Карточки
Тесты
Зави
Точка, прямая, отрезок, луч
Точка, прямая, отрезок, луч
В уроке «Что изучает геометрия. Аксиомы, теоремы, доказательства» вы узнали основное свойство прямой: через две точки проходит только одна прямая. Теперь научимся обозначать и различать простейшие фигуры — прямую, отрезок, луч и полуплоскость (в 5 классе вы их рисовали, урок «Плоскость. Прямая. Луч»).
Вопрос для начала. Вдоль беговой дорожки длиной 100 метров нужно поставить столбики ограждения строго в одну линию. Линейки такой длины нет, а прикидывать, где проходит линия, ненадежно. Как быть, если под рукой только вешки — прямые шесты? Ответ — в последнем разделе.
Через две точки проходит одна прямая
Начнем с задачи. На клетчатой бумаге отмечены точки $A$ и $B$ и два соседних узла, $C$ и $D$. Приложите к экрану край листа так, чтобы он прошел через $A$ и $B$.
Сделайте выбор и запомните его. Край листа проходит почти через оба узла: глазу трудно, нужен счет.
Проверить себя: посчитаем клетки
Скрыть
От $A$ к $B$ — 4 клетки вправо и 1 вверх. Прямая $AB$ и дальше идет такими же шагами: от $B$ еще 4 вправо и 1 вверх — узел $C$, он лежит на прямой. К узлу $D$ от $B$ — 3 клетки вправо и 1 вверх. Шаг другой, и прямая проходит чуть ниже $D$.
Проверка по клеткам
Запишите шаг от $A$ к $B$: сколько клеток вправо и сколько вверх. Узел лежит на прямой $AB$ за точкой $B$, если от $B$ к нему можно дойти, повторяя этот шаг или одинаковые его части (половины, трети). Если для этого шаг нужно изменить хотя бы на одну клетку, узел лежит мимо прямой.
Через $A$ и $B$ проходит только одна прямая — вы проверили это в прошлом уроке, перегибая лист. Поэтому у вопроса «лежит ли $C$ на прямой $AB$» один ответ, и счет клеток находит его точнее глаза. Почему прямая идет по клеткам одинаковыми шагами, узнаете позже. Сгиб — модель прямой, но лист кончается, а прямая бесконечна. Задача про узел $C$ — уменьшенная копия задачи про столбики.
Аксиома
Основное свойство прямой: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Точки обозначают заглавными латинскими буквами: $A$, $B$, $C$. Прямую обозначают строчной буквой, например $a$, или двумя ее точками: прямая $AB$. По аксиоме такая прямая одна.
Если точка $A$ лежит на прямой $a$, пишут $A \in a$. Если точка $C$ на ней не лежит, пишут $C \notin a$. Знак $\in$ ставят только между точкой и прямой: точку пишут слева, прямую — справа.
Пример 1
От точки $A$ к точке $B$ — 4 клетки вправо и 2 вверх. Лежат ли на прямой $AB$ узел $K$, до которого от $B$ 2 клетки вправо и 1 вверх, и узел $L$, до которого от $B$ 3 клетки вправо и 2 вверх?
Решение. Шаг «4 вправо, 2 вверх» состоит из двух одинаковых половин «2 вправо, 1 вверх». От $B$ к $K$ — ровно такая половина, значит, $K$ лежит на прямой $AB$. От $B$ к $L$ — «3 вправо, 2 вверх»: после одной половины остается еще 1 вправо и 1 вверх, а это не половина шага. Значит, $L$ лежит мимо прямой.
Ответ: $K$ лежит на прямой $AB$, $L$ — нет.
Сколько общих точек бывает у прямых
Перегните лист по двум разным линиям. Получились две прямые. Если сгибы пересеклись, у них одна общая точка. Двух общих точек быть не может: в прошлом уроке доказана теорема — две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Определение
Две различные прямые, у которых есть общая точка, называют пересекающимися. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, то $O \in a$ и $O \in b$.
Если сгибы на листе не встретились, общая точка может быть за краем листа. Прямые без общих точек — параллельные, их изучают позже.
У трех прямых случаев больше: точек пересечения может быть 0, 1, 2 или 3.
Повышенная сложность: почему у трех попарно пересекающихся прямых не бывает двух точек
Скрыть
Пусть каждые две из прямых $a$, $b$, $c$ пересекаются. Если две из трех точек пересечения совпали, через эту точку проходят все три прямые — точка одна. Если не совпали, точек три. Поэтому 2 точки бывают, только если какие-то две прямые не пересекаются.
Если никакие три точки не лежат на одной прямой, каждая пара точек дает свою прямую — прямых столько же, сколько пар.
Пример 2
Отмечены 8 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через какие-нибудь две из них?
Решение. Из каждой точки идут прямые к 7 другим: $8 \cdot 7 = 56$. Но так каждая прямая посчитана дважды: один раз от точки $A$ к точке $B$, второй — от $B$ к $A$, а прямая $AB$ и прямая $BA$ — одна прямая. Значит, прямых $56 : 2 = 28$. Проверка: для трех точек счет дает $3 \cdot 2 : 2 = 3$ — три прямые сторон треугольника.
Ответ: 28.
Отрезок и точка, которая лежит между двумя другими
Отметьте на линии сгиба две точки — $A$ и $B$.
Определение
Отрезок — часть прямой, состоящая из двух ее точек и всех точек, лежащих между ними. Эти точки называют концами отрезка.
Отрезок с концами $A$ и $B$ обозначают $AB$ или $BA$ — это один и тот же отрезок. Проверим калькой: переведем $AB$ на кальку и перевернем так, чтобы $A$ легла на место $B$, а $B$ — на место $A$. Отрезок ляжет сам на себя.
О положении отрезка говорят словами: «отрезок $AB$ лежит на прямой $a$». Знак $\in$ здесь не ставят — он только для точки.
Аксиома
Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Если точка $C$ лежит между $A$ и $B$, она лежит на отрезке $AB$ и делит его на две части — $AC$ и $CB$. Поэтому длина $AB$ равна сумме длин $AC$ и $CB$. Так точку «между» находят и без чертежа: самый длинный из трех отрезков равен сумме двух других, а между лежит точка, которая не служит его концом. Например, если $PQ = 2$ см, $QR = 5$ см, $PR = 3$ см, то самый длинный — $QR$, и $2 + 3 = 5$: между $Q$ и $R$ лежит $P$.
Пример 3
На прямой по порядку отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Сколько всего отрезков с концами в этих точках?
Решение. Выпишем отрезки, не повторяя пар: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ — шесть. Отрезок $BA$ не пишем: это тот же отрезок $AB$. Без перебора: каждая из 4 точек — конец трех отрезков, $4 \cdot 3 = 12$, и каждый отрезок посчитан дважды: $12 : 2 = 6$.
Ответ: 6.
Луч: все решает первая буква
Отметьте на линии сгиба точку $O$. Она делит прямую на две части, каждая уходит от $O$ без конца в свою сторону.
Определение
Луч — часть прямой, состоящая из точки $O$ и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от $O$. Точку $O$ называют началом луча.
Луч обозначают двумя заглавными буквами: $OA$ — луч с началом $O$, проходящий через точку $A$. Первая буква — всегда начало, вторая — любая другая точка луча. Луч обозначают и строчной буквой: луч $h$ — так будут называть стороны угла.
Вернемся к кальке. Переведем на нее луч $KL$ и перевернем, как отрезок: начало $K$ встанет на место $L$, а луч пойдет от $L$ через $K$ дальше. Получился луч $LK$, направленный в другую сторону. Общая часть лучей $KL$ и $LK$ — только отрезок $KL$.
Ошибка
Решавр рассуждает: «Отрезки $KL$ и $LK$ — один отрезок. Значит, и лучи $KL$ и $LK$ — один луч».
Проверим на точке. Точка $P$ лежит на прямой $KL$ за точкой $K$, если идти от $L$. Луч $LK$ идет от $L$ через $K$ дальше — точка $P$ на нем лежит. Луч $KL$ идет от $K$ в сторону $L$, а $P$ лежит по другую сторону от $K$ — на луче $KL$ ее нет.
Где сломалось рассуждение: правило отрезка перенесли на луч. У отрезка два равноправных конца, а у луча одна граничная точка — начало, и его задает первая буква.
Когда лучи с общим началом совпадают
Отметьте по разные стороны от точки $O$ на сгибе точки $A$ и $B$. Лучи $OA$ и $OB$ уходят от $O$ в противоположные стороны и вместе покрывают весь сгиб.
Определение
Два луча с общим началом, которые вместе составляют прямую, называют дополнительными. Любая точка прямой делит ее на два дополнительных луча.
Теперь отметьте точку $B$ на луче $OA$ — по ту же сторону от $O$, что и $A$. Луч $OB$ идет туда же, куда луч $OA$: это тот же луч, названный другими буквами. Говорят, что лучи $OA$ и $OB$ совпадают.
Правило
Пусть лучи $OA$ и $OB$ с общим началом $O$ лежат на одной прямой. Если точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $O$, лучи совпадают. Если по разные стороны — лучи дополнительные.
Для точек $A$, $B$, $C$ одной прямой: если $C$ лежит между $A$ и $B$, лучи $CA$ и $CB$ дополнительные; если $C$ за точкой $B$ или за точкой $A$ — совпадают.
Ошибка
Точки $A$, $C$, $B$ лежат на прямой в этом порядке. Решавр рассуждает: «Лучи $CA$ и $CB$ начинаются в точке $C$ и лежат на одной прямой — значит, они совпадают».
Проверим на точке. Точка $A$ лежит на луче $CA$. Луч $CB$ идет от $C$ в сторону $B$, а $A$ лежит по другую сторону от $C$ — на луче $CB$ ее нет. Посмотрите на первую строку рисунка: лучи направлены в противоположные стороны и вместе составляют прямую — они дополнительные.
Где сломалось рассуждение: одного общего начала мало. Лучи совпадают, только если вторые точки лежат по одну сторону от начала, — как во второй и третьей строках рисунка.
Прямая делит плоскость на две части
Сгиб делит лист на две части. Отметьте точку $A$ в одной части, точку $B$ — в другой и соедините их отрезком: он обязательно пересечет сгиб. А отрезок, соединяющий две точки одной части, сгиб не пересечет.
Аксиома
Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, отрезок пересекает прямую. Если концы лежат в одной полуплоскости, отрезок прямую не пересекает.
Это свойство тоже аксиома: сгиб делает его наглядным, но не доказывает.
Пример 4
Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $a$, точки $B$ и $C$ — по одну сторону, точки $C$ и $D$ — по разные стороны. Пересекает ли прямая $a$ отрезок $AD$?
Решение. Полуплоскостей две, назовем их первой и второй; пусть $A$ лежит в первой. Точка $B$ по другую сторону от $a$, чем $A$, — во второй. Точка $C$ там же, где $B$, — во второй. Точка $D$ по другую сторону, чем $C$, — в первой. Значит, $A$ и $D$ лежат в одной полуплоскости, и отрезок $AD$ прямую $a$ не пересекает.
Ответ: не пересекает.
Вернемся к вопросу из начала урока. Столбики ставят так, как геодезисты провешивают прямую на местности. Сначала ставят вешки $A$ и $B$ в начале и в конце участка. Наблюдатель встает за вешкой $A$ так, чтобы она закрывала от него вешку $B$. Помощник ставит третью вешку $C$ там, где ее тоже закрывает вешка $A$. Глаз здесь не оценивает, ровно ли стоят вешки, а проверяет одно: закрыта вешка или видна. Видна — вешку переставляют.
Почему вешка $C$ оказывается на прямой $AB$? Свет идет по прямой, поэтому глаз $H$, вешка $A$ и закрытая ею вешка $B$ лежат на одной прямой. Закрытая вешка $C$ — тоже на прямой через $H$ и $A$, а такая прямая одна. Значит, $A$, $B$ и $C$ на одной прямой. Остальные столбики ставят так же.
Вывод
Все фигуры урока получаются из одного сгиба: через две точки — одна прямая; две точки на ней ограничивают отрезок, одна делит ее на два луча, а сама прямая делит лист на две полуплоскости. На кальке перевернутый отрезок $AB$ ложится сам на себя, а луч $AB$ становится лучом $BA$. Дальше это нужно постоянно: в уроке «Длина отрезка. Равные отрезки. Середина отрезка. Расстояние между точками» понадобится точка «между», а угол образуют два луча с общим началом. И не только в задачах: забор или грядку размечают шнуром, натянутым между двумя колышками, — через две точки проходит одна прямая, и шнур ложится по ней.
| Вопрос | Что делаем со сгибом или калькой | Как записать |
|---|---|---|
| Сколько прямых через две точки | Через две точки получается только один сгиб | Прямая $AB$ или $a$ |
| Лежит ли точка на прямой | Смотрим, лежит ли точка на линии сгиба | $A \in a$, $C \notin a$ |
| Отрезки $AB$ и $BA$ | Калька, перевернутая концами, ложится сама на себя | Один и тот же отрезок |
| Лучи $AB$ и $BA$ | Перевернутый луч уходит в другую сторону | Разные лучи: первая буква — начало |
| Совпадают ли лучи с общим началом | Вторые точки по одну сторону от начала — совпадают, по разные — дополнительные | $OA$ и $OB$ |
| Пересекает ли отрезок прямую | Концы по разные стороны от сгиба — пересекает | Полуплоскости |
Часто задаваемые вопросы
Определение объясняет новое понятие через известные, а точка и прямая — самые первые понятия, объяснять их не через что. Их свойства задают аксиомы, например основное свойство прямой. Евклид в «Началах» описывал точку как то, что не имеет частей, но в рассуждениях таким описанием не пользуются.
Нет, в этом курсе знак $\in$ ставят только между точкой и прямой: $A \in a$. Про отрезок говорят словами: «отрезок $AB$ лежит на прямой $a$». Запись $AB \in a$ — ошибка.
У них разные начала и разные направления, общая часть — только отрезок $AB$. Это понадобится для углов: угол $\angle AOB$ образуют лучи $OA$ и $OB$ с началом в вершине $O$, а лучи $AO$ и $BO$ начинаются в других точках.
Про лучи говорят «совпадают», а не «равны». Совпадающие лучи — это один и тот же луч, названный разными буквами: например, лучи $OA$ и $OB$, если точка $B$ лежит на луче $OA$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий