Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости имеются прямая $a$ точка $F\notin{a}$. Из точки $F$ к прямой $a$ можно провести сколь угодно много отрезков. Длина какого из них будет минимальна? Для того, чтобы из возможного множества отрезков выбрать необходимый, нужно задать понятие «расстояние от точки до прямой».   

В сегодняшнем уроке мы узнаем, что такое наклонная прямая и расстояние от точки до прямой, а также узнаем, как определить расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние от точки до прямой

При изучении основ геометрии мы доказали теорему о единственности перпендикуляра — о том, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Пусть $FD$ — такая прямая с условием $FD\perp{a}$.

Из этого следует, что любая другая прямая, проходящая через $F$ и пересекающая $a$, будет образовывать с $a$ угол, отличный от $90^\circ$.

Отметим на $a$ произвольную точку $M$ так, чтобы $M\neq{D}$. Получившийся треугольник $\bigtriangleup{MDF}$ будет прямоугольным, где $FD$ — катет, а $FM$ — гипотенуза.

Как мы установили ранее, по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника всякая гипотенуза всегда больше всякого катета.

Таким образом, если к прямой из одной точки провести несколько отрезков, наименьшим по длине будет тот, что образует прямой угол с прямой, то есть перпендикуляр. Его длина и будет считаться расстоянием от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного от точки к данной прямой.

{"questions":[{"content":"Что называется расстоянием от точки до прямой?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.","длина любого отрезка, проведённого из этой точки к прямой."],"explanations":["","Кроме перпендикуляра любая другая прямая, проходящая через точку и пересекающая прямую, будет образовывать угол, отличный от $90^\\circ$."],"answer":[0]}}}]}

Расчет на клетчатой бумаге

Задача

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены точки $A$, $B$ и прямая, проходящая через $B$.

Определите по чертежу расстояние от точки $A$ до данной прямой.

Решение:

Опустим перпендикуляр от точки $A$ к прямой, проходящей через $B$. Полученный отрезок выразим в указанном масштабе.

Итого расстояние будет равняться $5$ единицам.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге масштаба $1,5~см$ x $1,5~см$ отмечены точки $A$ и $B$. Определите расстояние от точки $A$ до прямой, проходящей через $B$, и выразите его в <i><b>миллиметрах</b></i>.[[fill_choice_big-22]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/AB-test-checkered.svg"},"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$45~мм$","$35~мм$","$40~мм$","$15~мм$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"calc":1,"hints":["Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра. Обозначим его как $AD$.","Масштаб бумаги — $1,5~см \\cdot 1,5~см$. Тогда: <br />$$AD=3 \\cdot 1,5=4,5~см$$.","Чтобы выразить длину в миллиметрах, умножим полученное значение на $10$.","$AD=4,5 \\cdot 10=45~мм$."]}]}

Определение наклонной прямой

Вернемся к треугольнику $\bigtriangleup{MDF}$.

Прямая, отличная от перпендикуляра и при этом проходящая через точку к данной прямой, в геометрии называется наклонной.

Точка пересечения наклонной с данной прямой, как и точка конца перпендикуляра, называется основанием. Дадим более строгое определение наклонной прямой:

Наклонная — отрезок, пересекающий другую прямую и не перпендикулярный к ней.

Перпендикуляр и наклонная. К прямой можно провести сколь угодно наклонных и только одну прямую, перпендикулярную к ней. Длина всякой наклонной всегда больше, чем перпендикуляра.

{"questions":[{"content":"[[image-128]]Даны прямая $b$, точки $P$, $S$, $Q$ так, что $S\\in{b}$ и $Q\\in{b}$. Из точки $P$ проведены наклонная и перпендикуляр.[[matcher-149]]","widgets":{"image-128":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/snimok-ekrana-2025-04-25-v-11.41.36-optimized.png"},"matcher-149":{"type":"matcher","labels":["Наклонная","Перпендикуляр"],"items":["$PQ$","$PS$","$SQ$"]}}}]}

Свойство точек параллельных прямых

Представим, что Вообразавр и Иксератопс находятся на параллельных друг другу мостах.

Вообразавр начинает двигаться из точки старта вперед, пока не доходит до места, откуда хорошо видит Иксератопса. Вопрос: изменится ли расстояние между мостами?

Будут ли мосты все так же равноудалены друг от друга при замере расстояния между мостами от точки старта ($\textcolor{purple}{x}$) и от точки, где остановился Вообразавр ($\textcolor{coral}{x_1}$)?

Задействуем логику: раз мосты параллельны, то, где бы мы ни замеряли расстояние, значения $x$ и $x_1$ будут одними и теми же. Это — свойство точек параллельных прямых. Сформулируем свойство точек параллельных прямых в виде теоремы и докажем:

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть точка $A\in{a}$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$ и отметим основание перпендикуляра как $B$.

Отметим произвольную точку $X\in{a}$ и опустим из нее перпендикуляр к $b$ с основанием $C$.

Докажем, что свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке, для чего достаточно доказать равенство отрезков $AB$ и $XC$.

Так как $X\perp{b}$, то $X\perp{a}$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{XCA}$.

Они равны по гипотенузе и острому углу: в них $AC$ — общая гипотенуза, а углы $\angle{BCA}$ и $\angle{XAC}$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$.

Из этого следует равенство катетов: $AB=XC$. Свойство точек параллельных прямых истинно в любой точке. Что и требовалось доказать.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Действительно, Вообразавр как точка, двигаясь по своему мосту, все время находился на одном и том же расстоянии от второго моста.

Теперь мы можем привести в доказательство своих логических обоснований свойство точек параллельных прямых.

Поскольку расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой, то мы можем определить расстояние между параллельными прямыми как длину перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной прямой, к другой прямой.

Удобно связать меж собой определение расстояния между параллельными прямыми и определение расстояния от точки до прямой:

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

{"questions":[{"content":"Рассмотрим свойство точек параллельных прямых «наоборот». Пусть нам даны прямые $a$ и $b$, но при этом неизвестно, являются ли они параллельными. [[image-1]]<br />Верно ли, что $a\\parallel{b}$, если расстояние от двух произвольных точек до прямой одно и то же? [[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/reverse-proof.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Если все точки каждой из двух прямых равноудалены от другой прямой, то такие прямые параллельны.","Нет, данных для заключения параллельности недостаточно."],"answer":[0]}}}]}

Часто задаваемые вопросы