7 класс Геометрия Основы геометрии Основные понятия

Длина отрезка. Равные отрезки. Середина отрезка. Расстояние между точками

Содержание

В 5 классе вы измеряли отрезки линейкой (урок «Отрезок, длина отрезка, треугольник»), а в уроке «Луч в геометрии» разобрали, чем луч отличается от отрезка. В этом уроке выясним, какие отрезки называют равными, что такое длина отрезка, середина отрезка и расстояние между точками. Все это объясняет одна модель: отрезок переводят на кальку, накладывают на другой отрезок и перегибают.

Вопрос для начала. Москва, Тверь и Бологое стоят на одной железной дороге. От Москвы до Твери по ней около 167 км, от Москвы до Бологого — около 330 км. Сколько километров по этой дороге от Твери до Бологого? Можно ли ответить, не глядя на карту? Запомните свой ответ — вернемся к нему в третьем разделе.

Как сравнить два отрезка, не измеряя их

На листе нарисованы отрезки $AB$ и $CD$. На глаз не всегда видно, какой из них длиннее. Переведем отрезок $AB$ на кальку и наложим на $CD$: точку $A$ — на точку $C$, а сам отрезок положим вдоль отрезка $CD$. Теперь посмотрим, куда попала точка $B$.

Две панели: калька с отрезком AB наложена на CD; слева B совпала с D — AB = CD, справа B легла внутрь CD — AB меньше CD — Два из трех исходов: совпали вторые концы — отрезки равны; второй конец лег внутрь — первый отрезок меньше

Возможны три исхода:

точка $B$ легла на точку $D$ — отрезки совпали целиком;
точка $B$ легла между $C$ и $D$ — отрезок $AB$ составляет только часть $CD$, значит, $AB$ меньше $CD$;
точка $B$ вышла за точку $D$ — отрезок $AB$ больше $CD$.

Определение

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Отрезки, которые совпали при наложении, называют равными отрезками и пишут: $AB = CD$.

На чертеже равные отрезки отмечают одинаковым числом штрихов: один штрих — у одной пары равных отрезков, два штриха — у другой. Штрих ставят на том отрезке, о котором идет речь. Отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — один и тот же отрезок, поэтому $AB = BA$.

{"questions":[{"content":"Отрезок $KL$ перевели на кальку и наложили на отрезок $PQ$ так, что точка $K$ совпала с точкой $P$, а отрезок $KL$ лег вдоль отрезка $PQ$. Точка $L$ оказалась за точкой $Q$. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$KL$ меньше $PQ$","$KL = PQ$","$KL$ больше $PQ$","Сравнить нельзя: отрезок $KL$ не уместился на $PQ$"],"explanations":["Если бы $KL$ был меньше, точка $L$ легла бы между $P$ и $Q$, а она вышла за $Q$","Отрезки равны, только если совпали и вторые концы: $L$ легла бы на $Q$","","То, что $KL$ не уместился, и показывает, что он больше: $PQ$ — только его часть"],"answer":[2]}},"hints":["Наложили конец на конец: $K$ на $P$. Смотрим, куда попал второй конец $L$.","Точка $L$ вышла за точку $Q$, значит, весь отрезок $PQ$ — только часть отрезка $KL$.","Ответ: $KL$ больше $PQ$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Какие отрезки на чертеже равны?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5zwzawpqp1fr.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$AB = EF$ и $CD = KL$","$AB = CD$ и $EF = KL$","Все четыре отрезка равны","$AB = KL$ и $CD = EF$"],"explanations":["","Один штрих и два штриха — разные метки: это разные группы равных отрезков","Тогда на всех отрезках стояло бы одинаковое число штрихов","Сравнивайте число штрихов: на $AB$ один штрих, на $KL$ — два"],"answer":[0]}},"hints":["Одинаковое число штрихов означает равные отрезки.","По одному штриху — на $AB$ и $EF$, по два штриха — на $CD$ и $KL$.","Ответ: $AB = EF$ и $CD = KL$."],"step":1}],"mix":1}

Длина: сколько раз укладывается мерка

Наложение отвечает на вопрос, равны ли отрезки и какой из них больше. Но оно не говорит, на сколько больше. Чтобы получить число, нужна мерка — отрезок, принятый за единицу длины, например 1 см. Мерку откладывают вдоль отрезка подряд, конец к началу, и считают, сколько раз она уложилась.

Мерка 1 см уложена вдоль отрезка AB подряд 4 раза и еще половина мерки: AB = 4,5 см — Мерка 1 см уложилась 4 раза, и осталась половина мерки: $AB = 4{,}5$ см

На рисунке мерка 1 см уложилась в отрезке $AB$ четыре раза, и остался кусок, равный половине мерки. Значит, длина отрезка $AB$ равна $4 + 0{,}5 = 4{,}5$ см. Остаток меньше мерки измеряют более мелкой меркой: миллиметр — десятая часть сантиметра. Линейка устроена так же: на ней мерки уже уложены подряд и пронумерованы.

Мерка может быть и другой. Если мерка длиной 2 см уложилась 3 раза, то длина отрезка — 3 мерки, или $3 \cdot 2 = 6$ см: число мерок умножают на длину мерки.

Определение

Длина отрезка — число, которое показывает, сколько раз выбранная мерка (единица длины) укладывается в отрезке. Длина каждого отрезка больше нуля.

У равных отрезков длины равны, у большего отрезка длина больше.

Почему наложение и мерка дают один ответ? Если отрезки совпали при наложении, то мерка, уложенная в одном, ляжет и в другом точно так же — столько же раз. А если $AB$ при наложении лег внутрь $CD$, то в $CD$ поместятся все мерки отрезка $AB$ и еще кусок.

Пример 1

Сравните отрезки $KL = 35$ мм и $PQ = 3{,}4$ см.

Решение. Длины даны в разных единицах, поэтому сначала переведем их в одни: 1 см = 10 мм, значит, $PQ = 3{,}4 \cdot 10 = 34$ мм. Число 35 больше 34, поэтому $KL$ больше $PQ$. Проверка смыслом: если наложить $PQ$ на $KL$ конец к концу, точка $Q$ ляжет внутрь $KL$ и не дойдет до точки $L$ на 1 мм.

Ответ: $KL$ больше $PQ$.

{"questions":[{"content":"Мерку длиной 2 см уложили вдоль отрезка $AB$ подряд, конец к началу. Она уложилась ровно 5 раз. Найдите длину отрезка $AB$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Длина отрезка — это сколько раз уложилась мерка, умноженное на длину мерки.","$AB = 5 \\cdot 2 = 10$ см."],"step":1},{"content":"Длина отрезка $AB$ равна 12 см, длина отрезка $CD$ равна $1{,}2$ дм. Сравните отрезки.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB = CD$","$AB$ меньше $CD$","$AB$ больше $CD$","Сравнить нельзя: длины даны в разных единицах"],"explanations":["","Дециметр больше сантиметра, но $1{,}2$ дм — ровно 12 см, а не больше","Сравнили числа 12 и $1{,}2$ без перевода единиц, а $1{,}2$ дм — это 12 см","Можно: сначала переведите длины в одни единицы"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы сравнить длины, переведите их в одни единицы: 1 дм = 10 см.","$CD = 1{,}2 \\cdot 10 = 12$ см, то есть $CD = AB$.","Ответ: $AB = CD$."],"step":1}],"mix":1}

Когда длины складываются, а когда вычитаются

Отметим на отрезке $AB$ точку $C$. Она делит $AB$ на два отрезка — $AC$ и $CB$, приложенных друг к другу концом к концу. Мерки, уложенные в $AC$, и мерки, уложенные в $CB$, вместе заполняют весь отрезок $AB$ подряд, без пропусков и наложений. Поэтому длины частей складываются.

Свойство

Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$:

$$AB = AC + CB$$

Отсюда часть находят вычитанием: $CB = AB-AC$.

Пример 2

Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, $AB = 12$ см, $CB = 4{,}5$ см. Найдите $AC$.

Решение. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB = AC + CB$. Значит, $AC = AB-CB = 12-4{,}5 = 7{,}5$ см. Проверка: $7{,}5 + 4{,}5 = 12$.

Ответ: 7,5 см.

Вернемся к вопросу из начала урока. От Москвы до Твери около 167 км, до Бологого — около 330 км. Если не смотреть на карту, возможны два случая. Если Тверь лежит между Москвой и Бологим, путь от Москвы до Бологого состоит из двух частей, и от Твери до Бологого $330-167 = 163$ км. Если бы Тверь и Бологое стояли по разные стороны от Москвы, ответ был бы $330 + 167 = 497$ км.

Схема железной дороги Москва — Тверь — Бологое — Санкт-Петербург: Москва — Тверь 167 км, Москва — Бологое 330 км, значит, Тверь — Бологое 330 − 167 = 163 км — Тверь лежит между Москвой и Бологим, поэтому от Твери до Бологого около $330-167 = 163$ км

На самом деле Тверь — на пути из Москвы в Бологое, поэтому ответ — около 163 км. Дорога не прямая, но длины ее участков складываются так же, как длины частей отрезка.

Так же и с точками на прямой. Если известно только, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, нужно выяснить, какая из них может лежать между двумя другими.

Две панели: точки A, B, C на прямой, AB = 9, BC = 4; если B между A и C, AC = 13, если C между A и B, AC = 5 — $B$ между $A$ и $C$: $AC = AB + BC = 13$; $C$ между $A$ и $B$: $AC = AB-BC = 5$

Ошибка

Задача: точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB = 9$, $BC = 4$. Найдите $AC$. Решавр сразу пишет: $AC = 9 + 4 = 13$.

Проверим на чертеже. Поставим точку $C$ между $A$ и $B$ — условие выполняется: $AB = 9$, $BC = 4$. Но теперь $AC = AB-BC = 9-4 = 5$, а не 13.

Где сломалось рассуждение: сложение $AC = AB + BC$ верно, только если точка $B$ лежит между $A$ и $C$ — тогда отрезки $AB$ и $BC$ приложены концом к концу и вместе составляют $AC$. В условии этого нет. Третий случай — $A$ между $B$ и $C$ — здесь невозможен: тогда было бы $BC = BA + AC$, то есть $BC$ больше 9. Ответ: $AC = 13$ или $AC = 5$.

Важно

Если в задаче сказано только «точки лежат на одной прямой», нарисуйте все возможные расположения: какая точка лежит между двумя другими. Если подходят оба рисунка, в ответе указывают оба значения.

{"questions":[{"content":"Точка $C$ лежит на отрезке $AB$. Какие из равенств верны, а какие неверны?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$AB = AC + CB$","$AC = AB-CB$","$CB = AB-AC$"],["$AC = AB + CB$","$AB = AC-CB$","$CB = AC-AB$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Отрезки $AC$ и $CB$ приложены концом к концу и вместе составляют весь отрезок: $AB = AC + CB$.","Часть равна целому без другой части: $AC = AB-CB$ и $CB = AB-AC$. Целое $AB$ больше каждой части, поэтому из части нельзя вычесть целое.","Верны: $AB = AC + CB$, $AC = AB-CB$, $CB = AB-AC$. Неверны: $AC = AB + CB$, $AB = AC-CB$, $CB = AC-AB$."],"step":1},{"content":"Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB = 6$ см, $BC = 2$ см. Чему может быть равна длина отрезка $AC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только 8 см","8 см или 4 см","Только 4 см","Найти нельзя: не сказано, как расположены точки"],"explanations":["Это случай, когда $B$ лежит между $A$ и $C$. Забыт случай, когда $C$ лежит между $A$ и $B$","","Это случай, когда $C$ лежит между $A$ и $B$. Забыт случай, когда $B$ лежит между $A$ и $C$","Расположений всего два, и в каждом длину $AC$ можно найти"],"answer":[1]}},"hints":["Не сказано, какая точка лежит между двумя другими. Нарисуйте оба случая.","Если $B$ между $A$ и $C$, то $AC = 6 + 2 = 8$ см. Если $C$ между $A$ и $B$, то $AC = 6-2 = 4$ см.","Ответ: 8 см или 4 см."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Задача: точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB = 8$ см, $BC = 3$ см; найдите $AC$. Решавр нарисовал точки в порядке $A$, $B$, $C$ и ответил: «$AC = 8 + 3 = 11$ см». Оцените решение.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Решение верное: по свойству длины отрезки $AB$ и $BC$ складываются","Решение неверное: точки лежат иначе, и $AC = 5$ см, а не 11 см","Ответ неполный: если $A$ лежит между $B$ и $C$, то $AC = 5$ см","Ответ неполный: если $C$ лежит между $A$ и $B$, то $AC = 5$ см"],"explanations":["Складывать можно, только если $B$ лежит между $A$ и $C$, а в условии это не сказано","Рисунок Решавра тоже подходит к условию: 11 см — возможный ответ, но не единственный","Если $A$ между $B$ и $C$, то $BC = BA + AC$ больше 8 см, а $BC = 3$ см: так точки лежать не могут",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, единственный ли рисунок подходит к условию: какая точка может лежать между двумя другими?","Точку $C$ можно поставить между $A$ и $B$: тогда $AC = AB-BC = 8-3 = 5$ см. Точка $A$ между $B$ и $C$ лежать не может: тогда $BC$ был бы больше $AB$.","Ответ Решавра неполный: $AC = 11$ см или $AC = 5$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Середина: перегнули — и концы совпали

Как найти точку, которая делит отрезок $AB$ пополам, без линейки? Перегнем кальку с отрезком так, чтобы точка $A$ легла точно на точку $B$. Линия сгиба пересечет отрезок в точке $M$. Отрезки $AM$ и $MB$ при этом наложились друг на друга и совпали — значит, они равны.

Перегибание кальки по прямой через точку M: точка A ложится на точку B, отрезки AM и MB совпадают, M — середина отрезка AB — При перегибе точка $A$ легла на $B$: отрезки $AM$ и $MB$ совпали, $M$ — середина отрезка $AB$

Определение

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его на два равных отрезка.

Если $M$ — середина отрезка $AB$, то $AM = MB = AB : 2$ и $AB = 2 \cdot AM$.

Почему $AM = AB : 2$? Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AM + MB = AB$. Части равны, значит, каждая — половина $AB$. На клетчатой бумаге середину отрезка, проведенного по линии сетки, находят счетом клеток: отрезок длиной 10 клеток сгибается пополам по линии сетки, которая отсекает пять клеток от точки $A$ и пять клеток от точки $B$.

Отрезок AB длиной 10 клеток на клетчатом поле: середина M — через 5 клеток от A и от B, сгиб проходит по линии сетки через M — $AB$ — 10 клеток, середина $M$ — на 5 клеток от точки $A$ и от точки $B$

Пример 3

От Москвы до Бологого по железной дороге около 330 км, от Бологого до Санкт-Петербурга — около 319 км. Найдется ли середина пути от Москвы до Санкт-Петербурга в Бологом?

Решение. Бологое лежит на дороге между Москвой и Санкт-Петербургом, поэтому длина всего пути — $330 + 319 = 649$ км. Середина пути — на расстоянии $649 : 2 = 324{,}5$ км от Москвы. Бологое — в 330 км от Москвы, то есть на $330-324{,}5 = 5{,}5$ км дальше середины.

Ответ: нет, середина пути — примерно в 5,5 км от Бологого в сторону Москвы.

Точка M над отрезком AB равноудалена от A и B (AM = MB = 5), но не лежит на отрезке AB = 8; сгиб пересекает отрезок в его середине, поэтому M — не середина — $AM = MB = 5$, но $AM + MB = 10 \ne 8$: точка $M$ не лежит на отрезке $AB$ и серединой не является

Ошибка

Решавр рассуждает: «$AM = MB = 5$ см, значит, $M$ — середина отрезка $AB$». Известно еще, что $AB = 8$ см.

Проверим на числах. Если бы точка $M$ лежала на отрезке $AB$, по свойству длины было бы $AM + MB = AB$. Но $5 + 5 = 10 \ne 8$. Значит, $M$ не лежит на отрезке $AB$ — она, например, над ним, как на рисунке.

Где сломалось рассуждение: в определении середины два условия — точка лежит на отрезке и делит его на равные части. Равенство $AM = MB$ — только второе условие. Перегните кальку так, чтобы $A$ легла на $B$: точка $M$ над отрезком попадет на линию сгиба, но середина отрезка — одна, это точка пересечения сгиба с отрезком.

uploaded-dlina-otrezka-dva-sluchaya-d3a03efbfd42

{"questions":[{"content":"Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $AM = 6{,}5$ см. Найдите длину отрезка $AB$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$AB = AM + MB$, а $MB = AM$, потому что $M$ — середина.","$AB = 6{,}5 \\cdot 2 = 13$ см."],"step":1},{"content":"Известно, что $AM = MB = 4$ см, $AB = 6$ см. Является ли точка $M$ серединой отрезка $AB$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: $AM + MB$ больше $AB$, значит, $M$ лежит между $A$ и $B$","Нельзя определить без чертежа","Нет: $AM + MB = 8$, а $AB = 6$, поэтому $M$ не лежит на отрезке $AB$","Да: $AM = MB$, а середина делит отрезок на равные части"],"explanations":["Для точки между $A$ и $B$ сумма $AM + MB$ равна $AB$, а не больше","Можно по длинам: для точки отрезка выполняется $AM + MB = AB$","","Равенство $AM = MB$ не гарантирует, что $M$ лежит на отрезке: такая точка может быть и над ним"],"answer":[2]}},"hints":["Середина — точка отрезка. Проверим, лежит ли $M$ на отрезке $AB$.","Если бы $M$ лежала на $AB$, было бы $AM + MB = AB$. Но $4 + 4 = 8 \\ne 6$.","Ответ: нет, $M$ не лежит на отрезке $AB$, поэтому серединой не является."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Какая из отмеченных точек — середина отрезка $AB$?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/whvvm2ruuwfd.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$L$","$M$","$N$","$K$"],"explanations":["$AL$ — 5 клеток, а $LB$ — 3 клетки: отрезки не равны","","$N$ находится на равных расстояниях от $A$ и $B$, но не лежит на отрезке $AB$, а середина — точка отрезка","$AK$ — 3 клетки, а $KB$ — 5 клеток: отрезки не равны"],"answer":[1]}},"hints":["Посчитайте, сколько клеток занимает отрезок $AB$.","$AB$ — 8 клеток. Середина лежит на отрезке на 4 клетки правее $A$.","Ответ: точка $M$."],"step":1}],"mix":1}

Расстояние между точками — это длина отрезка

Из дома в школу ведут разные пути разной длины. В геометрии расстояние между двумя точками одно — длина отрезка, который их соединяет.

Определение

Расстояние между точками $A$ и $B$ — длина отрезка $AB$.

Расстояние от $A$ до $B$ равно расстоянию от $B$ до $A$: $AB = BA$. Расстояние между различными точками больше нуля, расстояние от точки до нее самой считают равным нулю.

На клетчатой бумаге расстояние между точками на одной горизонтали или вертикали считают по клеткам: сколько сторон клеток уложилось между точками. Сторона клетки здесь — мерка. Считать нужно клетки, а не линии сетки: от линии 0 до линии 3 — три клетки, хотя линий четыре.

С расстояниями решают задачи-цепочки: сначала находят середины, потом расстояние между ними.

Пример 4

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$, $AB = 10$ см, $BC = 4$ см. Точка $M$ — середина $AB$, точка $N$ — середина $BC$. Найдите расстояние между точками $M$ и $N$.

Решение. $MB = 10 : 2 = 5$ см, $BN = 4 : 2 = 2$ см. Точка $B$ лежит между $M$ и $N$, поэтому $MN = MB + BN = 5 + 2 = 7$ см. Проверка: $AC = 10 + 4 = 14$ см, и $MN = 7$ см — ровно половина $AC$.

Ответ: 7 см.

Отрезок AC с точкой B, AB = 10, BC = 4; M и N — середины AB и BC, MN = 5 + 2 = 7, то есть половина AC — $MN = MB + BN$ — половина $AB$ и половина $BC$, вместе половина $AC$

Повышенная сложность: почему расстояние между серединами — половина всего отрезка

Скрыть

Если точка $B$ лежит на отрезке $AC$, то $MN = MB + BN = AB : 2 + BC : 2 = (AB + BC) : 2 = AC : 2$. Ответ не зависит от того, где на отрезке $AC$ стоит точка $B$.

Если же известно только, что точки лежат на одной прямой, снова возможны два случая. Пусть $AB = 10$ см, $BC = 4$ см и точка $C$ лежит между $A$ и $B$. Тогда $AC = 10-4 = 6$ см, $MB = 5$ см, $NB = 2$ см, обе точки $M$ и $N$ — по одну сторону от $B$, и $MN = 5-2 = 3$ см. Это снова половина $AC$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите расстояние от точки $A$ до середины отрезка $BC$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/niq6s8x61bof.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Сначала найдите середину $BC$: $BC$ — 6 клеток, середина — на 3 клетки выше $B$.","Середина $BC$ лежит на одной горизонтали с точкой $A$.","Расстояние — 5 клеток, то есть 5 см."],"step":1},{"content":"Точка $B$ лежит на отрезке $AC$, $AB = 8$ см, $BC = 12$ см. Точка $M$ — середина $AB$, точка $N$ — середина $BC$. Найдите длину отрезка $MN$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Отрезок $MN$ состоит из двух частей: $MB$ и $BN$.","$MB = 8 : 2 = 4$ см, $BN = 12 : 2 = 6$ см.","$MN = 4 + 6 = 10$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Отрезки сравнивают наложением, а число — длину — дает мерка, уложенная подряд. Части отрезка приложены друг к другу концом к концу, поэтому их длины складываются; а если точки просто лежат на одной прямой, сначала выясните, какая из них между двумя другими, — ответов может быть два. Середина — это место сгиба, при котором конец лег на конец, и точка обязательно лежит на отрезке. Наложение понадобится уже в следующем уроке «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса»: углы сравнивают так же, как отрезки. А с правилами этого урока решают задачи на клетчатой бумаге из ОГЭ и ВПР и считают расстояния по одной дороге, как между Тверью и Бологим.

Как быстро вспомнить главное — по таблице.

Вопрос	Что делаем с калькой или меркой	Запись
Равны ли отрезки?	Накладываем конец на конец и смотрим на второй конец	$AB = CD$, одинаковые штрихи
Какова длина?	Укладываем мерку подряд и считаем	$AB = 4{,}5$ см
Точка $C$ на отрезке $AB$	Части приложены концом к концу	$AB = AC + CB$
Три точки на одной прямой	Рисуем все расположения	Сумма или разность
Где середина?	Перегибаем так, чтобы $A$ легла на $B$	$AM = MB = AB : 2$, $M$ на $AB$
Каково расстояние?	Измеряем отрезок между точками	$AB = BA$

Часто задаваемые вопросы

Чем отрезок отличается от его длины?

Отрезок — фигура, а длина — число. Записывают их одинаково, $AB$, а смысл ясен из текста: «отрезок $AB$ лежит на прямой $a$» — это о фигуре, «$AB = 5$ см» — о длине.

Зачем наложение, если есть линейка?

Линейка — тоже наложение: на ней мерки уже уложены подряд. Наложение нужно, чтобы понять, что значит «равны»: так же сравнивают углы и многоугольники, у которых длины нет.

Как переводить единицы длины?

1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м. Перед тем как складывать, вычитать или сравнивать длины, переведите их в одни единицы: 12 см и $1{,}2$ дм — это одна и та же длина.

Может ли у отрезка быть две середины?

Нет. Середина $M$ лежит на отрезке на расстоянии $AB : 2$ от точки $A$, а на отрезке $AB$ такая точка одна. Перегибание дает тот же ответ: сгиб, при котором $A$ ложится на $B$, пересекает отрезок в одной точке.

Почему у задачи может быть два ответа?

Если условие не говорит, какая точка лежит между двумя другими, к нему подходят два разных рисунка. Каждый дает свой ответ, и оба верны. Полный ответ — оба значения, например «13 или 5».

Награды за урок