Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Содержание

    Ранее в курсе геометрии мы сформулировали и доказали три теоремы, задающие признаки равенства треугольников. Теперь примем во внимание следующее: в двух произвольных прямоугольных треугольниках прямые углы всегда равны. Из этого следует, что признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют выводить равенство не по трем элементам, а всего по двум.  

    Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

    Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$, у которых соответственно равны катеты $AB=A_{1}B_1$ и $AC=A_{1}C_1$. Видим, что в таком случае треугольники равны согласно первому признаку равенства:

    $$AB=A_{1}B_1\\AC=A_{1}C_1\\\angle{A}=\angle{A_1}~(\textcolor{purple}{90^\circ})$$

    Сформулировать первый признак равенства применительно к прямоугольным треугольникам, следовательно, можно не по двум сторонам и углу между ними, а только по двум сторонам. То есть катетам.  

    Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

    Равенство по катету и острому углу

    Рассмотрим две следующие ситуации:

    Даны $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. В них $AB=A_{1}B_1$, $\angle{B}=\angle{B_1}$.

    Даны $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. В них $AB=A_{1}B_1$, $\angle{C}=\angle{C_1}$.

    Иными словами, имеем случай, когда в прямоугольных треугольниках катеты соответственно равны и при этом так же равны острые углы — либо прилежащие к катету, либо ему противолежащие.

    В обеих ли ситуациях можно заключать равенство прямоугольных треугольников?

    Когда угол прилегает к катету

    Если в прямоугольных треугольниках равны катет и прилежащий к нему угол, вне зависимости от того, о каком катете идет речь, равенство заключается по второму признаку равенства треугольников («по стороне и прилежащим к ней углам»). Внимание на чертеж выше: каким бы ни был катет, к нему прилегает острый угол с одной стороны и прямой с другой.

    Из чего следует:

    Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.

    Когда угол противолежит катету

    Противолежащий угол — уже не такая очевидная ситуация, как с углом прилежащим, однако все крайне просто, стоит только вспомнить свойство $C_1$ о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника. Раз $\angle{C}=\angle{C_1}$, то:

    $$\angle{B}=90^\circ-\angle{C}\\\angle{B_1}=90^\circ-\angle{C_1}$$Откуда приходим к равенству углов $\angle{B}=\angle{B_1}$ и вновь признаку равенства по катету и прилежащему острому углу.

    Нюанс о материалах по геометрии

    В учебниках часто встречается только частная формулировка признака — через прилежащий острый угол. Однако на поверку выходит, что доказывать равенство по катету и острому углу можно без привязки к положению данного угла в прямоугольном треугольнике.

    Прилежащий или противолежащий — если при этом дано равенство катетов, прямоугольные треугольники будут равны.

    Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

    Аналогичный метод размышления применим к случаю, когда в прямоугольных треугольниках равны соответственно гипотенузы и острый угол. На примере чертежа: либо $BC=B_{1}C_1$ и $\angle{\textcolor{purple}{B}}=\angle{\textcolor{purple}{B_1}},$ либо $BC=B_{1}C_1$ и $\angle{\textcolor{coral}{C}}=\angle{\textcolor{coral}{C_1}}$. По свойству $C_1$ прямоугольных треугольников о сумме острых углов:

    Если $\angle{B}=\angle{B_1}$, то $\angle{C}=\angle{C_1}$, и наоборот.

    Это позволяет сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

    Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников: задача на дополнительное построение

    Дополнительное построение высоты в произвольных треугольниках, чтобы задействовать признаки равенства прямоугольных треугольников, — полезный инструмент. С его помощью можно доказывать равенство отрезков или углов. Давайте посмотрим, как этим пользоваться.

    Задача. В остроугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ на сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $L$ и $K$ соответственно, причем $KL\parallel{BC}$ и $KL=KC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $\angle{KMB}=\angle{BAC}$. Докажите, что $KM=AL$.

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABC}$
    $KL\parallel{BC}$
    $KL=KC$
    $\angle{KMB}=\angle{BAC}$

    Найти:

    $KM=AL$

    Решение

    1. Рассмотрим параллельные прямые $KL$ и $BC$ и секущую $KC$. Согласно теореме о соответственных углах $\angle{KCB}$ и $\angle{AKL}$ равны.

    2. По условию треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ остроугольный, следовательно $\angle{BAC}<90^\circ$. Тогда, поскольку $\angle{BAC}=\angle{KMB}$, угол $\angle{KMB}$ также является острым. По теореме о сумме смежных углов смежный с $\angle{KMB}$ угол $\angle{KMC}$ является тупым.

    3. Проведем в треугольниках $\bigtriangleup{KMC}$ и $\bigtriangleup{ALK}$ высоты к сторонам $MC$ и $KA$. Угол $\angle{KMC}$ треугольника $\bigtriangleup{KMC}$ тупой, следовательно $\bigtriangleup{KMC}$ является тупоугольным. Высота в тупоугольном треугольнике проводится к продолжению стороны. Отметим полученные высоты как $KD$ и $LF$ соответственно.

    4. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{LKF}$ и $\bigtriangleup{KDC}$. Они прямоугольные. Стороны $LK$ и $KC$ являются гипотенузами, при этом $\angle{LKF}=\angle{DCK}$ (соответственные при $KL\parallel{BC}$). Заключаем, что треугольники $\bigtriangleup{LKF}$ и $\bigtriangleup{KDC}$ равны (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу).

    5. Тогда высоты $LF$ и $KD$ равны как катеты в соответствующих равных прямоугольных треугольниках. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ALF}$ и $\bigtriangleup{KDM}$. Они прямоугольные. В них катеты $LF=KD$ и по условию $\angle{LAF}=\angle{DMK}$. Треугольники равны (равенство по катету и острому углу).

    6. Поскольку  $\bigtriangleup{ALF}$ и $\bigtriangleup{KDM}$ равны, гипотенузы $AL$ и $KM$ также равны. Что и требовалось доказать.

    Признак равенства по гипотенузе и катету

    Методом наложения также можно доказать признак равенства по гипотенузе и катету:

    Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.  

    Доказательство

    Рассмотрим прямоугольные треугольники (чертеж дан выше) $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ с равными гипотенузами $BC=MF$ и катетами $AC=DF$. Докажем, что $\bigtriangleup{ABC}= \bigtriangleup{DMF}$.

    Наложим треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ друг на друга. Они прямоугольные, поэтому вершины $A$ и $D$ находятся в одной точке, а катеты $AB$, $AC$ и $DM$, $DF$ будут располагаться на одних прямых соответственно. Так как по условию $AC=DF$, вершины $C$ и $F$ совместятся.

    Положим, что при этом вершины $B$ и $M$ не совместились и находятся в разных точках. Рассмотрим $\bigtriangleup{BMC}$. По условию гипотенузы $BC$ и $MF$ равны. Значит, $BC=MC$ и $\bigtriangleup{BMC}$ равнобедренный. Однако $\angle{MBC}$ тупой (как внешний при вершине $B$).

    В равнобедренном треугольнике при основании двух тупых углов быть не может. Следовательно вершины $B$ и $M$ также совместятся. Треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ равны. Что и требовалось доказать.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение