Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Отлично!

Добытые сапфиры0 Очки опыта, полученные за тест0
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

Сообщить об ошибке

Сообщить об ошибке в вопросе

Описание проблемы:

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Готов к практике?

Прямоугольные треугольники

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Может ли существовать прямоугольный треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ с прямым углом $\\angle{A}$ со следующим условием: $$\\textcolor{purple}{AB}>\\textcolor{coral}{BC}$$[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q1-v11.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да, в прямоугольных треугольниках катет может быть больше гипотенузы.","Нет, любой из катетов всегда меньше гипотенузы."],"explanations":["","По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника гипотенуза — <b><i>наибольшая</i></b> сторона всякого прямоугольного треугольника, поскольку лежит напротив наибольшего в треугольнике угла (<i>прямого</i>)."],"answer":[1]}},"id":"0"},{"content":"[[image-19]]Может ли существовать прямоугольный треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ с прямым углом $\\angle{A}$ со следующим условием: $$\\textcolor{purple}{AC}>\\textcolor{coral}{BC}$$[[choice-29]]","widgets":{"image-19":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q1-v22.svg"},"choice-29":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник возможен по теореме о соотношениях между сторонами и углами.","Нет, прямоугольный треугольник с катетом больше гипотенузы построить нельзя."],"explanations":["Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника определяет, что против большего угла лежит большая сторона. Прямоугольный треугольник с катетом больше гипотенузы как раз таки и противоречит данной теореме. Гипотенуза всегда больше всякого катета, поскольку лежит против наибольшего угла.",""],"answer":[1]}},"id":"0"},{"content":"[[image-59]]Вспомните свойство $C_1$ и воспользуйтесь им, чтобы найти значение $\\angle{B}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$. Введите полученное значение ниже.[[speech-80]]<br>[[input-92]]","widgets":{"image-59":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q2-v1.svg","width":"400"},"speech-80":{"type":"speech","text":"<b><i>Свойство</i></b> $C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ($\\textcolor{purple}{?}$)."},"input-92":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"58"}},"step":1,"hints":["По свойству $C_1$ имеем: «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$». $$\\angle{B}+\\angle{C}=90^\\circ$$","По условию $\\angle{C}=32^\\circ$. Тогда: $$\\angle{B}=90^\\circ-32^\\circ$$","<b><i>Ответ</i></b>: 58."],"id":"1"},{"content":"[[image-168]]Вспомните свойство $C_1$ и воспользуйтесь им, чтобы найти значение $\\angle{B}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$. Введите полученное значение ниже. [[speech-201]]<br>[[input-219]]","widgets":{"image-168":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-47.svg","width":"400"},"speech-201":{"type":"speech","text":"<b><i>Свойство</i></b> $C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ($\\textcolor{purple}{?}$)."},"input-219":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"43"}},"step":1,"hints":["По свойству $C_1$ имеем: «Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$». $$\\angle{B}+\\angle{C}=90^\\circ$$","По условию $\\angle{C}=47^\\circ$. Тогда: $$\\angle{B}=90^\\circ-47^\\circ$$","<b><i>Ответ</i></b>: 43."],"id":"1"},{"content":"[[image-359]]В треугольнике $\\bigtriangleup{AFG}$ проведена высота $AK$. Найдите, чему равна сторона $AG$, если известно, что $\\angle{G}=60^\\circ$ и $GK=4$. [[input-415]]","widgets":{"image-359":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/DF-30-degrees.svg"},"input-415":{"type":"input","answer":"8"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $\\bigtriangleup{AKG}$. Так как $AK$ — высота $\\bigtriangleup{AFG}$, то $\\bigtriangleup{AKG}$ прямоугольный.","Угол $\\angle{KGA}=60^\\circ$ по условию. По свойству $C_1$ о сумме острых углов прямоугольного треугольника $\\angle{GAK}=30^\\circ$.","Тогда $GK$ — катет, лежащий против угла в $30^\\circ$.","По свойству $C_2$: «Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы».","Следовательно: <br />$$AG=2GK$$","<b><i>Ответ</i></b>: 8."],"id":"2"},{"content":"[[image-547]]В треугольнике $\\bigtriangleup{AOC}$ к стороне $AC$ проведена высота $OK$. Найдите, чему равняется сторона $AO$, если известно, что углы $\\angle{AOK}$ и $\\angle{KAO}$ соотносятся как $\\textcolor{purple}{1:2}$ соответственно, а $AK=2,5$. [[input-613]]","widgets":{"image-547":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/AO-30-degrees-v2.svg"},"input-613":{"type":"input","answer":"5"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $\\bigtriangleup{AOK}$. Так как $OK$ — высота $\\bigtriangleup{AOC}$, то $\\bigtriangleup{AOK}$ <i>прямоугольный</i>.","По условию: $$\\frac{\\angle{AOK}}{\\angle{KAO}}=\\frac{1}{2}$$","По свойству $C_1$ о сумме острых углов прямоугольного треугольника: $$\\angle{AOK}+\\angle{KAO}=90^\\circ$$","Откуда находим значения углов $\\angle{AOK}=30^\\circ$ и $\\angle{KAO}=60^\\circ$.","$AK$ — катет, лежащий против $\\angle{AOK}=30^\\circ$. По свойству $C_2$: <br /><br />«<i>Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы</i>».","Следовательно: <br />$$AO=2AK$$","<b><i>Ответ</i></b>: 5."],"id":"2"},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-animation-v1.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 100%;height: auto;\" autoplay=\"\"></lottie-player>В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ стороны $BC$ и $AC$ равны $4,45$ и $8,9$ соответственно. <br /><br />Найдите $\\angle{C}$. [[choice-1103]]","widgets":{"choice-1103":{"type":"choice","options":["$45^\\circ$","$60^\\circ$","$30^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомним свойство $C_3$, обратное $C_2$: «<i>Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\\circ$</i>». <br /><br />Присмотритесь к величинам $BC$ и $AC$."],"id":"3"},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-animation-v2.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 100%;height: auto;\" autoplay=\"\"></lottie-player>В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ стороны $BC$ и $AC$ равны $7,56$ и $15,12$ соответственно. <br /><br />Найдите $\\angle{A}$.[[input-1353]]<br>","widgets":{"input-1353":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"30"}},"calc":1,"hints":["Вспомним свойство $C_3$, обратное $C_2$: «<i>Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\\circ$</i>». <br /><br />Присмотритесь к величинам $BC$ и $AC$."],"id":"3"},{"content":"[[image-1480]][[speech-1780]]<br>[[matcher-1549]]","widgets":{"image-1480":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-ABC1.svg"},"matcher-1549":{"type":"matcher","labels":["Признак равенства по двум катетам","Признак равенства по катету и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и катету"],"items":["$AB=A_{1}B_1$ и $AC=A_{1}C_1$","$AC=A_{1}C_1$ и $\\angle{B}=\\angle{B_1}$","$BC=B_{1}C_1$ и $\\angle{C}=\\angle{C_1}$","$BC=B_{1}C_1$ и $AC=A_{1}C_1$"]},"speech-1780":{"type":"speech","text":"<i>Расположите элементы прямоугольных треугольников согласно соответствующим им признакам равенства</i>."}},"id":"4"},{"content":"[[image-2007]][[speech-2048]]<br>[[matcher-2111]]","widgets":{"image-2007":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/HKL-ver2.svg"},"speech-2048":{"type":"speech","text":"<i>Расположите элементы прямоугольных треугольников согласно соответствующим им признакам равенства</i>."},"matcher-2111":{"type":"matcher","labels":["Признак равенства по двум катетам","Признак равенства по катету и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и катету"],"items":["$AB=HK$ и $AC=HL $","$AB=HK $ и $\\angle{B}=\\angle{K}$","$BC=KL$ и $\\angle{B}=\\angle{K}$","$AB=HK$ и $BC=KL$"]}},"id":"4"},{"content":"В признаках равенства «<i>по гипотенузе и острому углу</i>» и «<i>по катету и острому углу</i>» острый угол: [[choice-2438]]","widgets":{"choice-2438":{"type":"choice","options":["Должен прилежать к катету или гипотенузе.","Должен противолежать катету или гипотенузе.","Может быть любым: как прилежащим, так и противолежащим."],"answer":[2]}}},{"content":"[[image-2573]]В <i>равностороннем</i> треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ на стороне $BC$ выбрана точка $D$ так, что $BD=DC$. Из точки $D$ к стороне $AB$ опущен перпендикуляр $DK$. <br /><br />Найдите, чему равен отрезок $DH$, если $AC=10$ и $CH$ — высота треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$. [[input-2766]]","widgets":{"image-2573":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-ex-last-v1.svg"},"input-2766":{"type":"input","answer":"5"}},"step":1,"hints":["Так как $\\bigtriangleup{ABC}$ равносторонний, $\\angle{B}=60^\\circ$,","Рассмотрим $\\bigtriangleup{KBD}$. По условию $DK\\perp{AB}$, следовательно треугольник прямоугольный. В нем $\\angle{B}=60^\\circ$. Тогда $\\angle{BDK}=30^\\circ$.","Катет $KB$ лежит против угла в $30^\\circ$. Значит: $$KB=\\frac{1}{2}DB=\\frac{10:2}{2}=2,5$$","$CH$ — высота равностороннего треугольника. Она же является и биссектрисой, и <b><i>медианой</i></b>. $$AH=HB=5$$","По условию $AB=10$. Найдем величину $HK$: $$HK=AB-AH-KB\\\\HK=10-5-2,5=2,5$$","Имеем равенство $HK=KB$. Тогда треугольники $\\bigtriangleup{KBD}$ и $\\bigtriangleup{HKD}$ равны по двум катетам.","Откуда получаем, что $BD=DH$ как гипотенузы в соответствующих равных треугольниках.","<b><i>Ответ</i></b>: 5."]}],"mix":1}