Расстояние от точки до прямой

Обновленный урок по теме: «Неравенства в треугольнике. Перпендикуляр и наклонная»

В повседневной жизни нередко возникает необходимость определить кратчайшее расстояние между объектом и некоторой линией — например, между точкой на местности и дорогой, рекой или границей участка. Геометрия дает точный способ решения такой задачи.

Мы введем понятие перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, докажем теорему о том, что длина этого перпендикуляра является наименьшим возможным расстоянием от точки до прямой, и отработаем алгоритм нахождения такого расстояния на практических примерах.

Понятие расстояния от точки до прямой

Пусть на плоскости имеются прямая $a$ и точка $F\notin{a}$. Из точки $F$ к прямой $a$ можно провести сколь угодно много отрезков. Длина какого из них будет минимальна?

Для того, чтобы из возможного множества отрезков выбрать необходимый, нужно задать понятие «расстояние от точки до прямой».   

При изучении основ геометрии мы доказали теорему о существовании и единственности перпендикуляра — о том, что из точки, не лежащей на прямой, можно провести к ней один и только один перпендикуляр.

Пусть $FD$ — такая прямая с условием $FD\perp{a}$.

Из этого следует, что любая другая прямая, проходящая через $F$ и пересекающая $a$, будет образовывать с $a$ угол, отличный от $90^\circ$.

Отметим на $a$ произвольную точку $M$ так, чтобы $M\neq{D}$. Получившийся треугольник $\bigtriangleup{MDF}$ будет прямоугольным, где $FD$ — катет, а $FM$ — гипотенуза.

Как мы установили ранее, по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника всякая гипотенуза всегда больше всякого катета.

Таким образом, если к прямой из одной точки провести несколько отрезков, наименьшим по длине будет тот, что образует прямой угол с прямой, то есть перпендикуляр. Его длина и будет считаться расстоянием от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Задача

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены точки $A$, $B$ и прямая, проходящая через $B$.

Определите по чертежу расстояние от точки $A$ до данной прямой.

Показать решение

Скрыть

Решение:

Опустим перпендикуляр от точки $A$ к прямой, проходящей через $B$. Полученный отрезок выразим в указанном масштабе.

Итого расстояние будет равняться $5$ единицам.

{"questions":[{"content":"На клетчатой бумаге масштаба $1,5~см$ x $1,5~см$ отмечены точки $A$ и $B$. Определите расстояние от точки $A$ до прямой, проходящей через $B$, и выразите его в миллиметрах.[[image-1]] [[fill_choice_big-22]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/AB-test-checkered.svg","width":"300"},"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$45~мм$","$35~мм$","$40~мм$","$15~мм$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра. Обозначим его как $AD$.","Масштаб бумаги — $1,5~см \\cdot 1,5~см$. Тогда: <br />$$AD=3 \\cdot 1,5=4,5~см.$$","Чтобы выразить длину в миллиметрах, умножим полученное значение на $10$: $AD=4,5 \\cdot 10=45~мм$."]}]}

Определение наклонной прямой

Вернемся к треугольнику $\bigtriangleup{MDF}$.

Прямая, отличная от перпендикуляра и при этом проходящая через точку к данной прямой, в геометрии называется наклонной.

Точка пересечения наклонной с данной прямой, как и точка конца перпендикуляра, называется основанием. Дадим более строгое определение наклонной:

Наклонная — отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой этой прямой и не являющийся перпендикуляром к ней.

Перпендикуляр и наклонная. К прямой можно провести сколь угодно много наклонных и только одну прямую, перпендикулярную к ней. Длина всякой наклонной всегда больше длины перпендикуляра.

{"questions":[{"content":"Даны прямая $b$, точки $P$, $S$, $Q$ так, что $S\\in{b}$ и $Q\\in{b}$. Из точки $P$ проведены наклонная и перпендикуляр.[[image-128]] [[matcher-149]]","widgets":{"image-128":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/snimok-ekrana-2025-04-25-v-11.41.36-optimized.png"},"matcher-149":{"type":"matcher","labels":["Наклонная","Перпендикуляр"],"items":["$PQ$","$PS$","$SQ$"]}}}]}

Свойство точек параллельных прямых

Представим, что Вообразавр и Иксератопс находятся на параллельных друг другу мостах.

Вообразавр начинает двигаться из точки старта вперед, пока не доходит до места, откуда хорошо видит Иксератопса. Вопрос: изменится ли расстояние между мостами?

Будут ли мосты все так же равноудалены друг от друга при замере расстояния между мостами от точки старта ($\textcolor{purple}{x}$) и от точки, где остановился Вообразавр ($\textcolor{coral}{x_1}$)?

Задействуем логику: раз мосты параллельны, то, где бы мы ни замеряли расстояние, значения $x$ и $x_1$ будут одними и теми же. Это — свойство точек параллельных прямых. Сформулируем свойство точек параллельных прямых в виде теоремы и докажем:

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть точка $A\in{a}$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$ и отметим основание перпендикуляра как $B$.

Отметим произвольную точку $X\in{a}$ и опустим из нее перпендикуляр к $b$ с основанием $C$.

Докажем, что свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке, для чего достаточно доказать равенство отрезков $AB$ и $XC$.

Так как $X\perp{b}$, то $X\perp{a}$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{XCA}$.

Они равны по гипотенузе и острому углу: в них $AC$ — общая гипотенуза, а углы $\angle{BCA}$ и $\angle{XAC}$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$.

Из этого следует равенство катетов: $AB=XC$. Свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке. Что и требовалось доказать.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Действительно, Вообразавр как точка, двигаясь по своему мосту, все время находился на одном и том же расстоянии от второго моста.

Теперь мы можем привести в доказательство своих логических обоснований свойство точек параллельных прямых.

Поскольку расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой, то мы можем определить расстояние между параллельными прямыми как длину перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной прямой, к другой прямой.

Удобно связать меж собой определение расстояния между параллельными прямыми и определение расстояния от точки до прямой:

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

{"questions":[{"content":"Рассмотрим свойство точек параллельных прямых «наоборот». Пусть нам даны прямые $a$ и $b$, но при этом неизвестно, являются ли они параллельными. [[image-1]]<br />Верно ли, что $a\\parallel{b}$, если две точки прямой $a$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $b$? [[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/reverse-proof.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Да, всегда.","Нет: если точки лежат по разные стороны от прямой $b$, прямые пересекаются."],"explanations":["Точки могут лежать по разные стороны от прямой $b$ — тогда прямые $a$ и $b$ пересекаются.",""],"answer":[1]}}}]}

Часто задаваемые вопросы