Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Отлично!

Добытые сапфиры0 Очки опыта, полученные за тест0
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

Сообщить об ошибке

Сообщить об ошибке в вопросе

Описание проблемы:

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Готов к практике?

Основные понятия: задачи

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Даны прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $C$, и точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$. Расположите данные ниже утверждения согласно их соответствию чертежу. <br /><br /><i>Для удобства математической записи лучи в утверждениях обозначены с помощью вектор-символа (например, $\\vec{AB}$ — луч, $AB$ — отрезок).</i>[[grouper-42]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-21.svg","width":"500"},"grouper-42":{"type":"grouper","labels":["Соответствует чертежу","Не соответствует чертежу"],"items":[["$\\vec{AB}$ и $\\vec{AC}$ — совпадающие лучи","$\\vec{BC}$ и $\\vec{BA}$ — дополнительные друг к другу лучи","$BC\\cap{B_{1}C}=C$","$B_1\\in{A_{1}C}$","$AB\\in{AC}$"],["$\\vec{AB}$ и $\\vec{BC}$ — совпадающие лучи","$C\\in{\\vec{A_{1}B_1}}$ и $C\\in{AB}$","$C\\notin{\\vec{A_1}}$","$AB\\cap{A_{1}B_1}$","$\\vec{A_1}\\cap\\vec{A}=\\varnothing$"]]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим <i>принадлежность</i> фигур друг другу. <br /><br />Утверждение «$C\\in{\\vec{A_{1}B_1}}$ и $C\\in{AB}$» не соответствует чертежу, поскольку точка $C$ не принадлежит отрезку $AB$, хотя при этом и принадлежит лучу $A_{1}B_1$. Утверждение «$C\\notin{\\vec{A_1}}$» также не соответствует чертежу, поскольку точка $C$ принадлежит лучу $A_1$.<br /><br />Утверждение «$AB\\in{AC}$» соответствует чертежу. Утверждение «$B_1\\in{A_{1}C}$» соответствует чертежу в том числе.","Рассмотрим <i>пересечение</i> фигур.<br /><br />Утверждение «$\\vec{A}\\cap\\vec{A_1}=\\varnothing$» не соответствует чертежу — лучи $A$ и $A_1$ пересекаются в точке $C$.  Утверждение «$AB\\cap{A_{1}B_1}$» также не соответствует чертежу, поскольку отрезки $AB$ и $A_{1}B_1$ не пересекаются ни в одной точке. <br /><br />Утверждение «$BC\\cap{B_{1}C}=C$» соответствует чертежу.","Рассмотрим утверждения о <i>совпадающих и дополнительных</i> лучах.<br /><br />$AB$ и $AC$ — совпадающие лучи, у них общая начальная точка и направление. $AB$ и $BC$ — несовпадающие лучи, у них разные начальные точки. $BC$ и $BA$ — дополнительные друг к другу лучи. <br />"]},{"content":"Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ и прямая расположены на плоскости таким образом, что отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ пересекают прямую.  [[speech-148]]<br>[[choice-156]]","widgets":{"speech-148":{"type":"speech","text":"Какой из указанных ниже отрезков будет также <b><i>пересекать</i></b> прямую?"},"choice-156":{"type":"choice","options":["$AC$","$BD$","$AD$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Согласно аксиоме пересечения отрезком прямой, отрезок пересекает прямую в том случае, если точки его начала и конца располагаются в разных полуплоскостях.","Отрезок $AB$ пересекает прямую. Так, точки $A$ и $B$ находятся в разных полуплоскостях. Точки $B$ и $C$ тоже располагаются в разных полуплоскостях, поскольку отрезок $BC$ пересекает прямую. Значит, точки $A$ и $C$ находятся в одной полуплоскости. Отрезок $AC$ не пересекает прямую.","Отрезок $CD$ пересекает прямую. Точки $C$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Следовательно, точки $B$ и $D$ находятся в одной полуплоскости. Отрезок $BD$ не пересекает прямую.","Точки $A$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Отрезок $AD$ пересекает прямую.","<b><i>Ответ</i></b>: $AD$."],"id":"0"},{"content":"На плоскости даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и прямая. Известно, что отрезки $AB$ и $CD$ не пересекают прямую, а отрезок $BC$ ее пересекает.  [[speech-233]]<br>[[choice-252]]","widgets":{"speech-233":{"type":"speech","text":"Пересекает ли прямую отрезок $AD$?"},"choice-252":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Согласно аксиоме пересечения отрезком прямой, отрезок пересекает прямую в том случае, если точки его начала и конца располагаются в разных полуплоскостях.","Чтобы понять, пересекает ли прямую отрезок $AD$, необходимо определить, как располагаются точки $A$ и $D$ относительно прямой.","По условию видим, что точки $A$ и $B$ расположены в одной полуплоскости. Точки $C$ и $D$ также расположены в одной полуплоскости. Однако отрезок $BC$ пересекает прямую, так что точки $B$ и $C$ находятся в разных полуплоскостях.","Делаем вывод, что точки $A$ и $D$ расположены в разных полуплоскостях. Поэтому, да, отрезок $AD$ будет пересекать прямую."],"id":"0"},{"content":"Известны следующие длины отрезков: $AB=1.2~м$, $OK=2.23~м$, $FF_1=4~м$. Выразите длины данных отрезков в <b><i>сантиметрах</i></b> и укажите в ответе <b><i>сумму</i></b> полученных величин в сантиметрах. [[input-340]]","widgets":{"input-340":{"type":"input","unit":"см","answer":"743"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Вспомним, что $1~м=10^2~см$. Итого, чтобы выразить метровые длины отрезков в сантиметровых, необходимо умножить каждую величину на $100$.","Для отрезка $AB$: <br />$$AB=1.2*100=120~см$$","Для отрезка $OK$: <br />$$OK=2.23*100=223~см$$","Для отрезка $FF_1$: $$FF_1=4*100=400~см$$","Сумма: $$AB+OK+FF_1=120+223+400=743~см$$"],"id":"1"},{"content":"Известны следующие длины отрезков: $MK=0.455~м$, $DD_1=1.18~м$. Выразите длины данных отрезков в <b><i>сантиметрах</i></b> и укажите в ответе <b><i>разность</i></b> длин отрезков $DD_1$ и $MK$.[[input-452]]","widgets":{"input-452":{"type":"input","unit":"см","answer":"72.5"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Найдем разность отрезков $DD_1$ и $MK$ в метрах: $$1.18-0.455=0.725~м$$","Известно, что $1~м=10^2~см$. Чтобы выразить метры в сантиметрах, необходимо умножить имеющуюся величину на $100.$","Считаем: $$0.725\\cdot100=72.5~см$$"],"id":"1"},{"content":"[[image-539]]Длина отрезка $AB$ в пять раз меньше суммы длины отрезков $AC$, $CD$, $DE$ и $BE$. Найдите длину отрезка $AB$ и выразите величину в <b><i>метрах</i></b>.[[choice-648]]","widgets":{"image-539":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-22.svg"},"choice-648":{"type":"choice","options":["$3.71~м$","$0.7~м$","$0.742~м$","$3.77~м$"],"answer":[2]}},"step":1,"calc":1,"hints":["Длина отрезка $AB$ равняется:<br />$$AB=\\frac{AC+CD+DE+EB}{5}$$","Приведем длины всех отрезков к одной единице измерения — к метру. Вспомним, что:<br />$$1~дм=0.1~м\\\\1~см=0.01~м\\\\1~мм=0.001~м$$","Вычисляем: <br />$$AC=12\\cdot{0.1}=1.2~м\\\\CD=760\\cdot{0.001}=0.76~м\\\\DE=45\\cdot{0.01}=0.45~м\\\\EB=13\\cdot{0.1}=1.3~м$$","Тогда длина отрезка $AB$: $$AB=\\frac{AC+CD+DE+BE}{5}=0.742~м$$"],"id":"2"},{"content":"[[image-715]]Длина отрезка $AB$ в пять раз меньше суммы длины отрезков $AC$, $CD$, $DE$ и $BE$. Найдите длину отрезка $AB$ и выразите величину в <b><i>метрах</i></b>.[[choice-892]]","widgets":{"image-715":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-23.svg"},"choice-892":{"type":"choice","options":["$1~м$","$1.13~м$","$2~м$","$2.39~м$"],"answer":[1]}},"calc":1,"hints":["Длина отрезка $AB$ равняется:<br />$$AB=\\frac{AC+CD+DE+EB}{5}$$","Приведем длины всех отрезков к одной единице измерения — к метру. Вспомним, что:<br />$$1~дм=0.1~м\\\\1~см=0.01~м\\\\1~мм=0.001~м$$","Вычисляем: <br />$$AC=20\\cdot{0.1}=2~м\\\\CD=700\\cdot{0.001}=0.7~м\\\\DE=55\\cdot{0.01}=0.55~м\\\\EB=24\\cdot{0.1}=2.4~м$$","Тогда длина отрезка $AB$: $$AB=\\frac{AC+CD+DE+BE}{5}=1.13~м$$"],"id":"2"},{"content":"Отрезок $CD\\in{a}$. На прямой также отмечена точка $F$ так, что $F\\in{}CD$. Чему равна длина отрезка $CD$, если $CF=2.5~см$, $FD=3.5~см$? [[input-998]]","widgets":{"input-998":{"type":"input","unit":"см","answer":"6"}},"step":1,"hints":["Согласно аксиоме сумм длин частей отрезка, длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Точка $F$ принадлежит отрезку $CD$.","Тогда: $$CD=CF+FD$$","Складываем: $$CD=CF+FD=2.5+3.5=6~см$$"],"id":"3"},{"content":"Отрезок $AB\\in{a}$. На прямой также отмечена точка $M$ так, что $M\\in{AB}.$ Чему равна длина отрезка $AB$, если $AM=3.1~дм$, $MB=4~дм?$ <br /><br />Ответ дайте в <b><i>сантиметрах</i></b>. [[input-1180]]","widgets":{"input-1180":{"type":"input","unit":"см","answer":"71"}},"step":1,"hints":["Согласно аксиоме сумм длин частей отрезка, длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$.","Тогда: $$AB=AM+MB$$","Складываем: $$AB=3.1+4=7.1~дм$$","Ответ необходимо дать в сантиметрах. Для этого умножаем полученное значение на $10$: $$AB=7.1\\cdot{10}=71~см$$"],"id":"3"},{"content":"[[image-1376]]Может ли точка $B$ принадлежать отрезку $AC$, если известно, что $$AC=5~см,~BC=7~см?$$[[choice-1482]]","widgets":{"image-1376":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-24.svg"},"choice-1482":{"type":"choice","options":["Да, $B\\in{AC}$","Нет, $B\\notin{AC}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $B\\in{AC}$, тогда сумма длин частей отрезка должна равняться длине всего отрезка.","Проверим, соблюдается ли равенство: <br />$$AB+BC=AC\\\\AB=5-7\\\\AB=-2$$","Равенство соблюдается только тогда, когда длина отрезка $AB$ <b><i>отрицательная</i></b>. Это противоречит аксиоме длины отрезка, согласно которой длина отрезка строго $>0$. Делаем вывод, что точка $B$ располагается за границами отрезка $AC$."],"id":"4"},{"content":"[[image-1671]] Может ли точка $B$ принадлежать отрезку $AC$, если известно, что $$AC=9.1~дм,~AB=9.2~дм?$$[[choice-1757]]","widgets":{"image-1671":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-24.svg"},"choice-1757":{"type":"choice","options":["Да, $B\\in{AC}$","Нет, $B\\notin{AC}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $B\\in{AC}$, тогда сумма длин частей отрезка должна равняться длине всего отрезка.","Проверим, соблюдается ли равенство: <br />$$AB+BC=AC\\\\BC=9.1-9.2\\\\BC=-0.1$$","Равенство соблюдается только тогда, когда длина отрезка $BC$ <b><i>отрицательная</i></b>. Это противоречит аксиоме длины отрезка, согласно которой длина отрезка строго $>0$. Делаем вывод, что точка $B$ располагается за границами отрезка $AC$."],"id":"4"},{"content":"[[image-1917]]Проведено измерение отрезка $AB$ сантиметровой линейкой. Укажите полученную в результате измерения длину отрезка в миллиметрах. [[input-1975]]","widgets":{"image-1917":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-25.svg"},"input-1975":{"type":"input","unit":"мм","answer":"51"}},"step":1,"hints":["Длина отрезка в результате измерения равняется: $$|x_2-x_1|,$$ где $x_1$ и $x_2$ — отметки концов отрезка на измерительном инструменте.","На изображении видно, что, что $x_1=3$, $x_2=8.1$. Тогда: $$AB=5.1~см$$","Чтобы выразить значение в миллиметрах, нужно умножить полученную величину на $10$: $$5.1\\cdot{10}=51~мм$$"],"id":"5"},{"content":"[[image-2274]]Проведено измерение отрезка $AB$ сантиметровой линейкой. Укажите полученную в результате измерения длину отрезка в миллиметрах.[[input-2338]]","widgets":{"image-2274":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test-26.svg"},"input-2338":{"type":"input","unit":"мм","answer":"65"}},"step":1,"hints":["Длина отрезка в результате измерения равняется: $$|x_2-x_1|,$$ где $x_1$ и $x_2$ — отметки концов отрезка на измерительном инструменте.","На изображении видно, что, что $x_1=5$, $x_2=11.5$. Тогда: $$AB=6.5~см$$","Чтобы выразить значение в миллиметрах, нужно умножить полученную величину на $10$: $$6.5\\cdot{10}=65~мм$$"],"id":"5"}],"mix":1}