Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Свойства прямоугольных треугольников

Содержание

    Вспомним, какой треугольник называется прямоугольным в геометрии. Начертим на плоскости $\bigtriangleup{ABC}$ так, чтобы $\angle{A}=90^\circ$. Полученный в результате построений $\bigtriangleup{ABC}$ будет являться прямоугольным.

    Очевидно, что, как и равнобедренный или равносторонний, прямоугольный треугольник — частный случай. Это предполагает особые свойства прямоугольных треугольников, к рассмотрению которых мы приступаем в текущем уроке.

    Определение прямоугольного треугольника

    Перед тем, как углубиться в вопрос урока о свойствах, все же приведем определение прямоугольного треугольника отдельно:

    Треугольник называется прямоугольным, если у него есть угол, равный $90^\circ$.  

    Прямоугольные треугольники отличаются не только наличием прямого угла, но и особым названием сторон. Давайте познакомимся с новой терминологией и договоримся, что будем применять ее далее при описании соответствующих треугольников.

    Сторона, лежащая напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике, называется гипотенузой. На чертеже для $\bigtriangleup{ABC}$ гипотенуза — это сторона $BC$.

    Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике, называется катетом. На чертеже катеты — это стороны $AB$ и $AC$.

    🔎 Соотношения сторон и углов и свойства прямоугольных треугольников

    Вспомним теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника: «Против большей стороны треугольника лежит больший угол». Применяя положение данной теоремы к прямоугольным треугольникам, мы можем привести очевидное заключение, что гипотенуза всегда по длине больше любого катета.

    Гипотенуза — сторона, противолежащая углу в $90^\circ$. Из чего следует, что катеты — стороны, противолежащие углам меньше $90^\circ$. Угол, лежащий напротив гипотенузы, больше любого угла, лежащего против катета. Например, для $\bigtriangleup{ABC}$ выше:

    $$\textcolor{purple}{BC}>AB\\\textcolor{purple}{BC}>AC$$

    Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника

    Для удобства свойства прямоугольных треугольников будут нумероваться наподобие аксиом как $C_x$, где $x$ — номер свойства.

    Вновь применим теорему о сумме углов треугольника к прямоугольным треугольникам. Если для всякого такого треугольника известно, что один из его углов равен $90^\circ$, про сумму оставшихся двух углов можно заключить, что они также равняются $90^\circ$. Иными словами, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника составляет $90^\circ$.

    На примере треугольника $\bigtriangleup{ABC}$:

    $$\angle{B}+\angle{C}=90^\circ$$

    $C_1$. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

    Основание равнобедренного прямоугольного треугольника

    Применим свойство $C_1$ к треугольнику с равными катетами. Пусть дан такой треугольник, $\bigtriangleup{DBC}$, где $DC=BC$. С одной стороны, $\bigtriangleup{DBC}$ является прямоугольным.

    С другой стороны, он соответствует критерию равнобедренного треугольника. Тогда согласно теореме равнобедренного треугольника, заключающей равенство углов при основании, и согласно свойству $C_1$, заключающему, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, острые углы такого треугольника равны и каждый составляет $45^\circ$:

    $$\angle{D}=\angle{B}=45^\circ$$

    При этом заметим, что основание равнобедренного прямоугольного треугольника есть гипотенуза. Однако размещение на чертеже такого вида треугольника «гипотенузой к низу» — практика нераспространенная.

    Данный чертеж был приведен в пример лишь для того, чтобы визуально выделить основание равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Свойства прямоугольных треугольников: катет и гипотенуза

    Внимание, следующие два свойства прямоугольных треугольников будут доказываться с использованием теоремы о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. Также не забываем, что равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного.

    Когда катеты противолежат углам определенной градусной меры, у прямоугольных треугольников обнаруживается еще одно примечательное свойство.

    $C_2$. Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы.

    Доказательство

    Пусть дан прямоугольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$, в котором $\angle{C}=30^\circ$. Докажем, что в таком треугольнике катет, лежащий напротив $\angle{C}=30^\circ$, равен половине гипотенузы.

    Построим треугольник $\bigtriangleup{FAC}$, равный $\bigtriangleup{ABC}$. Рассмотрим полученный в результате треугольник $\bigtriangleup{FBC}$. По построению $\angle{B}=\angle{F}=60^\circ$. Также по теореме о сумме углов треугольника $\angle{BCF}=60^\circ$. Следовательно $\bigtriangleup{FCB}$ равносторонний.

    Поскольку $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{FAC}$, имеем равенство углов $\angle{BCA}=\angle{ACF}=30^\circ$. Заметим, что сторона $CA$ является в $\bigtriangleup{FCB}$ высотой, биссектрисой и, следовательно, медианой.

    Тогда:

    $$AB=\frac{1}{2}FB$$

    Так как $\bigtriangleup{FCB}$ равносторонний и в нем $FB=FC=BC$:

    $$AB=\frac{1}{2}BC$$

    Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.

    Попрактикуемся!

    Задача. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $60^\circ$. Найдите, чему равняется гипотенуза, если известно, что сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна $30~см$.

    Дано:

    $\angle{\alpha}=60^\circ$,
    $x+y=30$

    Найти:

    $x$ — ?

    Решение. Обозначим длину гипотенузы как $x$, а длину меньшего катета как $y$. Запишем их сумму по условию в виде уравнения:

    $$x+y=30$$

    Применим свойства прямоугольных треугольников $C_1$ и $C_2$. Раз в прямоугольном треугольнике один из углов составляет $60^\circ$, то по $C_1$ второй угол равен $30^\circ$. По обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника («против большего угла лежит большая сторона») меньший из катетов — тот, что лежит против угла в $30^\circ$.

    По $C_2$ имеем, что катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла в $30^\circ$. Откуда заключаем про $x$ и $y$ следующее:

    $$y=\frac{x}{2}$$

    Выразим уравнение выше через $x$ и найдем длину гипотенузы:

    $$\frac{x}{2}+x=30\\x=20$$

    Ответ: 20 см.  

    Катет, гипотенуза, угол — обратное свойство

    $C_3$. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\circ$.

    Доказательство

    Пусть в прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ катет $AB$ равен половине гипотенузы $BC$:

    $$AB=\frac{BC}{2}$$

    Докажем, что в таком случае угол $\angle{C}=30^\circ$. То есть докажем, что в случае со свойством $C_2$ также истинным будет и обратное положение. Для этого построим треугольник $\bigtriangleup{ACK}$, равный $\bigtriangleup{ABC}$.

    Рассмотрим полученный в результате треугольник $\bigtriangleup{KBC}$. По построению $KC=BC$, $KA=AB$. Заметим, что:

    $$BC=2AB=AB+KA=KB$$

    Раз $$BC=KB\\BC=KC,$$

    то $\bigtriangleup{KBC}$ равносторонний. Отрезок $CA$ в  $\bigtriangleup{KBC}$ является высотой и медианой ($KA=AB$). Следовательно $CA$ — биссектриса треугольника в том числе. Тогда $\angle{BCA}=\angle{ACK}$. Поскольку $\angle{BCK}=60^\circ$ (по определению равностороннего треугольника), $\angle{BCA}=\angle{ACK}=30^\circ$.

    Угол $\angle{C}$ в прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $30^\circ$. Что и требовалось доказать.

    Иными словами

    Свойство прямоугольных треугольников, связывающее катет, гипотенузу и угол в $30^\circ$, истинно в «обе стороны». Если про прямоугольный треугольник известно, что в нем есть угол $30^\circ$, катет, лежащий против такого угла, равен половине гипотенузы.

    С другой стороны, если в прямоугольном треугольнике есть катет, равный половине гипотенузы, то лежащий напротив него угол составляет $30^\circ$. Свойства $C_2$ и $C_3$ являются обратными друг другу.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение