Теоремы, обратные признакам параллельности

Настало время разобрать теоремы, обратные признакам параллельности. Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, и образованные секущей внутренние накрест лежащие углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$. Если известно, что прямые параллельны ($a\parallel{b}$), возможно ли сделать заключение, что углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$ при этом равны?

Признаки параллельности все-таки «используются» в другую сторону: словом, нам известны признаки, на основе которых доказывается параллельность прямых. Давайте проверим, есть ли основания применять признаки не на посылке равенства или суммы углов, а на посылке параллельности.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $\angle{1}\neq{\angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$. Рассмотрим $\angle{PAB}$. Если $\angle{1}\neq{\angle{2}},$ положим, что тогда $\angle{PAB}=\angle{1}$.

$\angle{PAB}$ и $\angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $d\parallel{b}$. Мы пришли к противоречию, поскольку через точку $A$ тогда будет проходит две параллельные прямые.

Следовательно накрест лежащие $\angle1$ и $\angle2$ равны. Теорема доказана.

Не забываем про внешние накрест лежащие углы!

Скрыть текст

Вновь тот же самый вопрос, что мы разбирали под признаки параллельности: накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается под углы внутренние, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

Опять же, равенство $\angle{3}$ и $\angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $\angle{1}=\angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство  $\angle{3}=\angle{4}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Прямые $a$ и $b$ при секущей $c$ параллельны. Известна величина угла $\\angle{1}$ — $140^\\circ$. Чему равняется $\\angle{3}$? [[input-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/test-1.svg","width":"400"},"input-6":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"40"}},"step":1,"hints":["Углы $\\angle{1}$ и $\\angle{2}$ смежные. Следовательно $\\angle{1}+\\angle{2}=180^\\circ$.","$\\angle{1}=140^\\circ$. Тогда $\\angle{2}=40^\\circ$.","$\\angle{2}$ и $\\angle{3}$ — внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Они равны."]}]}

Теорема о соответственных углах

Теорема о соответственных углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

Задача. Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $\angle{A}=107^\circ$, $\angle{B}=73^\circ$, а $\angle{C}=92^\circ$. Чему равняется $\angle{x}$?

Решение. Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $\angle{D}$. Он смежный с $\angle{A}$, откуда получаем:

$$\angle{D}=180^\circ-107^\circ=73^\circ$$

Углы $\angle{D}$ и $\angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно $a\parallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $\angle{C}$ и $\angle{x}$ тоже равны.

Ответ: $\angle{x}=92^\circ$.

Теорема о сумме односторонних углов

Теорема о сумме односторонних углов. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$.

Не забываем про внешние односторонние углы!

Скрыть текст

{"questions":[{"content":"Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна $40^\\circ$. Чему равняются углы?[[input-1]][[input-6]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":["110","70"]},"input-6":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":["110","70"]}},"step":1,"hints":["С одной стороны, есть разность: $\\angle{1}-\\angle{2}=40^\\circ$.","С другой стороны, есть сумма: $\\angle{1}+\\angle{2}=180^\\circ$.","Складывая эти два уравнения, получаем: $2*\\angle{1}=220^\\circ$.","Откуда находим значение $\\angle{1}=110^\\circ$.","Значение $\\angle{2}$ соответственно равняется $70^\\circ$."]}]}

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$. Рассмотрим углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$. По условию $\angle{1}=90^\circ$. Значит, заключаем, что $\angle{2}$ также равняется $90^\circ$. Следовательно секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

Учтите, что это следствие мы привязали к теореме о сумме односторонних углов лишь «для красоты», в стиле: «Пусть будет логичная завершающая точка». Это следствие можно вывести из любой теоремы выше.

Комментарий: необходимость и достаточность

А вот, теперь мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^\circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.  

Решим задачу

Задача повышенного уровня сложности. Попробуйте решить сами. Все непременно получится!

Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела. Известно, что ${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $\angle{ABC}$ равняется сумме углов $\angle{A_{1}AB}$ и $\angle{C_{1}CB}?$

Показать решение

Спрятать решение

Дано:

$\angle{ABC}$, $\angle{A_{1}AB}$, $\angle{C_{1}CB}$
${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$

Решение

Найти:

$\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$

Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $\angle{C_{1}CB}$ и $\angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно равные. Аналогично: $\angle{A_{1}AB}=\angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

Угол $\angle{A_{2}BC_2}$ следовательно равен сумме углов $\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Также угол $\angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $\angle{ABC}$ как вертикальный.

Откуда получаем, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

Если вы решали через сумму односторонних углов и накрест лежащие углы, решение могло получиться объемнее. Но какая разница. Главное, что правильно.