0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Теоремы, обратные признакам параллельности

Содержание

    Настало время разобрать теоремы, обратные признакам параллельности. Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, и образованные секущей внутренние накрест лежащие углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$. Если известно, что прямые параллельны ($a\parallel{b}$), возможно ли сделать заключение, что углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$ при этом равны?

    Признаки параллельности все-таки «используются» в другую сторону: словом, нам известны признаки, на основе которых доказывается параллельность прямых. Давайте проверим, есть ли основания применять признаки не на посылке равенства или суммы углов, а на посылке параллельности.

    Теорема о накрест лежащих углах

    Теорема о накрест лежащих углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

    Доказательство

    Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $\angle{1}\neq{\angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

    Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$. Рассмотрим $\angle{PAB}$. Если $\angle{1}\neq{\angle{2}},$ положим, что тогда $\angle{PAB}=\angle{1}$.

    $\angle{PAB}$ и $\angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $d\parallel{b}$. Мы пришли к противоречию, поскольку через точку $A$ тогда будет проходит две параллельные прямые.

    Следовательно накрест лежащие $\angle1$ и $\angle2$ равны. Теорема доказана.

    Не забываем про внешние накрест лежащие углы!

    Скрыть текст

    Вновь тот же самый вопрос, что мы разбирали под признаки параллельности: накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается под углы внутренние, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

    Опять же, равенство $\angle{3}$ и $\angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $\angle{1}=\angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство  $\angle{3}=\angle{4}$.

    Теорема о соответственных углах

    Теорема о соответственных углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

    Доказательство

    Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Образованные при этом углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$ будут равны как накрест лежащие. Рассмотрим $\angle{3}$: он вертикальный с $\angle{2}$, следовательно равный ему. Поскольку $\angle{1}=\angle{2}$, а $\angle{2}=\angle{3}$, соответственные углы $\angle{1}$ и $\angle{3}$ будут равны. Теорема о соответственных углах доказана.

    Задача. Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $\angle{A}=107^\circ$, $\angle{B}=73^\circ$, а $\angle{C}=92^\circ$. Чему равняется $\angle{x}$?

    Дано:

    $a$, $b$, $c$, $d$
    $\angle{A}=107^\circ$
    $\angle{B}=73^\circ$
    $\angle{C}=92^\circ$

    Найти:

    $\angle{x}$ — ?

    Решение. Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $\angle{D}$. Он смежный с $\angle{A}$, откуда получаем:

    $$\angle{D}=180^\circ-107^\circ=73^\circ$$

    Углы $\angle{D}$ и $\angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно $a\parallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $\angle{C}$ и $\angle{x}$ тоже равны.

    Ответ: $\angle{x}=92^\circ$.

    Теорема о сумме односторонних углов

    Теорема о сумме односторонних углов. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$.

    Доказательство

    Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Предположим, что образованные при этом углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$ в сумме дают $180^\circ$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, соответственные углы $\angle{1}$ и $\angle{3}$ будут равны. Углы $\angle{2}$ и $\angle{3}$ смежные, поэтому $\angle{2}+\angle{3}=180^\circ$.

    При условии, что $\angle{1}=\angle{3}$, получаем:

    $$\angle{1}+\angle{2}=180^\circ$$

    Сумма односторонних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равна $180^\circ$. Теорема доказана.

    Не забываем про внешние односторонние углы!

    Скрыть текст

    Сумма внешних односторонних углов также равняется $180^\circ$, поскольку они являются смежными к внутренним односторонним. У нас — две пары смежных углов, одна из которых в сумме дает $180^\circ$. Как видите, теоремы, обратные признакам параллельности, в доказательстве ведут себя как и признаки параллельности.

    Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

    Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

    Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

    Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$. Рассмотрим углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$. По условию $\angle{1}=90^\circ$. Значит, заключаем, что $\angle{2}$ также равняется $90^\circ$. Следовательно секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

    Следствие из теоремы о сумме односторонних углов. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

    Учтите, что это следствие мы привязали к теореме о сумме односторонних углов лишь «для красоты», в стиле: «Пусть будет логичная завершающая точка». Это следствие можно вывести из любой теоремы выше.

    Комментарий: необходимость и достаточность

    А вот, теперь мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^\circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

    Главный вывод: параллельность необходима и достаточна, чтобы заключить о равенстве накрест лежащих или соответственных углов, а также о сумме односторонних углов. В обратную сторону — то же самое!

    Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.  

    Решим задачу

    Задача повышенного уровня сложности. Попробуйте решить сами. Все непременно получится!

    Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела. Известно, что ${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $\angle{ABC}$ равняется сумме углов $\angle{A_{1}AB}$ и $\angle{C_{1}CB}?$

    Показать решение

    Спрятать решение

    Дано:

    $\angle{ABC}$, $\angle{A_{1}AB}$, $\angle{C_{1}CB}$
    ${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$

    Решение

    Найти:

    $\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$

    Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

    Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $\angle{C_{1}CB}$ и $\angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно равные. Аналогично: $\angle{A_{1}AB}=\angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

    Угол $\angle{A_{2}BC_2}$ следовательно равен сумме углов $\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Также угол $\angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $\angle{ABC}$ как вертикальный.

    Откуда получаем, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

    Если вы решали через сумму односторонних углов и накрест лежащие углы, решение могло получиться объемнее. Но какая разница. Главное, что правильно.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение