Карточки
Тесты
Зави
Луч в геометрии
Сегодня мы погрузимся в одну из базовых, но очень важных тем геометрии — поговорим о луче. Вы уже знакомы с точкой, прямой и отрезком, и наверняка замечали, что они по‑разному устроены: прямая бесконечна в обе стороны, отрезок ограничен двумя точками.
А вот луч — это нечто среднее: у него есть четкое начало, но нет конца, он словно устремляется вперед без остановки. Понимание того, как устроен луч, поможет нам в дальнейшем легко разбираться в углах, построениях и многих других геометрических понятиях — ведь именно из лучей и складываются углы, а значит, без этого знания дальше двигаться будет сложно.
На уроке мы научимся правильно обозначать лучи, отличать их от других фигур и использовать в простых построениях — и очень скоро вы увидите, насколько эта простая на первый взгляд фигура важна в геометрии.
Понятие луча
Начертим на плоскости прямую $a$ и точку $A\in{a}$. По определению прямая — это множество точек, и точка $A$ разбивает прямую $a$ на два отличных друг от друга множества точек. Ровно так же, как это делает прямая по отношению к плоскости, разделяя последнюю на две полуплоскости. В данном уроке мы исследуем идею разбиения прямой и в результате определим новую фигуру — луч в геометрии.
В некоторых учебных пособиях и задачах луч также встречается под названием «полупрямая». Хоть этот термин и гораздо последовательнее отражает разбиение прямых, здесь и далее мы будем придерживаться современного толкования понятий.
Практика предыдущих уроков показала: сравнения между геометрией и повседневностью стоит проводить осторожно. Мы привычно смотрим на луч как на нечто, что берет начало в некоторой точке и движется в направлении другой точки. Луч в геометрии кое-чем сильно отличается. Прежде всего тем, что понятие луча абстрактно, поскольку его определение как фигуры базируется на прямой.
Давайте разберем, каким образом абстракция в виде прямой переносит ряд своих свойств на луч в геометрии. Рассмотрим еще раз чертеж с прямой $a$ и точкой $A\in{a}$.
Дополнительно отметим точки $B$, $C$ и $D$, все принадлежащие прямой $a$. Точки $B$ и $C$ располагаются по одну сторону от точки $A$, точка $D$ принадлежит другой стороне. Часть прямой, которая разбивается точкой $A$ и состоит из множества точек, включающее в том числе точки $B$ и $C$, — это луч.
Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и множества точек, лежащих по одну сторону от данной точки.
Чем отличается луч от прямой?
Полуплоскость есть часть плоскости. Деление плоскости на полуплоскости выполняется прямой. Проведем параллель: луч в геометрии есть часть прямой; деление прямой на лучи выполняется точкой. Чем отличается луч от прямой? Луч в геометрии частично ограничен, если сравнивать его с прямой.
В то время как прямая простирается от бесконечности до бесконечности, луч «стартует» в некоторой точке и простирается до бесконечности.
| Прямая в геометрии | Луч в геометрии | Отрезок в геометрии |
|---|---|---|
| Множество точек | Множество точек части прямой | Множество точек прямой, заключенных между двумя точками |
| Бесконечна | Имеет точку начала и не имеет точки конца | Имеет точку начала и точку конца |
| Не имеет строгой направленности | Имеет направленность | Не имеет строгой направленности |
Как обозначаются лучи?
Точка, разбивающая прямую на два луча, называется начальной точкой. Ее используют в качестве обозначения луча. К примеру, отметим на прямой $c$ точку $D$. Часть прямой $c$, направленную стрелкой, можно обозначить как луч $D$ — строчной латинской буквой согласно точке, являющейся для луча начальной.
Когда говорят «луч $D$», какая часть луча имеется в виду — слева от точки или справа?
Вопросом, как обозначаются лучи с учетом направления, нам не пришлось задаваться, ведь мы определили направление с помощью чертежа. Чтобы избежать путаницы в том, как обозначаются лучи, иногда используется две точки: начальная и еще одна точка, направляющая, принадлежащая определяемому лучу.
Рассмотрим следующий пример: дана прямая $a$, точки $A$ и $B$. Так, луч $A$ также можно обозначить как луч $AB$.
интересный факт
В зарубежной литературе прямая и производные из нее фигуры задаются на опоре двух точек и специальных над-символов: «—», «$\rightarrow$» и «$\leftrightarrow$». Этот способ удобен тем, что не нужно по тексту доказательства или решения задачи постоянно определять словом, что имеется в виду под условным $AB$ — луч $AB$ или же отрезок $AB$.
Однако пока такой формат обозначения не получил широкого распространения в нашей учебной литературе.
Дополнительные лучи
И все-таки точка делит прямую на два луча — два отдельных друг от друга множества точек. При этом мы, задавая луч в геометрии, как бы делаем упор только на одно из этих возможных множеств. Второе множество точек тоже является важной сопутствующей фигурой и называется дополнительным лучом.
Дополнительный луч — это луч, лежащий на одной прямой с некоторым лучом и имеющий с ним общую начальную точку, но противоположные направления.
Рассмотрим, как дополнительные лучи выглядят на чертеже. Возьмем прямую $a$ и зададим на ней луч $AB$. Чтобы построить к лучу $AB$ дополнительный луч, достаточно отметить точку в противоположном направлении. Итого, луч $AC$ будет являться дополнительным к лучу $AB$. Объединяя оба луча — основной и дополнительный, — мы вновь получаем бесконечную прямую, которой принадлежат лучи: лучи + дополнительные лучи = прямые.
Луч в геометрии — выбор направляющей точки
Отдельно отметим, что выбор направляющей точки, определяющий лучи или дополнительные лучи, может быть произвольным. Добавим на чертеж выше точки $F$ и $G$ и подумаем: в чем отличие между лучами $AB$ и $AF$? Отличаются ли тогда соответствующие дополнительные лучи?
Нет. Выбор направляющей точки условен, поэтому между лучами $AB$ и $AF$ можно установить равенство $AB=AF$. Равные линейные фигуры называются совпадающими.
Важнейшая точка луча — начальная точка, и если точка начала совпадает для двух лучей, то они представляют собой равные множества точек. Данный вывод распространяется также и на дополнительные лучи.
Совпадающие лучи — лучи, не являющиеся дополнительными друг к другу и лежащие на одной прямой, при этом имеющие общую начальную точку.
пример
Дан отрезок $AB$ на прямой $a$. Известно, что точка $C\in{AB}$. Среди лучей $AB$, $AC$, $CA$, $CB$ определите парами совпадающие лучи и дополнительные лучи.
Показать подробное решение
Скрыть
Из заданных условий видно, что лучи имеют в качестве начальной точки либо точку $A$, либо точку $C$. Рассмотрим вначале лучи $AB$ и $AC$ с общей начальной точкой $A$. Раз $C\in{AB}$, точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$. Поэтому делаем вывод, что точки $B$ и $C$ являются направляющими для одного и того же луча. Лучи $AB$ и $AC$ совпадающие.
Теперь рассмотрим пару лучей с начальной точкой $C$ — лучи $CA$ и $CB$. По аксиоме взаимного расположения точек известно, что из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, и, следовательно, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $C$. Если у лучей $CA$ и $CB$ общая начальная точка, а направляющие располагаются по разные стороны от общей точки, то они будут дополнительными.
Интерактив
В этом интерактиве вы можете сами построить и направить луч. Точка начала луча и точка, задающая его направление, перемещаются мышью. Изменяя их положение, вы сразу видите, как меняется луч.
Такое упражнение помогает вам лучше понять определение: луч — это часть прямой, которая начинается в заданной точке и продолжается бесконечно в одну сторону. Благодаря этому вы лучше усвоите отличие луча от отрезка и прямой и легко примените эти понятия при решении задач.
Часто задаваемые вопросы
Луч — это часть прямой, которая имеет начало (начальную точку), но не имеет конца; он бесконечен в одном направлении. Основные характеристики: у луча есть начальная точка, и он содержит бесконечно много точек, лежащих по одну сторону от этой точки.
Отрезок имеет две конечные точки и ограничен с обеих сторон. Прямая не имеет ни начала, ни конца и бесконечна в обе стороны. Луч имеет только одну начальную точку и бесконечен лишь в одном направлении.
Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами: первая — начальная точка луча, вторая — любая другая точка на луче. Например, луч $AB$, где точка $A$ — начало луча, а точка $B$ лежит на этом луче.
Да, два луча могут совпадать, если у них одинаковое начало и они направлены в одну и ту же сторону (то есть лежат на одной прямой и содержат одни и те же точки). Например, лучи $AB$ и $AC$ будут совпадать, если точки $B$ и $C$ лежат на одном и том же луче с началом в точке $A$ и по одну сторону от неё.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
норм
8 из 10