Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Расстояние от точки до прямой

Содержание

    Пусть на плоскости имеются прямая $a$ точка $F\notin{a}$. Из точки $F$ к прямой $a$ можно провести сколь угодно много отрезков. Длина какого из них будет минимальна? Для того, чтобы из возможного множества отрезков выбрать необходимый, нужно задать понятие «расстояние от точки до прямой».   

    В завершающем уроке раздела мы:

    — дадим определение наклонной прямой;
    — рассмотрим, что такое расстояние от точки до прямой;
    — узнаем, как определить расстояние между параллельными прямыми.

    Расстояние от точки до прямой — определение

    При изучении основ геометрии мы доказали теорему о единственности перпендикуляра — о том, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

    Пусть $FD$ — такая прямая с условием $FD\perp{a}$. Из этого следует, что любая другая прямая, проходящая через $F$ и пересекающая $a$, будет образовывать с $a$ угол, отличный от $90^\circ$.


    Отметим на $a$ произвольную точку $M$ так, чтобы $M\neq{D}$. Получившийся треугольник $\bigtriangleup{MDF}$ будет прямоугольным, где $FD$ — катет, а $FM$ — гипотенуза.

    Как мы установили ранее, по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника всякая гипотенуза всегда больше всякого катета. Таким образом, если к прямой из одной точки провести несколько отрезков, наименьшим по длине будет тот, что образует прямой угол с прямой, то есть перпендикуляр. Его длина и будет считаться расстоянием от точки до прямой.

    Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного от точки к данной прямой.  

    Расчет на клетчатой бумаге

    Задача. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены точки $A$, $B$ и прямая, проходящая через $B$. Определить по чертежу расстояние от точки $A$ до данной прямой.

    Решение. Опустим перпендикуляр от точки $A$ к прямой, проходящей через $B$. Полученный отрезок выразим в указанном масштабе. Итого расстояние будет равняться $5$ единицам.

    Определение наклонной прямой

    Вернемся к треугольнику $\bigtriangleup{MDF}$.

    Прямая, отличная от перпендикуляра и при этом проходящая через точку к данной прямой, в геометрии называется наклонной. Точка пересечения наклонной с данной прямой, как и точка конца перпендикуляра, называется основанием.  

    Дадим более строгое определение наклонной прямой:

    Наклонная — отрезок, пересекающий другую прямую и не перпендикулярный к ней.


    Перпендикуляр и наклонная. К прямой можно провести сколь угодно наклонных и только одну прямую, перпендикулярную к ней. Длина всякой наклонной всегда больше, чем перпендикуляра.

    Свойство точек параллельных прямых

    Представим, что Вообразавр и Три находятся на параллельных друг другу мостах. Вообразавр начинает двигаться из точки старта вперед, пока не доходит до места, откуда хорошо видит Три. Вопрос: изменится ли расстояние между мостами?

    Будут ли мосты все так же равноудалены друг от друга при замере расстояния между мостами от точки старта ($\textcolor{purple}{x}$) и от точки, где остановился Вообразавр ($\textcolor{coral}{x_1}$)?

    Интуитивный ответ: да! Раз мосты параллельны, то, где бы мы ни замеряли расстояние, значения $x$ и $x_1$ будут одними и теми же. Это — свойство точек параллельных прямых.  

    Сформулируем его в виде теоремы и докажем:

    Свойство точек параллельных прямых. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

    Доказательство

    Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть точка $A\in{a}$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$ и отметим основание перпендикуляра как $B$. Отметим произвольную точку $X\in{a}$ и опустим из нее перпендикуляр к $b$ с основанием $C$.

    Докажем, что свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке, для чего достаточно доказать равенство отрезков $AB$ и $XC$.

    Так как $X\perp{b}$, то $X\perp{a}$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{XCA}$. Они равны по гипотенузе и острому углу: в них $AC$ — общая гипотенуза, а углы $\angle{BCA}$ и $\angle{XAC}$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$.

    Из этого следует равенство катетов:

    $$AB=XC$$

    Свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке. Что и требовалось доказать.

    Расстояние между двумя параллельными прямыми


    Действительно, Вообразавр как точка, двигаясь по своему мосту, все время находился на одном и том же расстоянии от второго моста. Теперь мы можем привести в доказательство своих интуитивных умозаключений свойство точек параллельных прямых.

    Поскольку расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой, то мы можем определить расстояние между параллельными прямыми как длину перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной прямой, к другой прямой.

    Удобно связать меж собой определение расстояния между параллельными прямыми и определение расстояния от точки до прямой:

    Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение