Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ранее в курсе геометрии мы сформулировали и доказали три теоремы, задающие признаки равенства треугольников. Теперь примем во внимание следующее: в двух произвольных прямоугольных треугольниках прямые углы всегда равны. Из этого следует, что признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют выводить равенство не по трем элементам, а всего по двум.  

{"questions":[{"content":"[[speech-1]]<br>Пусть треугольники $\\bigtriangleup{ABC}$ и $\\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$ равны по <b><i>первому признаку</i></b>. Выберите из ниже предложенного соответствующие признаки. [[choice-7]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Хорошо было бы для начала освежить содержание теорем о равенстве треугольников. Давайте вас проверим!"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$AC=A_{1}C_{1}$","$AB=A_{1}B_1$","$\\angle{A}=\\angle{A_1}$","$\\angle{B}=\\angle{B_1}$"],"answer":[0,1,2]}},"step":1,"hints":["Первый признак равенства: «<i>Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны</i>».","Значит, из предложенного: <br /><br />$$\\angle{A}=\\angle{A_1}\\\\AB=A_{1}B_1\\\\AC=A_{1}C_{1}$$"]},{"content":"Известно, что треугольники $\\bigtriangleup{ABC}$ и $\\bigtriangleup{PMK}$ равны по <b><i>второму признаку</i></b>. <br /><br /><i>Допишите ниже равенства элементов данных треугольников, чтобы получить второй признак равенства</i>.<br><br>$AB$ = [[input-43]]<br>$\\angle{A}$ = $\\angle$ [[input-74]]<br>$\\angle{B}$ = $\\angle$ [[input-104]]","widgets":{"input-43":{"type":"input","inline":1,"answer":"PM"},"input-74":{"type":"input","inline":1,"answer":"P"},"input-104":{"type":"input","inline":1,"answer":"M"}},"step":1,"hints":["Второй признак равенства: «<i>Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны</i>».","Тогда сторона $AB$ будет равняться стороне $PM$.","Прилегающие к $AB$ углы $\\angle{A}$ и $\\angle{B}$ будут соответственно равны углам $\\angle{P}$ и $\\angle{M}$."]},{"content":"<b><i>Третий признак равенства треугольников гласит</i></b>: <br /><br />«Если [[fill_choice-179]] одного треугольника соответственно равны [[fill_choice-213]] второго треугольника, то такие треугольники равны».","widgets":{"fill_choice-179":{"type":"fill_choice","options":["три стороны","три угла"],"answer":0},"fill_choice-213":{"type":"fill_choice","options":["трем сторонам","трем углам"],"answer":0}}}],"mix":1}

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$, у которых соответственно равны катеты $AB=A_{1}B_1$ и $AC=A_{1}C_1$. Видим, что в таком случае треугольники равны согласно первому признаку равенства:

$$AB=A_{1}B_1\\AC=A_{1}C_1\\\angle{A}=\angle{A_1}~(\textcolor{purple}{90^\circ})$$

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

{"questions":[{"content":"Повторим: из какого признака равенства треугольников следует признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Из первого.","Из второго.","Из третьего."],"explanations":["<i>Верно, из первого признака равенства по «<b>двум сторонам и углу между ними</b>»</i>.","",""],"answer":[0]}}}]}

Равенство по катету и острому углу

Рассмотрим две следующие ситуации:

Даны $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. В них $AB=A_{1}B_1$, $\angle{B}=\angle{B_1}$.

Даны $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. В них $AB=A_{1}B_1$, $\angle{C}=\angle{C_1}$.

Иными словами, имеем случай, когда в прямоугольных треугольниках катеты соответственно равны и при этом так же равны острые углы — либо прилежащие к катету, либо ему противолежащие.

В обеих ли ситуациях можно заключать равенство прямоугольных треугольников?

Когда угол прилегает к катету

Если в прямоугольных треугольниках равны катет и прилежащий к нему угол, вне зависимости от того, о каком катете идет речь, равенство заключается по второму признаку равенства треугольников («по стороне и прилежащим к ней углам»). Внимание на чертеж выше: каким бы ни был катет, к нему прилегает острый угол с одной стороны и прямой с другой.

Из чего следует:

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Когда угол противолежит катету

Противолежащий угол — уже не такая очевидная ситуация, как с углом прилежащим, однако все крайне просто, стоит только вспомнить свойство $C_1$ о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника. Раз $\angle{C}=\angle{C_1}$, то:

$$\angle{B}=90^\circ-\angle{C}\\\angle{B_1}=90^\circ-\angle{C_1}$$Откуда приходим к равенству углов $\angle{B}=\angle{B_1}$ и вновь признаку равенства по катету и прилежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Аналогичный метод размышления применим к случаю, когда в прямоугольных треугольниках равны соответственно гипотенузы и острый угол. На примере чертежа: либо $BC=B_{1}C_1$ и $\angle{\textcolor{purple}{B}}=\angle{\textcolor{purple}{B_1}},$ либо $BC=B_{1}C_1$ и $\angle{\textcolor{coral}{C}}=\angle{\textcolor{coral}{C_1}}$. По свойству $C_1$ прямоугольных треугольников о сумме острых углов:

Если $\angle{B}=\angle{B_1}$, то $\angle{C}=\angle{C_1}$, и наоборот.

Это позволяет сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Подытожим признаки равенства <b><i>по катету и острому углу</i></b> и <b><i>по гипотенузе и острому углу</i></b>. Если для пары прямоугольных треугольников известно, что у них соответственно равны катеты или гипотенузы, чтобы заключить их равенство, острый угол должен быть: [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/test-dino-1.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Соответственно противолежащим катетам или гипотенузам.","Соответственно прилежащим к катетам или гипотенузам.","Не имеет значения для обоих случаев."],"answer":[2]}}}]}

Признаки равенства прямоугольных треугольников: задача на дополнительное построение

Дополнительное построение высоты в произвольных треугольниках, чтобы задействовать признаки равенства прямоугольных треугольников, — полезный инструмент. С его помощью можно доказывать равенство отрезков или углов. Давайте посмотрим, как этим пользоваться.

Задача. В остроугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ на сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $L$ и $K$ соответственно, причем $KL\parallel{BC}$ и $KL=KC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $\angle{KMB}=\angle{BAC}$. Докажите, что $KM=AL$.

Решение

1. Рассмотрим параллельные прямые $KL$ и $BC$ и секущую $KC$. Согласно теореме о соответственных углах $\angle{KCB}$ и $\angle{AKL}$ равны.

2. По условию треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ остроугольный, следовательно $\angle{BAC}<90^\circ$. Тогда, поскольку $\angle{BAC}=\angle{KMB}$, угол $\angle{KMB}$ также является острым. По теореме о сумме смежных углов смежный с $\angle{KMB}$ угол $\angle{KMC}$ является тупым.

3. Проведем в треугольниках $\bigtriangleup{KMC}$ и $\bigtriangleup{ALK}$ высоты к сторонам $MC$ и $KA$. Угол $\angle{KMC}$ треугольника $\bigtriangleup{KMC}$ тупой, следовательно $\bigtriangleup{KMC}$ является тупоугольным. Высота в тупоугольном треугольнике проводится к продолжению стороны. Отметим полученные высоты как $KD$ и $LF$ соответственно.

4. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{LKF}$ и $\bigtriangleup{KDC}$. Они прямоугольные. Стороны $LK$ и $KC$ являются гипотенузами, при этом $\angle{LKF}=\angle{DCK}$ (соответственные при $KL\parallel{BC}$). Заключаем, что треугольники $\bigtriangleup{LKF}$ и $\bigtriangleup{KDC}$ равны (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу).

5. Тогда высоты $LF$ и $KD$ равны как катеты в соответствующих равных прямоугольных треугольниках. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ALF}$ и $\bigtriangleup{KDM}$. Они прямоугольные. В них катеты $LF=KD$ и по условию $\angle{LAF}=\angle{DMK}$. Треугольники равны (равенство по катету и острому углу).

6. Поскольку  $\bigtriangleup{ALF}$ и $\bigtriangleup{KDM}$ равны, гипотенузы $AL$ и $KM$ также равны. Что и требовалось доказать.

Признак равенства по гипотенузе и катету

Методом наложения также можно доказать признак равенства по гипотенузе и катету:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.  

Доказательство

Рассмотрим прямоугольные треугольники (чертеж дан выше) $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ с равными гипотенузами $BC=MF$ и катетами $AC=DF$. Докажем, что $\bigtriangleup{ABC}= \bigtriangleup{DMF}$.

Наложим треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ друг на друга. Они прямоугольные, поэтому вершины $A$ и $D$ находятся в одной точке, а катеты $AB$, $AC$ и $DM$, $DF$ будут располагаться на одних прямых соответственно. Так как по условию $AC=DF$, вершины $C$ и $F$ совместятся.

Положим, что при этом вершины $B$ и $M$ не совместились и находятся в разных точках. Рассмотрим $\bigtriangleup{BMC}$. По условию гипотенузы $BC$ и $MF$ равны. Значит, $BC=MC$ и $\bigtriangleup{BMC}$ равнобедренный. Однако $\angle{MBC}$ тупой (как внешний при вершине $B$).

В равнобедренном треугольнике при основании двух тупых углов быть не может. Следовательно вершины $B$ и $M$ также совместятся. Треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{DMF}$ равны. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"[[speech-1]]<br><br>Существует четыре признака равенства прямоугольных треугольников. В отличие от ранее изученных нами признаков равенства, когда равенство доказывается под прямоугольные треугольники, достаточно двух элементов, не трех. Выберите из ниже предложенного все истинные признаки, на основе которых можно <b><i>однозначно</i></b> заключать равенство прямоугольных треугольников. [[choice-8]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Пора подводить итоги!"},"choice-8":{"type":"choice","options":["По двум катетам.","По катету и острому углу.","По гипотенузе и острому углу.","По гипотенузе и катету.","По острому и прямому углам.","По гипотенузе.","По катетам.","По острым углам."],"answer":[0,1,2,3]}}}]}