Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Измерение отрезков

Содержание

    Штангенциркуль, линейка, рулетка. Все эти предметы являют собой измерительные инструменты, позволяющие проводить измерение отрезков. Почему людям так важно измерять — вопрос экзистенциальный. И тем не менее у него есть вполне конкретный геометрический ответ. В данном уроке мы постараемся обстоятельно изложить содержание этого ответа. Как пользоваться линейкой тоже, кстати, обсудим.

    Интересно углубиться? Нюансы измерения физических тел можно найти вот здесь в разделе физики у нас на сайте. В данном уроке мы будем разбирать только ту информацию, которая непосредственно связана с геометрией.

    Предмет измерений

    Прежде чем что-либо измерять, необходимо в принципе определиться с тем, что такое мера. Измерять можно популяцию нелетающих попугаев, напряжение в электрической цепи, погодные условия на Южном полюсе, количество сахара в лимонадах.

    Иными словами, измерить можно все что угодно. Значит, один из первостепенных критериев определения меры — предмет измерений. Непосредственно тот объект, который будет поддаваться оценке.

    Отрезок как предмет измерений

    Прямая и луч бесконечны, и измерить их не представляется возможным. Из простых линейных (одномерных) фигур геометрии в качестве предмета измерения может выступать только отрезок. Вспомним, что отрезок отличается от луча тем, что имеет не только точку начала, но и точку конца. Расстояние, заключенное между этими точками, называется длиной. Аксиома о том, чему равна длина отрезка, гласит следующее:

    $A_6$. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

    Примечание. Измерение отрезков было бы неосуществимо, если бы в геометрии существовала логическая дыра «нулевой отрезок». Раз отрезок обладает началом и концом, между ними по определению что-то должно быть заключено. Некоторая величина.

    И пусть даже она очень-очень маленькая, ее всегда можно выразить числом. В противном случае отрезок бы имел свойства точки, а это, как мы уже давно выяснили, разные фигуры.  

    Единица измерения


    Выбрав предмет измерений, то есть ответив на вопрос «что?», мы должны далее выразить его количественным образом — ответить на следующий логический вопрос, сколько есть этого «что».

    Расшифруем: чтобы определить, чему равна длина отрезка, требуется обозначить единицу измерения и ее эталон. Сравнивая отрезок с эталоном, мы будем получать величину, выраженную в выбранных единицах измерения.

    Справка: об эталонах

    Эталон — это образец, воспроизводящий единицу измерения с наибольшей точностью. Созданием и хранением исторических эталонов занимается Международное бюро мер и весов, штаб-квартира которого расположена в пригороде Парижа.

    Современная система величин включает в себя семь основных единиц измерения — длины, массы, времени, количества вещества, силы света, температуры и силы тока. Вкупе эти величины составляют Международную систему единиц (СИ). Подробное ее изучение вас ждет в курсе физики.

    Цилиндр из платино-иридиевого сплава — до 2018 года эталон килограмма. Его сместил более точный подход к измерению массы, основанный на расчете энергии по постоянной Планка.

    Зачем в измерениях эталоны? Все просто: это инициатива стандартизации знаний о физическом мире. Можно ведь не просто измерить все что угодно, но еще и представить результаты измерений в каких угодно величинах.

    Вообразите себе то же измерение отрезков в спичечных коробках. Людям было бы крайне сложно договориться, у кого самый подходящий для измерений коробок. Стандарты в виде эталонов по своей сути позволяют именно это — договариваться.

    Метрическая система

    За единицу измерения длины в СИ принят метр. Эталон метра — это длина пути, который проходит свет в вакууме за интервал времени $\frac{1}{c}$ долю секунды, где $c$ — скорость света, равная $299 792 458~м/с$.

    К 1982 году, когда погрешность в измерении скорости света достигла минимума, был утвержден окончательный эталон метра на основе $\frac{1}{c}$ секунды. До этого в течение почти двух столетий за эталон метра принималась $\frac{1}{40~000~000}$ Парижского меридиана. Переход к использованию скорости света в определении метра обусловлен воспроизводимостью и точностью.

    Исторический эталон метра. Перед вами — мраморная доска на стене здания по улице Вожирар напротив Люксембургского дворца. После перехода Европы на метрическую систему такие «напоминалки» развешивали по всему Парижу.  

    Представьте, как вдруг в палатах мер и весов всего мира по некоторым странным обстоятельствам исчезают оригинал и копии эталона метра. Пришлось бы перемеривать меридиан Земли. Но что, если еще к тому же Земля сожмется в размерах?

    Точность — вежливость королей, а скорость света остается постоянной. Эксперимент с вакуумом легко воспроизвести в лабораторных условиях, чтобы, в случае чего, восстановить значение метра.

    Измерение отрезков в метрической системе

    Метр — это примерно полтора шага. Для предметов, нас окружающих, это большая единица измерения. В геометрии часто приходится проводить как раз именно измерение небольших отрезков.

    Вспомним пресловутый спичечный коробок. Измерять в метрах, чему равна длина отрезка столь малого, было бы неоправданно сложно. Для удобства расчетов и измерений в науке принят принцип кратных и дольных единиц.

    Приведем наиболее для нас необходимые:

    ВеличинаНазваниеКраткое обозначение
    $10^{-1}$ (=$\frac{1}{10}$ м)дециметрдм
    $10^{-2}$ (=$\frac{1}{100}$ м)сантиметрсм
    $10^{-3}$ (=$\frac{1}{1000}$ м)миллиметрмм

    Принцип прост: добавляя приставку «деци», «санти» или «милли», вы уменьшаете метр на $10^{1}$, $10^{2}$ или $10^{3}$ единиц соответственно. Дольные единицы также можно переводить меж собой.

    📕 Задача. Даны следующие длины отрезков: $AB=12~см$, $DC=9~мм$, $JK=7~дм$. Приведите длины всех отрезков к метрам. Отдельно выразите длину отрезка $JK$ в миллиметрах.

    Измерение отрезков мы не проводим. Мы пока только приводим значения к стандарту. Выразим для начала длины отрезков $AB,~DC,~JK$ в метрах.

    1. Перевод в метры. По таблице имеем, что $1~см=1~м*\frac{1}{100}$. Значит, чтобы выразить длину отрезка $AB$ в метрах, нам достаточно разделить указанное значение в сантиметрах на $100$. Аналогично для отрезков $DC$ и $JK$, только деление будем проводить на $1000$ и $10$ соответственно. Считаем:

    $$AB=12:100=0,12~м\\DC=9:1000=0,009~м\\JK=7:10=0,7~м$$

    2. Перевод в миллиметры. Отрезок $JK$ равен $7~дм$. Чтобы получить значение в миллиметрах, величину нужно умножить на $100$. Имеем: $$JK=7*100=700~мм$$

    😭 Трудности с переводом величин? Вам сюда!

    Скрыть раздел

    Если сложно переводить величины

    Для этого просто нужно немного попрактиковаться. Однако если вам совсем сложно рассчитать, чему равна длина отрезка в той или иной единице, предлагаем в помощь небольшие хитрости.

    Составьте «уравнение». Распишем пример для дециметра: $1~дм=\frac{1}{10}*1~м$. Смотрите на данное равенство как на уравнение, где можно умножать обе части. Если бы нам понадобилось вычислить, сколько метров в $10$ дециметрах, мы могли бы просто умножить обе части «уравнения» на $10$:

    $$1~дм*\textcolor{coral}{10}=\frac{1}{10}*1~м*\textcolor{coral}{10}$$

    Какая математическая операция происходит в итоге? Деление $10$ на $10$. В одном метре десять дециметров.

    Обратное «уравнение». Если переводить нужно не в метры, а из метров, равенство можно «развернуть» в обратную сторону. По таблице мы получали равенства таким образом, чтобы дольные единицы были выражены как цельные, а метр как их часть. Сделаем наоборот. На примере миллиметра: $$1~мм*\textcolor{coral}{\frac{1000}{1}}=\frac{1}{1000}*1~м*\textcolor{coral}{\frac{1000}{1}}$$

    Из чего получаем «уравнение-перевертыш»: $1~м=1000~мм$. Чтобы найти, сколько миллиметров, например, в $20$ метрах, умножаем обе части на $20$:$$1~м*\textcolor{coral}{20}=1000~мм*\textcolor{coral}{20}$$

    «Уравнение» между дольными единицами. Если измерение отрезков требует перевода между дольными единицами («дециметр-сантиметр» и т. п.), обычно по таблице СИ «ходят» вверх-вниз и делят значения долей. Звучит запутанно, согласны. Вы до этого обязательно додумаетесь сами со временем, а пока гармонии ради покажем прием с «уравнениями» и для этого случая. Скажем, измерение отрезков провели в миллиметрах, а записать требуется в сантиметрах.

    Пользуемся обратными уравнениями:

    $1~м=1000~мм$ и $1~м=100~см$.

    Как видим, оба равенства содержат часть «$1~м$», и мы можем их уравнять: $1000~мм=100~см$. Сокращаем и получаем следующее: $1~см=10~мм$. Однако это еще не все. Значение нам задано в миллиметрах, а не в сантиметрах. Что дано — приводим к единице, а уже после умножаем. Пусть нужно перевести $54~мм$. Имеем:

    $$1~мм*\textcolor{coral}{54}=\frac{1}{10}~см*\textcolor{coral}{54}$$

    Ну, не совсем-то это все уравнения, — в них нет переменных. Мы их так обозвали, чтобы у вас возникли положительные ассоциации с операцией умножения обеих частей для сохранения тождественности.

    Измерение отрезков: измерительные инструменты

    После того, как были заданы предметные и количественные характеристики, нам остается лишь определить на основе эталона измерительные инструменты, которые бы фиксировали, чему равна длина отрезка. Подытоживая, можно сказать, что составляющие всякого измерения — это неизменно:

    • предмет измерения;
    • единица измерения;
    • измерительные инструменты.

    Сумма длин частей

    Измерительные инструменты длины многообразны: и для сверхточных измерений найдется, и для подсчетов со средней погрешностью. Школьный курс геометрии обходится обычной линейкой с сантиметровой шкалой.

    Устройство инструментов, позволяющих измерить длины отрезков, нехитрое и напрямую связано с аксиомой о сумме длин частей отрезка:

    $A_7$. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

    Рассмотрим линейку как единую систему отрезков. На нулевой отметке расположим точку $A$, конец линейки обозначим точкой $O$. Каждую сантиметровую отметку инструмента — $1$, $2$, $3$ … $14$ — также обозначим отдельными точками. По аксиоме о сумме длин частей про длину отрезка $AO$ можно заключить:

    $$AO=AB+BC+CD+~…~+NO$$  

    Уменьшение погрешности миллиметровой шкалой

    Чтобы измерить длины отрезков точнее, на шкалу сантиметровой линейки наносят еще одну шкалу ближайшей дольной единицы — миллиметровую. Сантиметр состоит из десяти миллиметров, и все деления миллиметра — $1$, $2$ … $9$ — можно представлять в виде дополнительной точки. Измерительные инструменты становятся точнее за счет того, что внутри каждого сантиметрового отрезка содержится десять миллиметровых.   

    Как пользоваться линейкой, чтобы измерить длины отрезков

    Разберем, как пользоваться линейкой, чтобы измерить длины отрезков. Измерим длину отрезка $AB$. Для этого начало отрезка совместим с нулевой отметкой. Линейка должна при этом располагаться строго параллельно отрезку. Точка конца отрезка будет указывать на значение длины отрезка. В нашем примере длина отрезка $AB$ равняется $9$ сантиметрам и $5$ миллиметрам:$$AB=9,5~см$$

    Отрезок $AB$ состоит из $9$ сантиметровых отрезков и $5$ миллиметровых. Длина отрезка выражается в единицах измерения согласно цене деления основной шкалы. В нашем случае — в сантиметрах. Миллиметры указываются как дольная часть сантиметра.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение