{"questions":[{"content":"[[image-1]]Даны прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $C$, и точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$. Расположите данные ниже утверждения согласно их соответствию чертежу. <br /><br /><i>Для удобства математической записи лучи в утверждениях обозначены с помощью вектор-символа (например, $\\vec{AB}$ — луч, $AB$ — отрезок).</i>[[grouper-42]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-21.svg","width":"500"},"grouper-42":{"type":"grouper","labels":["Соответствует чертежу","Не соответствует чертежу"],"items":[["$\\vec{AB}$ и $\\vec{AC}$ — совпадающие лучи","$\\vec{BC}$ и $\\vec{BA}$ — дополнительные друг к другу лучи","$BC\\cap{B_{1}C}=C$","$B_1\\in{A_{1}C}$","$AB\\in{AC}$"],["$\\vec{AB}$ и $\\vec{BC}$ — совпадающие лучи","$C\\in{\\vec{A_{1}B_1}}$ и $C\\in{AB}$","$C\\notin{\\vec{A_1}}$","$AB\\cap{A_{1}B_1}$","$\\vec{A_1}\\cap\\vec{A}=\\varnothing$"]]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим <i>принадлежность</i> фигур друг другу. <br /><br />Утверждение «$C\\in{\\vec{A_{1}B_1}}$ и $C\\in{AB}$» не соответствует чертежу, поскольку точка $C$ не принадлежит отрезку $AB$, хотя при этом и принадлежит лучу $A_{1}B_1$. Утверждение «$C\\notin{\\vec{A_1}}$» также не соответствует чертежу, поскольку точка $C$ принадлежит лучу $A_1$.<br /><br />Утверждение «$AB\\in{AC}$» соответствует чертежу. Утверждение «$B_1\\in{A_{1}C}$» соответствует чертежу в том числе.","Рассмотрим <i>пересечение</i> фигур.<br /><br />Утверждение «$\\vec{A}\\cap\\vec{A_1}=\\varnothing$» не соответствует чертежу — лучи $A$ и $A_1$ пересекаются в точке $C$. Утверждение «$AB\\cap{A_{1}B_1}$» также не соответствует чертежу, поскольку отрезки $AB$ и $A_{1}B_1$ не пересекаются ни в одной точке. <br /><br />Утверждение «$BC\\cap{B_{1}C}=C$» соответствует чертежу.","Рассмотрим утверждения о <i>совпадающих и дополнительных</i> лучах.<br /><br />$AB$ и $AC$ — совпадающие лучи, у них общая начальная точка и направление. $AB$ и $BC$ — несовпадающие лучи, у них разные начальные точки. $BC$ и $BA$ — дополнительные друг к другу лучи. <br />"]},{"content":"Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ и прямая расположены на плоскости таким образом, что отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ пересекают прямую. [[speech-148]]<br>[[choice-156]]","widgets":{"speech-148":{"type":"speech","text":"Какой из указанных ниже отрезков будет также <b><i>пересекать</i></b> прямую?"},"choice-156":{"type":"choice","options":["$AC$","$BD$","$AD$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Согласно аксиоме пересечения отрезком прямой, отрезок пересекает прямую в том случае, если точки его начала и конца располагаются в разных полуплоскостях.","Отрезок $AB$ пересекает прямую. Так, точки $A$ и $B$ находятся в разных полуплоскостях. Точки $B$ и $C$ тоже располагаются в разных полуплоскостях, поскольку отрезок $BC$ пересекает прямую. Значит, точки $A$ и $C$ находятся в одной полуплоскости. Отрезок $AC$ не пересекает прямую.","Отрезок $CD$ пересекает прямую. Точки $C$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Следовательно, точки $B$ и $D$ находятся в одной полуплоскости. Отрезок $BD$ не пересекает прямую.","Точки $A$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Отрезок $AD$ пересекает прямую.","<b><i>Ответ</i></b>: $AD$."],"id":"0"},{"content":"На плоскости даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и прямая. Известно, что отрезки $AB$ и $CD$ не пересекают прямую, а отрезок $BC$ ее пересекает. [[speech-233]]<br>[[choice-252]]","widgets":{"speech-233":{"type":"speech","text":"Пересекает ли прямую отрезок $AD$?"},"choice-252":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Согласно аксиоме пересечения отрезком прямой, отрезок пересекает прямую в том случае, если точки его начала и конца располагаются в разных полуплоскостях.","Чтобы понять, пересекает ли прямую отрезок $AD$, необходимо определить, как располагаются точки $A$ и $D$ относительно прямой.","По условию видим, что точки $A$ и $B$ расположены в одной полуплоскости. Точки $C$ и $D$ также расположены в одной полуплоскости. Однако отрезок $BC$ пересекает прямую, так что точки $B$ и $C$ находятся в разных полуплоскостях.","Делаем вывод, что точки $A$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Поэтому, да, отрезок $AD$ будет пересекать прямую."],"id":"0"},{"content":"Известны следующие длины отрезков: $AB=1.2~м$, $OK=2.23~м$, $FF_1=4~м$. Выразите длины данных отрезков в <b><i>сантиметрах</i></b> и укажите в ответе <b><i>сумму</i></b> полученных величин в сантиметрах. [[input-340]]","widgets":{"input-340":{"type":"input","unit":"см","answer":"743"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Вспомним, что $1~м=10^2~см$. Итого, чтобы выразить метровые длины отрезков в сантиметровых, необходимо умножить каждую величину на $100$.","Для отрезка $AB$: <br />$$AB=1.2*100=120~см$$","Для отрезка $OK$: <br />$$OK=2.23*100=223~см$$","Для отрезка $FF_1$: $$FF_1=4*100=400~см$$","Сумма: $$AB+OK+FF_1=120+223+400=743~см$$"],"id":"1"},{"content":"Известны следующие длины отрезков: $MK=0.455~м$, $DD_1=1.18~м$. Выразите длины данных отрезков в <b><i>сантиметрах</i></b> и укажите в ответе <b><i>разность</i></b> длин отрезков $DD_1$ и $MK$.[[input-452]]","widgets":{"input-452":{"type":"input","unit":"см","answer":"72.5"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Найдем разность отрезков $DD_1$ и $MK$ в метрах: $$1.18-0.455=0.725~м$$","Известно, что $1~м=10^2~см$. Чтобы выразить метры в сантиметрах, необходимо умножить имеющуюся величину на $100.$","Считаем: $$0.725\\cdot100=72.5~см$$"],"id":"1"},{"content":"[[image-539]]Длина отрезка $AB$ в пять раз меньше суммы длины отрезков $AC$, $CD$, $DE$ и $BE$. Найдите длину отрезка $AB$ и выразите величину в <b><i>метрах</i></b>.[[choice-648]]","widgets":{"image-539":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-22.svg"},"choice-648":{"type":"choice","options":["$3.71~м$","$0.7~м$","$0.742~м$","$3.77~м$"],"answer":[2]}},"step":1,"calc":1,"hints":["Длина отрезка $AB$ равняется:<br />$$AB=\\frac{AC+CD+DE+EB}{5}$$","Приведем длины всех отрезков к одной единице измерения — к метру. Вспомним, что:<br />$$1~дм=0.1~м\\\\1~см=0.01~м\\\\1~мм=0.001~м$$","Вычисляем: <br />$$AC=12\\cdot{0.1}=1.2~м\\\\CD=760\\cdot{0.001}=0.76~м\\\\DE=45\\cdot{0.01}=0.45~м\\\\EB=13\\cdot{0.1}=1.3~м$$","Тогда длина отрезка $AB$: $$AB=\\frac{AC+CD+DE+BE}{5}=0.742~м$$"],"id":"2"},{"content":"[[image-715]]Длина отрезка $AB$ в пять раз меньше суммы длины отрезков $AC$, $CD$, $DE$ и $BE$. Найдите длину отрезка $AB$ и выразите величину в <b><i>метрах</i></b>.[[choice-892]]","widgets":{"image-715":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-23.svg"},"choice-892":{"type":"choice","options":["$1~м$","$1.13~м$","$2~м$","$2.39~м$"],"answer":[1]}},"calc":1,"hints":["Длина отрезка $AB$ равняется:<br />$$AB=\\frac{AC+CD+DE+EB}{5}$$","Приведем длины всех отрезков к одной единице измерения — к метру. Вспомним, что:<br />$$1~дм=0.1~м\\\\1~см=0.01~м\\\\1~мм=0.001~м$$","Вычисляем: <br />$$AC=20\\cdot{0.1}=2~м\\\\CD=700\\cdot{0.001}=0.7~м\\\\DE=55\\cdot{0.01}=0.55~м\\\\EB=24\\cdot{0.1}=2.4~м$$","Тогда длина отрезка $AB$: $$AB=\\frac{AC+CD+DE+BE}{5}=1.13~м$$"],"id":"2"},{"content":"Отрезок $CD\\in{a}$. На прямой также отмечена точка $F$ так, что $F\\in{}CD$. Чему равна длина отрезка $CD$, если $CF=2.5~см$, $FD=3.5~см$? [[input-998]]","widgets":{"input-998":{"type":"input","unit":"см","answer":"6"}},"step":1,"hints":["Согласно аксиоме сумм длин частей отрезка, длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Точка $F$ принадлежит отрезку $CD$.","Тогда: $$CD=CF+FD$$","Складываем: $$CD=CF+FD=2.5+3.5=6~см$$"],"id":"3"},{"content":"Отрезок $AB\\in{a}$. На прямой также отмечена точка $M$ так, что $M\\in{AB}.$ Чему равна длина отрезка $AB$, если $AM=3.1~дм$, $MB=4~дм?$ <br /><br />Ответ дайте в <b><i>сантиметрах</i></b>. [[input-1180]]","widgets":{"input-1180":{"type":"input","unit":"см","answer":"71"}},"step":1,"hints":["Согласно аксиоме сумм длин частей отрезка, длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$.","Тогда: $$AB=AM+MB$$","Складываем: $$AB=3.1+4=7.1~дм$$","Ответ необходимо дать в сантиметрах. Для этого умножаем полученное значение на $10$: $$AB=7.1\\cdot{10}=71~см$$"],"id":"3"},{"content":"[[image-1376]]Может ли точка $B$ принадлежать отрезку $AC$, если известно, что $$AC=5~см,~BC=7~см?$$[[choice-1482]]","widgets":{"image-1376":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-24.svg"},"choice-1482":{"type":"choice","options":["Да, $B\\in{AC}$","Нет, $B\\notin{AC}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $B\\in{AC}$, тогда сумма длин частей отрезка должна равняться длине всего отрезка.","Проверим, соблюдается ли равенство: <br />$$AB+BC=AC\\\\AB=5-7\\\\AB=-2$$","Равенство соблюдается только тогда, когда длина отрезка $AB$ <b><i>отрицательная</i></b>. Это противоречит аксиоме длины отрезка, согласно которой длина отрезка строго $>0$. Делаем вывод, что точка $B$ располагается за границами отрезка $AC$."],"id":"4"},{"content":"[[image-1671]] Может ли точка $B$ принадлежать отрезку $AC$, если известно, что $$AC=9.1~дм,~AB=9.2~дм?$$[[choice-1757]]","widgets":{"image-1671":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-24.svg"},"choice-1757":{"type":"choice","options":["Да, $B\\in{AC}$","Нет, $B\\notin{AC}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $B\\in{AC}$, тогда сумма длин частей отрезка должна равняться длине всего отрезка.","Проверим, соблюдается ли равенство: <br />$$AB+BC=AC\\\\BC=9.1-9.2\\\\BC=-0.1$$","Равенство соблюдается только тогда, когда длина отрезка $BC$ <b><i>отрицательная</i></b>. Это противоречит аксиоме длины отрезка, согласно которой длина отрезка строго $>0$. Делаем вывод, что точка $B$ располагается за границами отрезка $AC$."],"id":"4"},{"content":"[[image-1917]]Проведено измерение отрезка $AB$ сантиметровой линейкой. Укажите полученную в результате измерения длину отрезка в миллиметрах. [[input-1975]]","widgets":{"image-1917":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/lineyka-izmerenie.svg"},"input-1975":{"type":"input","unit":"мм","answer":"51"}},"step":1,"hints":["Длина отрезка в результате измерения равняется: $$|x_2-x_1|,$$ где $x_1$ и $x_2$ — отметки концов отрезка на измерительном инструменте.","На изображении видно, что, что $x_1=3$, $x_2=8.1$. Тогда: $$AB=5.1~см$$","Чтобы выразить значение в миллиметрах, нужно умножить полученную величину на $10$: $$5.1\\cdot{10}=51~мм$$"]}],"mix":1}
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
