanations":["Дополнительные они, только если вторые точки по разные стороны от начала","","У них общее начало $M$, и вообще они совпадают","$M$ и $K$ лежат по разные стороны от $N$ — эти лучи дополнительные"],"answer":[1]}},"hints":["Дополнительные лучи — два луча с общим началом, которые вместе составляют прямую. Важно, по какую сторону от начала вторые точки.","Для лучей $MN$ и $MK$ точки $N$ и $K$ лежат по одну сторону от $M$: лучи идут в одну сторону и совпадают.","Ответ: рассуждение неверное, лучи $MN$ и $MK$ совпадают."],"step":1},{"id":"10","content":"Точки $F$, $Q$, $R$, $S$, $U$ лежат на прямой в этом порядке. Сопоставьте точку и лучи, на которых она лежит.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Только на луче $QS$","Только на луче $SQ$","На обоих лучах"],"items":["$U$","$F$","$R$"]}},"hints":["Первая буква — начало луча. Луч $QS$ идет от $Q$ через $S$ дальше, луч $SQ$ — от $S$ через $Q$ дальше.","Точки между $Q$ и $S$ лежат на обоих лучах: их общая часть — отрезок $QS$. За точкой $S$ — только луч $QS$, за точкой $Q$ — только луч $SQ$.","Ответ: $U$ — только на луче $QS$, $F$ — только на луче $SQ$, $R$ — на обоих лучах."],"step":1},{"id":"10","content":"Точки $K$, $M$, $P$, $N$, $T$ лежат на прямой в этом порядке. Сопоставьте точку и лучи, на которых она лежит.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Только на луче $NM$","Только на луче $MN$","На обоих лучах"],"items":["$K$","$T$","$P$"]}},"hints":["Первая буква — начало луча. Луч $NM$ идет от $N$ через $M$ дальше, луч $MN$ — от $M$ через $N$ дальше.","Точки между $M$ и $N$ лежат на обоих лучах: их общая часть — отрезок $MN$. За точкой $M$ — только луч $NM$, за точкой $N$ — только луч $MN$.","Ответ: $K$ — только на луче $NM$, $T$ — только на луче $MN$, $P$ — на обоих лучах."],"step":1}]}</textarea></pre></div>