Параллельные прямые. Аксиома параллельности

В геометрии мы часто встречаем прямые, которые никогда не пересекаются. Такие прямые называют параллельными. Они встречаются не только на чертежах, но и в окружающем мире: например, рельсы железной дороги или противоположные края линейки.

Сегодня мы узнаем, какие прямые называются параллельными, как их обозначают и какое важное правило связано с проведением параллельной прямой через точку. Это правило называется аксиомой параллельности.

На уроке мы разберем, почему эта аксиома играет важную роль в геометрии и как с ее помощью можно делать дальнейшие выводы о расположении прямых.

Определение параллельных прямых

В геометрии прямые располагаются на плоскости либо пересекаясь друг с другом, либо не пересекаясь. Случай, когда прямые не пересекаются, определяется в геометрии термином «параллельность». Для примера отдельно проведем две прямые $a$ и $b$.

Прямые, как мы помним, могут продолжаться бесконечно в обе стороны. Выходит, что при условии параллельности на бесконечном пространстве плоскости у прямых $a$ и $b$ не будет ни одной точки пересечения.

Параллельные прямые — прямые, не имеющие на плоскости точек пересечения.

Не только прямые могут быть параллельными. Возьмем все так же две параллельные прямые $a$ и $b$ и отметим на них по две точки $A, B$ и $C, D$ соответственно. Полученные отрезки $AB$ и $СD$ — части прямых $a$ и $b$ — тоже будут параллельны. Говорить можно и о параллельности лучей в том числе.

Параллельность тоже имеет особое обозначение в геометрии. В виде знака «$\parallel$» — двух продолговатых вертикальных прямых.

Параллельность прямых $a$ и $b$ из примера выше записывают следующим образом: $a\parallel{b}$. Отрезков — $AB\parallel{CD}$. Параллельность лучей — например, лучей $AM$ и $CN$ — $AM\parallel{CN}$.

{"questions":[{"content":"На каком рисунке прямые параллельны? [[image-1]] [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-parallel.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Пара прямых «1»","Пара прямых «2»","Пара прямых «3»","Таких нет"],"answer":[0]}}}]}

Интерактив

Данное задание поможет наглядно разобраться с понятием параллельных прямых. Вы можете перемещать точки на плоскости и наблюдать, как меняется положение прямой. Затем, нажав кнопку, можно построить к ней параллельную прямую через выбранную точку. При необходимости можно скрыть параллельную прямую и попробовать снова.

Вы сможете убедиться, что, независимо от положения исходной прямой и выбранной точки, построенная прямая всегда будет идти параллельно.

Параллельные прямые в античности

Впервые понятие об идущих рядом прямых встречается в первой книге «Начал» Евклида, датированной III веком до нашей эры. Древнегреческий математик дал определение параллельным прямым не сказать, что далекое от современного. В переводе с оригинала звучит так:

«Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны в неопределенность, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».

Что такое аксиомы

В течение многих предыдущих уроков мы неоднократно сталкивались с теоремами — положениями, которые в обязательном порядке нуждаются в доказательствах. Наука, разумеется, не может сразу проистекать из теорем, поскольку изначально для формулировки теоремы требуются положения, что закладывают основы. Как кирпичи.

Такие исходные утверждения, помогающие закладывать основы и не требующие доказательств, называются аксиомами (от др.-греч. «ἀξίωμα» — рус. «утверждение»).

Аксиома — утверждение, принимаемое в рамках некоторой науки истинным без доказательства и используемое для доказательств прочих утверждений (теорем).

Вспомним ранее доказанную теорему о смежных углах: «Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$».

Итак, смежные углы образуются, когда луч, проведенный из точки прямой, делит развернутый угол на два угла. Значит, не обойтись без определения прямой — что она действительно всегда прямая, не прерывающаяся и нигде не изгибающаяся. Во-вторых, нужно понимание, что у двух прямых может быть только одна точка пересечения. В-третьих, градусная мера развернутого угла складывается из мер углов, на которые он разбивается лучами.

Для формулировки «сумма смежных углов…» нам потребовалось ввести минимум три утверждения на бездоказательной базе. В целом, каждая теорема разбивается на элементы, которые не нужно доказывать.

{"questions":[{"content":"Какое утверждение правильно описывает разницу между аксиомой и теоремой в геометрии? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Аксиому доказывают, а теорему принимают без доказательства.","Аксиому принимают без доказательства, а теорему доказывают.","Между аксиомой и теоремой нет различий."],"explanations":["В геометрии аксиомы служат исходными положениями и не требуют доказательства.","Теоремы доказывают с помощью определений, аксиом и ранее доказанных теорем.","Аксиомы и теоремы играют разные роли в построении геометрической теории."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим, с каких утверждений начинается построение геометрической теории: для них доказательства не приводят.","Проверим роли утверждений: аксиома — исходное положение, принятое без доказательства; теорема — утверждение, истинность которого доказывают."]}]}

Основные аксиомы геометрии

Родоначальником геометрических базисов, конечно же, был уже упомянутый выше Евклид. Он первым сформулировал основные аксиомы геометрии как науки в «Началах» и дал ключевые определения, которые, хоть и частично видоизмененные, но сохранились до наших дней.  

Для удобства запоминания основные аксиомы принято разбивать на пять следующих групп:

• принадлежности;
• расположения;
• откладывания;
• измерения;
• аксиома параллельности.

Аксиома параллельности стоит особняком: от нее зависит, какая получится геометрия — евклидова или другая (об этом ниже, в разделе про Лобачевского). Здесь аксиомы разбиты на пять групп, как в школьном курсе Погорелова; в других учебниках (например, у Атанасяна) набор аксиом другой.

{"questions":[{"content":"Пусть имеется луч $AM$. Нам необходимо от начальной точки $A$ отложить отрезок $AB$ длиной $10~см$. Какие из представленных аксиом потребуются для осуществления данного действия? Выберите <b>две</b>. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.","Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.","Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой."],"answer":[0,2]}},"step":1,"hints":["Отрезок можно отложить, только если мы берем за основу возможность его откладывания.","Также необходимо обозначить момент с длиной."]}]}

Аксиома параллельности

Аксиома параллельности:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Начертим на плоскости прямую $a$ и также отметим не лежащую на прямой $a$ точку $F$. Согласно положению аксиомы параллельности, через точку $F$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $a$. Выделим такую прямую на чертеже как прямую $b$.

Действительно, если провести через точку $F$ еще одну прямую — прямую $b_1$, — не совпадающую с прямой $b$, то при продолжении прямых $a$ и $b_1$ непременно пересекутся.

Пятый постулат Евклида

Пятый постулат Евклида — это утверждение о параллельных прямых. В школьной формулировке, равносильной постулату Евклида, он звучит так:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

На этом утверждении строится геометрия, которую изучают в школе — еще ее называют евклидовой.

Долгое время математики пытались доказать пятый постулат с помощью других аксиом, потому что он казался более сложным и менее очевидным. В XIX веке русский ученый Николай Иванович Лобачевский пошел другим путем: он предположил, что через точку вне данной прямой можно провести не одну, а несколько прямых, не пересекающих данную. Оказалось, что при таком предположении тоже получается логически непротиворечивая геометрия — геометрия Лобачевского.

Главное различие можно запомнить так:

• Геометрия Евклида: через точку вне прямой проходит одна параллельная прямая.
• Геометрия Лобачевского: через такую точку проходит более одной прямой, не пересекающей данную.

Из-за этого в геометрии Лобачевского привычные свойства меняются. Например, сумма углов треугольника там меньше $180^\circ$, тогда как в евклидовой геометрии она равна $180^\circ$.

Лобачевский показал, что если заменить аксиому параллельности Евклида другим утверждением, можно построить совершенно новую геометрию.

Немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс в свое время тоже задумывался о кривых и прямых. Он понимал, что сама идея перекроить пятый постулат Евклида и всю евклидову геометрию вызовет ярчайшее неудовольствие со стороны людей науки. Публичный удар принял на себя Лобачевский, опубликовав труд «О началах геометрии» в 1829 году.

Современная наука относится к выводам Лобачевского как к одному из важнейших достижений математики XIX века. Его идея показала, что геометрия Евклида — не единственно возможная логически последовательная геометрия. Если изменить аксиому о параллельных прямых, можно получить другую непротиворечивую систему — неевклидову геометрию.

С математической точки зрения геометрия Лобачевского полностью признана и строго обоснована. Позднее были построены ее модели внутри евклидовой геометрии, что показало: если евклидова геометрия непротиворечива, то непротиворечива и геометрия Лобачевского.

В физике вопрос звучит немного иначе: какая геометрия лучше описывает реальное пространство. В общей теории относительности пространство-время в общем случае искривлено, поэтому евклидова геометрия не всегда подходит для описания Вселенной в больших масштабах. При этом в повседневных условиях и на небольших расстояниях евклидова геометрия остается очень точным приближением.

То есть научный вывод такой: Евклид был не «неправ», а его геометрия описывает один возможный тип пространства. Лобачевский показал, что возможны и другие.

Часто задаваемые вопросы