Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Теоремы, обратные признакам параллельности

Содержание

Настало время разобрать теоремы, обратные признакам параллельности. Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, и образованные секущей внутренние накрест лежащие углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$. Если известно, что прямые параллельны ($a\parallel{b}$), возможно ли сделать заключение, что углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$ при этом равны?

Признаки параллельности все-таки «используются» в другую сторону: словом, нам известны признаки, на основе которых доказывается параллельность прямых. Давайте проверим, есть ли основания применять признаки не на посылке равенства или суммы углов, а на посылке параллельности.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $\angle{1}\neq{\angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$. Рассмотрим $\angle{PAB}$. Если $\angle{1}\neq{\angle{2}},$ положим, что тогда $\angle{PAB}=\angle{1}$.

$\angle{PAB}$ и $\angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $d\parallel{b}$. Мы пришли к противоречию, поскольку через точку $A$ тогда будет проходит две параллельные прямые.

Следовательно накрест лежащие $\angle1$ и $\angle2$ равны. Теорема доказана.

Не забываем про внешние накрест лежащие углы!

Скрыть текст

Вновь тот же самый вопрос, что мы разбирали под признаки параллельности: накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается под углы внутренние, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

Опять же, равенство $\angle{3}$ и $\angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $\angle{1}=\angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство  $\angle{3}=\angle{4}$.

Теорема о соответственных углах

Теорема о соответственных углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Образованные при этом углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$ будут равны как накрест лежащие. Рассмотрим $\angle{3}$: он вертикальный с $\angle{2}$, следовательно равный ему. Поскольку $\angle{1}=\angle{2}$, а $\angle{2}=\angle{3}$, соответственные углы $\angle{1}$ и $\angle{3}$ будут равны. Теорема о соответственных углах доказана.

Задача. Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $\angle{A}=107^\circ$, $\angle{B}=73^\circ$, а $\angle{C}=92^\circ$. Чему равняется $\angle{x}$?

Дано:

$a$, $b$, $c$, $d$
$\angle{A}=107^\circ$
$\angle{B}=73^\circ$
$\angle{C}=92^\circ$

Найти:

$\angle{x}$ — ?

Решение. Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $\angle{D}$. Он смежный с $\angle{A}$, откуда получаем:

$$\angle{D}=180^\circ-107^\circ=73^\circ$$

Углы $\angle{D}$ и $\angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно $a\parallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $\angle{C}$ и $\angle{x}$ тоже равны.

Ответ: $\angle{x}=92^\circ$.

Теорема о сумме односторонних углов

Теорема о сумме односторонних углов. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Предположим, что образованные при этом углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$ в сумме дают $180^\circ$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, соответственные углы $\angle{1}$ и $\angle{3}$ будут равны. Углы $\angle{2}$ и $\angle{3}$ смежные, поэтому $\angle{2}+\angle{3}=180^\circ$.

При условии, что $\angle{1}=\angle{3}$, получаем:

$$\angle{1}+\angle{2}=180^\circ$$

Сумма односторонних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равна $180^\circ$. Теорема доказана.

Не забываем про внешние односторонние углы!

Скрыть текст

Сумма внешних односторонних углов также равняется $180^\circ$, поскольку они являются смежными к внутренним односторонним. У нас — две пары смежных углов, одна из которых в сумме дает $180^\circ$. Как видите, теоремы, обратные признакам параллельности, в доказательстве ведут себя как и признаки параллельности.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$. Рассмотрим углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$. По условию $\angle{1}=90^\circ$. Значит, заключаем, что $\angle{2}$ также равняется $90^\circ$. Следовательно секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

Учтите, что это следствие мы привязали к теореме о сумме односторонних углов лишь «для красоты», в стиле: «Пусть будет логичная завершающая точка». Это следствие можно вывести из любой теоремы выше.

Комментарий: необходимость и достаточность

А вот, теперь мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^\circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

Главный вывод: параллельность необходима и достаточна, чтобы заключить о равенстве накрест лежащих или соответственных углов, а также о сумме односторонних углов. В обратную сторону — то же самое!

Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.  

Решим задачу

Задача повышенного уровня сложности. Попробуйте решить сами. Все непременно получится!

Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела. Известно, что ${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $\angle{ABC}$ равняется сумме углов $\angle{A_{1}AB}$ и $\angle{C_{1}CB}?$

Показать решение

Спрятать решение

Дано:

$\angle{ABC}$, $\angle{A_{1}AB}$, $\angle{C_{1}CB}$
${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$

Решение

Найти:

$\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$

Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $\angle{C_{1}CB}$ и $\angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно равные. Аналогично: $\angle{A_{1}AB}=\angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

Угол $\angle{A_{2}BC_2}$ следовательно равен сумме углов $\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Также угол $\angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $\angle{ABC}$ как вертикальный.

Откуда получаем, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

Если вы решали через сумму односторонних углов и накрест лежащие углы, решение могло получиться объемнее. Но какая разница. Главное, что правильно.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Проверим знания по теме?

Пройти тест

Оценить урок

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии
Автор

Элизабет Митчелл

Когнитивный лингвист и автор научно-популярного контента.

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ