0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Луч в геометрии

Содержание

    Начертим на плоскости прямую $a$ и точку $A\in{a}$. По определению прямая — это множество точек, и точка $A$ разбивает прямую $a$ на два отличных друг от друга множества точек. Ровно так же, как это делает прямая по отношению к плоскости, разделяя последнюю на две полуплоскости. В данном уроке мы предметнее исследуем идею разбиения прямой и в результате определим новую фигуру — луч в геометрии.

    Примечание к уроку. В некоторых учебных пособиях и задачах луч также встречается под названием «полупрямая». Хоть этот термин и гораздо последовательнее отражает разбиение прямых, здесь и далее мы будем придерживаться современного толкования понятий. Полупрямая — это луч. Луч — это полупрямая. На всякий случай запомните, что это одно и то же.

    Луч в геометрии: определение

    Игрушечный лазер в темноте. Пучок света, проходящий через небольшое отверстие. Или то, как в иллюстрациях к сказкам изображают солнышко. Все эти явления можно описать одним словом — луч.

    И вновь различия

    Практика предыдущих уроков показала: сравнения между геометрией и повседневностью стоит проводить осторожно. Мы привычно смотрим на луч как на нечто, что берет начало в некоторой точке и движется в направлении другой точки. Луч в геометрии кое-чем сильно отличается. Прежде всего тем, что понятие луча абстрактно, поскольку его определение как фигуры базируется на прямой.

    Давайте разберем, каким образом абстракция в виде прямой переносит ряд своих свойств на луч в геометрии. Рассмотрим еще раз чертеж с прямой $a$ и точкой $A\in{a}$.

    Дополнительно отметим точки $B$, $C$ и $D$, все принадлежащие прямой $a$. Точки $B$ и $C$ располагаются по одну сторону от точки $A$, точка $D$ принадлежит другой стороне. Часть прямой, которая разбивается точкой $A$ и состоит из множества точек, включающее в том числе точки $B$ и $C$, — это луч.

    Определим луч в геометрии:

    Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и множества точек, лежащих по одну сторону от данной точки.  

    Чем отличается луч от прямой?

    Полуплоскость есть часть плоскости. Деление плоскости на полуплоскости выполняется прямой. Проведем параллель: луч в геометрии есть часть прямой; деление прямой на лучи выполняется точкой. Чем отличается луч от прямой? Луч в геометрии частично ограничен, если сравнивать его с прямой.



    В то время как прямая простирается от бесконечности до бесконечности, луч «стартует» в некоторой точке и простирается до бесконечности.  

    Прямая в геометрииЛуч в геометрииОтрезок в геометрии
    Множество точекМножество точек части прямойМножество точек прямой, заключенных между двумя точками
    БесконечнаИмеет точку начала и не имеет точки концаИмеет точку начала и точку конца
    Не имеет строгой направленностиИмеет направленностьНе имеет строгой направленности
    Прямые, лучи, отрезки: чем в геометрии отличается луч от прямой и отрезка.

    Как обозначаются лучи?

    Точка, разбивающая прямую на два луча, называется начальной точкой. Ее используют в качестве обозначения луча. К примеру, отметим на прямой $c$ точку $D$. Часть прямой $c$, направленную стрелкой, можно обозначить как луч $D$ — строчной латинской буквой согласно точке, являющейся для луча начальной.  

    Когда говорят «луч $D$», какая часть луча имеется в виду — слева от точки или справа?

    Вопросом, как обозначаются лучи с учетом направления, нам не пришлось задаваться, ведь мы определили направление с помощью чертежа. Чтобы избежать путаницы в том, как обозначаются лучи, иногда используется две точки: начальная и еще одна точка, направляющая, принадлежащая определяемому лучу.

    Рассмотрим следующий пример: дана прямая $a$, точки $A$ и $B$. Так, луч $A$ также можно обозначить как луч $AB$.

    📚 Это интересно: как обозначаются лучи не у нас

    В зарубежной литературе прямая и производные из нее фигуры задаются на опоре двух точек и специальных над-символов: «—», «$\rightarrow$» и «$\leftrightarrow$». Этот способ удобен тем, что не нужно по тексту доказательства или решения задачи постоянно определять словом, что имеется в виду под условным $AB$ — луч $AB$ или же отрезок $AB$.

    Удобно ли? Удобно! Однако пока такой формат нотации не получил широкого распространения в нашей учебной литературе. Знать, по крайней мере, полезно, ибо встретиться подобное может где угодно. В самых неожиданных местах.

    Дополнительные лучи

    И все-таки точка делит прямую на два луча — два отдельных друг от друга множества точек. При этом мы, задавая луч в геометрии, как бы делаем упор только на одно из этих возможных множеств. Второе множество точек тоже является важной сопутствующей фигурой и называется дополнительным лучом.

    Дополнительный луч — это луч, лежащий на одной прямой с некоторым лучом и имеющий с ним общую начальную точку, но противоположные направления.

    Рассмотрим, как дополнительные лучи выглядят на чертеже. Возьмем прямую $a$ и зададим на ней луч $AB$. Чтобы построить к лучу $AB$ дополнительный луч, достаточно отметить точку в противоположном направлении. Итого, луч $AC$ будет являться дополнительным к лучу $AB$. Объединяя оба луча — основной и дополнительный, — мы вновь получаем бесконечную прямую, которой принадлежат лучи.

    Нечто вроде формулы: лучи + дополнительные лучи = прямые.

    Луч в геометрии — выбор направляющей точки

    Отдельно отметим, что выбор направляющей точки, определяющий лучи или дополнительные лучи, может быть произвольным. Добавим на чертеж выше точки $F$ и $G$ и подумаем: в чем отличие между лучами $AB$ и $AF$? Отличаются ли тогда соответствующие дополнительные лучи?

    Нет. Выбор направляющей точки условен, поэтому между лучами $AB$ и $AF$ можно установить равенство $AB=AF$. Равные линейные фигуры называются совпадающими.

    Важнейшая точка луча  — начальная точка, и если точка начала совпадает для двух лучей, то они представляют собой равные множества точек. Данный вывод распространяется также и на дополнительные лучи.

    Дадим определение:

    Совпадающие лучи — лучи, не являющиеся дополнительными друг к другу и лежащие на одной прямой, при этом имеющие общую начальную точку.  

    Задача. Дан отрезок $AB$ на прямой $a$. Известно, что точка $C\in{AB}$. Среди лучей $AB$, $AC$, $CA$, $CB$ определите парами совпадающие лучи и дополнительные лучи.



    Трудности? Здесь решение!

    Скрыть решение

    Решение. Из заданных условий видно, что лучи имеют в качестве начальной точки либо точку $A$, либо точку $C$. Рассмотрим вначале лучи $AB$ и $AC$ с общей начальной точкой $A$. Раз $C\in{AB}$, точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$. Поэтому делаем вывод, что точки $B$ и $C$ являются направляющими для одного и того же луча. Лучи $AB$ и $AC$ совпадающие.

    Теперь рассмотрим пару лучей с начальной точкой $C$ — лучи $CA$ и $CB$. По аксиоме взаимного расположения точек известно, что из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

    Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, и, следовательно, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $C$. Если у лучей $CA$ и $CB$ общая начальная точка, а направляющие располагаются по разные стороны от общей точки, то они будут дополнительными.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение