Градусная мера угла

Предположим, что перед вами стоит задача сравнить два угла — $∠ab$ и $∠cd$. При сравнении отрезков используются такие строгие понятия, как длина, единица измерения и инструмент измерения. По аналогии можно сделать вывод: чтобы сравнить углы, необходимо, как и в случае с отрезками, прежде всего выполнить их измерение.

Как же измерить угол? Для этого потребуется ответить на несколько ключевых вопросов, аналогичных тем, что возникали при измерении отрезков:

• что является единицей измерения углов;
• каким прибором выполняется измерение угла;
• какие особенности сопровождают процесс измерения углов?

Ответить на все эти вопросы в рамках одного урока невозможно, поэтому сосредоточимся на рассмотрении того, что в геометрии понимается под единицей измерения углов.

Измерение углов — основы

Длина отрезка как расстояние между двумя точками — началом и концом — является интуитивно простым понятием. Однако при измерении углов возникают трудности.

Угол состоит из двух лучей, которые исходят из общей точки и простираются в бесконечность. Следовательно, измерение углов не может быть связано с длиной — мерой конечных объектов. Таким образом, требуется ввести новое понятие — меру пространственного отклонения, а также определить, какая единица измерения углов будет служить для этого эталоном.

Рассмотрим угол как геометрический объект, способный к движению. Пусть из точки $O$ исходят два совпадающих луча $OA$ и $OB$.

Если начать вращать луч $OB$ против часовой стрелки, оставив луч $OA$ неподвижным, то угол можно представить как отклонение одного луча от другого.

Как измерить угол

Измерение углов удобно выполнять с помощью окружности. Совместите вершину угла $O$ с центром окружности и начните вращать стороны. При отклонении стороны $OB$ влево от стороны $OA$ угол увеличивается. Если обратить внимание, то можно заметить, что угол $∠BOA < ∠B_2OA$.

Если нанести на окружность равномерную разметку, подобно делениям на линейке, то можно будет не только установить, какой угол больше, но и выразить величину угла количественно.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] В окружность вписаны углы $\\angle MOK$ и $\\angle POK$. Какой из данных углов больше?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/test-1.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\angle MOK < \\angle POK$","$\\angle MOK > \\angle POK$"],"answer":[0]}}}]}

Отрезки, лучи и абстракции

Масса, длина и время, являющиеся основными физическими величинами, определяются на основе физических явлений. Например, метр — единица длины — это расстояние, которое проходит свет в вакууме за $\frac{1}{299,792,458}$ секунды. Таким образом, метр и скорость света взаимно определяют друг друга.

Так как нам необходимо измерять геометрические абстракции, то и единица измерения углов должна быть абстрактной. Для этого вновь обращаемся к окружности: если разделить ее на некоторое количество равных частей, то угол можно измерить количеством частей, расположенных между его сторонами.

Историческая справка

Идея деления окружности на части лежит в основе понятия градусная мера угла. Этот принцип возник более 4000 лет назад.

Измерение углов: выбираем «эталон»

Представьте, что вы делите торт на равные кусочки, чтобы каждый гость получил долю.

Аналогично окружность можно разделить на любое количество частей — $5, 6, 10, 15$ или даже $20\,000$. Главное, чтобы выбранное число было математически удобным.

{"questions":[{"content":"Что из себя представляет множество натуральных чисел $\\mathbb{N}$? [[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Множество чисел, возникающих естественным образом при счете ($1, 2, 3, 4$ и так далее).","Числа, которые можно представить в виде рациональной дроби $\\frac{a}{b}$."],"answer":[0]}}}]}

Почему окружность можно разбивать произвольно?

Единицу можно представить в виде обыкновенной дроби: $\frac{a}{b}$, где $a = b$ и $a, b \in N$.

Использование иррациональных чисел для описания единицы было бы непрактичным. Поскольку измерение углов связано только с положительными значениями, отрицательные числа здесь не применяются. Длина любого отрезка, как и величина угла, всегда больше нуля.

Таким образом, при любом количестве частей сумма всех долей окружности равна единице. Независимо от размеров окружности, результат деления будет одинаковым.

Единица измерения углов: «супер»-число

Рассмотрим, как древние астрономы определяли время обращения Земли вокруг Солнца. Они вычислили, что год состоит примерно из $360$ дней. Возможно, это было осознанное округление — число $360$ оказалось исключительно удобным.

$360$ — это «супер-число», потому что оно делится на множество целых чисел:
$2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72,$ $90, 120, 180$.

Это делает его идеальным выбором для деления окружности.

{"questions":[{"content":"Проверьте «универсальность» этого числа: воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти результаты следующих математических операций. В результате — только целые числа.[[matcher-15]]","widgets":{"matcher-15":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{360}{15}$","$\\frac{360}{72}$","$\\frac{360}{9}$"],"items":["$24$","$5$","$40$","$50$","$13$","$4$","$34$"]}},"calc":1}]}

Градусная мера угла

Так, $ \frac{1}{360} $ окружности принимается за единицу измерения углов. Эту долю называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Если указано, что $\angle \alpha = 1^\circ$, то это означает, что угол равен $ \frac{1}{360} $ окружности.

{"questions":[{"content":"В математической записи выражение «угол $α$, равный 46 градусам» обозначается как:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle \\alpha = 46^\\circ$","$\\angle \\alpha = 46$"],"answer":[0]}}}]}

Окружности разные, а градусная мера угла одинакова

Предположим, что вам известна градусная мера угла $∠α = 30°$. Возникает вопрос: если окружности имеют разные радиусы, будет ли величина угла различаться?

Ответ — нет. В определении градуса не указаны размеры окружности. Впишем угол $\angle \alpha = 30^\circ$ в окружности разных радиусов. В каждом случае угол занимает строго 30 частей из 360.

Хотя длины дуг различны, доля окружности, приходящаяся на угол, остается неизменной: $ \frac{30}{360} = \frac{1}{12} $. Следовательно, градус — это универсальная единица, не зависящая от радиуса окружности. Главное — разделить окружность ровно на 360 частей.

Часто задаваемые вопросы