0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Параллельные прямые. Аксиома параллельности

Содержание

    Эх, параллельность. Занимательный факт: древнегреческое слово «παράλληλος» (в латинизированной форме — ‘parallelos’) дословно переводится как «рядом идущий».

    Попробуйте представить себе две прямые, которые бы наглядно показывали перевод слова. Что за картинка возникла у вас в голове? Как подобные прямые будут располагаться относительно друг друга? Будут ли пересекаться?

    Параллельные прямые: определение

    Поздравляем, если вам удалось дать правильный ответ. Подводя промежуточный итог нашим знаниям о прямых, мы можем сказать, что прямые располагаются на плоскости, либо пересекаясь друг с другом, либо не пересекаясь. Случай, когда прямые не пересекаются, определяется в геометрии термином «параллельность».  

    Для примера отдельно проведем две прямые $a$ и $b$.

    Прямые, как мы помним, могут продолжаться бесконечно в обе стороны. Выходит, что при условии параллельности на бесконечном пространстве плоскости у прямых $a$ и $b$ не будет ни одной точки пересечения.

    Тогда скажем, что:

    Параллельные прямые — прямые, не имеющие на плоскости точек пересечения.

    Не только прямые могут быть параллельными. Возьмем все так же две параллельные прямые $a$ и $b$ и отметим на них по две точки $A, B$ и $C, D$ соответственно. Полученные отрезки $AB$ и $СD$ — части прямых $a$ и $b$ — тоже будут параллельны. Говорить можно и о параллельности лучей в том числе.

    Параллельность тоже имеет особое обозначение в геометрии. В виде знака «$\parallel$» — двух продолговатых вертикальных прямых.

    Параллельность прямых $a$ и $b$ из примера выше записывают следующим образом: $a\parallel{b}$. Отрезков — $AB\parallel{CD}$. Параллельность лучей — $A\parallel{B}$.

    Параллельность прямых, отрезков и лучей

    Параллельные прямые в античности

    Впервые понятие об идущих рядом прямых встречается в первой книге «Начал» Эвклида, датированной III веком до нашей эры. Древнегреческий математик дал определение параллельным прямым не сказать, что далекое от современного. В переводе с оригинала звучит так:

    «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны в неопределенность, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».

    Выбор слов интересный — «εἰς ἄπειρον», оно же «в неопределенность». Современные математические рассуждения, наоборот, не стесняются изобиловать словами наподобие «бесконечность».

    Мы научились принимать и частично понимать стремление математики к тому, что не имеет конца. Греки, напротив, безграничности страшились. Поэтому в античных научных трудах просто невозможно встретить термин «бесконечность». Максимум, что допускалось — «неопределенность».

    Что такое аксиомы

    В течение многих предыдущих уроков мы неоднократно сталкивались с теоремами — положениями, которые в обязательном порядке нуждаются в доказательствах. Наука, разумеется, не может сразу проистекать из теорем, поскольку изначально для формулировки теоремы требуются положения, что закладывают основы. Как кирпичи.

    Подобные «теоремы», помогающие закладывать основы и не требующие при этом доказательств, называются аксиомами (от др.-греч. «ἀξίωμα» — рус. «утверждение»).

    Аксиома — утверждение, принимаемое в рамках некоторой науки истинным без доказательства и используемое для доказательств прочих утверждений (теорем).

    Зачем в геометрии нужны аксиомы?

    Вспомним ранее доказанную теорему о смежных углах: «Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$».

    Итак, смежные углы образуются вследствие пересечения двух прямых. Значит, не обойтись без определения прямой — что она действительно всегда прямая, не прерывающаяся и нигде не изгибающаяся. Во-вторых, нужно понимание, что у двух прямых может быть только одна точка пересечения. В-третьих, что градусная мера развернутого угла складывается из мер углов, на которые он разбивается лучами.

    Для формулировки «сумма смежных углов…» нам потребовалось ввести минимум три утверждения на бездоказательной базе. В целом, каждая теорема разбивается на маленькие «детальки», которые не нужно доказывать.

    Основные аксиомы геометрии

    Родоначальником геометрических базисов, конечно же, был Евклид. Он первым сформулировал основные аксиомы геометрии как науки в «Началах» и дал ключевые определения, которые, хоть и частично видоизмененные, но сохранились до наших дней. Как, например, с античным определением параллельных прямых.  

    Для удобства запоминания основные аксиомы принято разбивать на пять следующих групп:

    • принадлежности;
    • расположения;
    • откладывания;
    • измерения;
    • аксиома параллельности.

    Немного полезной мнемоники

    Из первых букв признаков аксиом можно сложить слово «ПИРОП». Пиро́п — это камушек, по цвету напоминающий гранат. Если использовать его в качестве акронима, то выходит: «п — принадлежность», «и — измерение», «р — расположение», «о — откладывание», «п — параллельность». 

    Параллельность — в конце, ведь это единственная группа, включающая только одну аксиому. Итого, вы не только запоминаете группы аксиом, но еще добавляете в словарный запас интересное слово для минерала.

    Многие из них интуитивно понятны, поэтому затрагиваются в курсе геометрии по тексту косвенно — так скажем, без выделения «в рамочку».

    К примеру, при изучении точек и прямых мы говорили, что точки могут либо принадлежать прямой, либо ей не принадлежать. На самом деле это — одна из аксиом принадлежности: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей».

    Аксиома параллельности

    Аксиома параллельности. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

    Начертим на плоскости прямую $a$ и также отметим не лежащую на прямой $a$ точку $F$. Согласно положению аксиомы параллельности, через точку $F$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $a$. Выделим такую прямую на чертеже как прямую $b$.

    Действительно, если провести через точку $F$ еще одну прямую — прямую $b_1$, — не совпадающую с прямой $b$, то при продолжении прямых, $a$ и $b_1$ непременно пересекутся.

    Наш вывод с прямой $b_1$ формально доказательством не считается: положение о единственности параллельной прямой, несмотря на сложность формулировки, принимается как данность.  

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение