Прямоугольные треугольники

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Может ли существовать прямоугольный треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ с прямым углом $\\angle{A}$ со следующим условием: $$\\textcolor{purple}{AB}>\\textcolor{coral}{BC}$$[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q1-v11.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да, в прямоугольных треугольниках катет может быть больше гипотенузы.","Нет, любой из катетов всегда меньше гипотенузы."],"explanations":["","По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника гипотенуза — <b><i>наибольшая</i></b> сторона всякого прямоугольного треугольника, поскольку лежит напротив наибольшего в треугольнике угла (<i>прямого</i>)."],"answer":[1]}},"id":"0"},{"content":"[[image-19]]Может ли существовать прямоугольный треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ с прямым углом $\\angle{A}$ со следующим условием: $$\\textcolor{purple}{AC}>\\textcolor{coral}{BC}$$[[choice-29]]","widgets":{"image-19":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q1-v22.svg"},"choice-29":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник возможен по теореме о соотношениях между сторонами и углами.","Нет, прямоугольный треугольник с катетом больше гипотенузы построить нельзя."],"explanations":["Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника определяет, что против большего угла лежит большая сторона. Прямоугольный треугольник с катетом больше гипотенузы как раз таки и противоречит данной теореме. Гипотенуза всегда больше всякого катета, поскольку лежит против наибольшего угла.",""],"answer":[1]}},"id":"0"},{"content":"[[image-59]]Вспомните свойство $C_1$ и воспользуйтесь им, чтобы найти значение $\\angle{B}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$. Введите полученное значение ниже.[[speech-80]]<br>[[input-92]]","widgets":{"image-59":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-q2-v1.svg","width":"400"},"speech-80":{"type":"speech","text":"<b><i>Свойство</i></b> $C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ($\\textcolor{purple}{?}$)."},"input-92":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"58"}},"step":1,"hints":["По свойству $C_1$ имеем: «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$». $$\\angle{B}+\\angle{C}=90^\\circ$$","По условию $\\angle{C}=32^\\circ$. Тогда: $$\\angle{B}=90^\\circ-32^\\circ$$","<b><i>Ответ</i></b>: 58."],"id":"1"},{"content":"[[image-168]]Вспомните свойство $C_1$ и воспользуйтесь им, чтобы найти значение $\\angle{B}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$. Введите полученное значение ниже. [[speech-201]]<br>[[input-219]]","widgets":{"image-168":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-47.svg","width":"400"},"speech-201":{"type":"speech","text":"<b><i>Свойство</i></b> $C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ($\\textcolor{purple}{?}$)."},"input-219":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"43"}},"step":1,"hints":["По свойству $C_1$ имеем: «Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$». $$\\angle{B}+\\angle{C}=90^\\circ$$","По условию $\\angle{C}=47^\\circ$. Тогда: $$\\angle{B}=90^\\circ-47^\\circ$$","<b><i>Ответ</i></b>: 43."],"id":"1"},{"content":"[[image-359]]В треугольнике $\\bigtriangleup{AFG}$ проведена высота $AK$. Найдите, чему равна сторона $AG$, если известно, что $\\angle{G}=60^\\circ$ и $GK=4$. [[input-415]]","widgets":{"image-359":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/DF-30-degrees.svg"},"input-415":{"type":"input","answer":"8"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $\\bigtriangleup{AKG}$. Так как $AK$ — высота $\\bigtriangleup{AFG}$, то $\\bigtriangleup{AKG}$ прямоугольный.","Угол $\\angle{KGA}=60^\\circ$ по условию. По свойству $C_1$ о сумме острых углов прямоугольного треугольника $\\angle{GAK}=30^\\circ$.","Тогда $GK$ — катет, лежащий против угла в $30^\\circ$.","По свойству $C_2$: «Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы».","Следовательно: <br />$$AG=2GK$$","<b><i>Ответ</i></b>: 8."],"id":"2"},{"content":"[[image-547]]В треугольнике $\\bigtriangleup{AOC}$ к стороне $AC$ проведена высота $OK$. Найдите, чему равняется сторона $AO$, если известно, что углы $\\angle{AOK}$ и $\\angle{KAO}$ соотносятся как $\\textcolor{purple}{1:2}$ соответственно, а $AK=2,5$. [[input-613]]","widgets":{"image-547":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/AO-30-degrees-v2.svg"},"input-613":{"type":"input","answer":"5"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $\\bigtriangleup{AOK}$. Так как $OK$ — высота $\\bigtriangleup{AOC}$, то $\\bigtriangleup{AOK}$ <i>прямоугольный</i>.","По условию: $$\\frac{\\angle{AOK}}{\\angle{KAO}}=\\frac{1}{2}$$","По свойству $C_1$ о сумме острых углов прямоугольного треугольника: $$\\angle{AOK}+\\angle{KAO}=90^\\circ$$","Откуда находим значения углов $\\angle{AOK}=30^\\circ$ и $\\angle{KAO}=60^\\circ$.","$AK$ — катет, лежащий против $\\angle{AOK}=30^\\circ$. По свойству $C_2$: <br /><br />«<i>Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы</i>».","Следовательно: <br />$$AO=2AK$$","<b><i>Ответ</i></b>: 5."],"id":"2"},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-animation-v1.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 100%;height: auto;\" autoplay=\"\"></lottie-player>В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ стороны $BC$ и $AC$ равны $4,45$ и $8,9$ соответственно. <br /><br />Найдите $\\angle{C}$. [[choice-1103]]","widgets":{"choice-1103":{"type":"choice","options":["$45^\\circ$","$60^\\circ$","$30^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомним свойство $C_3$, обратное $C_2$: «<i>Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\\circ$</i>». <br /><br />Присмотритесь к величинам $BC$ и $AC$."],"id":"3"},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-animation-v2.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 100%;height: auto;\" autoplay=\"\"></lottie-player>В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ стороны $BC$ и $AC$ равны $7,56$ и $15,12$ соответственно. <br /><br />Найдите $\\angle{A}$.[[input-1353]]<br>","widgets":{"input-1353":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"30"}},"calc":1,"hints":["Вспомним свойство $C_3$, обратное $C_2$: «<i>Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\\circ$</i>». <br /><br />Присмотритесь к величинам $BC$ и $AC$."],"id":"3"},{"content":"[[image-1480]][[speech-1780]]<br>[[matcher-1549]]","widgets":{"image-1480":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-ABC1.svg"},"matcher-1549":{"type":"matcher","labels":["Признак равенства по двум катетам","Признак равенства по катету и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и катету"],"items":["$AB=A_{1}B_1$ и $AC=A_{1}C_1$","$AC=A_{1}C_1$ и $\\angle{B}=\\angle{B_1}$","$BC=B_{1}C_1$ и $\\angle{C}=\\angle{C_1}$","$BC=B_{1}C_1$ и $AC=A_{1}C_1$"]},"speech-1780":{"type":"speech","text":"<i>Расположите элементы прямоугольных треугольников согласно соответствующим им признакам равенства</i>."}},"id":"4"},{"content":"[[image-2007]][[speech-2048]]<br>[[matcher-2111]]","widgets":{"image-2007":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/HKL-ver2.svg"},"speech-2048":{"type":"speech","text":"<i>Расположите элементы прямоугольных треугольников согласно соответствующим им признакам равенства</i>."},"matcher-2111":{"type":"matcher","labels":["Признак равенства по двум катетам","Признак равенства по катету и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и острому углу","Признак равенства по гипотенузе и катету"],"items":["$AB=HK$ и $AC=HL $","$AB=HK $ и $\\angle{B}=\\angle{K}$","$BC=KL$ и $\\angle{B}=\\angle{K}$","$AB=HK$ и $BC=KL$"]}},"id":"4"},{"content":"В признаках равенства «<i>по гипотенузе и острому углу</i>» и «<i>по катету и острому углу</i>» острый угол: [[choice-2438]]","widgets":{"choice-2438":{"type":"choice","options":["Должен прилежать к катету или гипотенузе.","Должен противолежать катету или гипотенузе.","Может быть любым: как прилежащим, так и противолежащим."],"answer":[2]}}},{"content":"[[image-2573]]В <i>равностороннем</i> треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ на стороне $BC$ выбрана точка $D$ так, что $BD=DC$. Из точки $D$ к стороне $AB$ опущен перпендикуляр $DK$. <br /><br />Найдите, чему равен отрезок $DH$, если $AC=10$ и $CH$ — высота треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$. [[input-2766]]","widgets":{"image-2573":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ABC-ex-last-v1.svg"},"input-2766":{"type":"input","answer":"5"}},"step":1,"hints":["Так как $\\bigtriangleup{ABC}$ равносторонний, $\\angle{B}=60^\\circ$,","Рассмотрим $\\bigtriangleup{KBD}$. По условию $DK\\perp{AB}$, следовательно треугольник прямоугольный. В нем $\\angle{B}=60^\\circ$. Тогда $\\angle{BDK}=30^\\circ$.","Катет $KB$ лежит против угла в $30^\\circ$. Значит: $$KB=\\frac{1}{2}DB=\\frac{10:2}{2}=2,5$$","$CH$ — высота равностороннего треугольника. Она же является и биссектрисой, и <b><i>медианой</i></b>. $$AH=HB=5$$","По условию $AB=10$. Найдем величину $HK$: $$HK=AB-AH-KB\\\\HK=10-5-2,5=2,5$$","Имеем равенство $HK=KB$. Тогда треугольники $\\bigtriangleup{KBD}$ и $\\bigtriangleup{HKD}$ равны по двум катетам.","Откуда получаем, что $BD=DH$ как гипотенузы в соответствующих равных треугольниках.","<b><i>Ответ</i></b>: 5."]}],"mix":1}