Теоремы, обратные признакам параллельности

Обновленный урок по теме: «Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых»

В предыдущих уроках мы узнали, по каким признакам можно доказать, что две прямые параллельны. Но возникает обратный вопрос: если мы уже знаем, что прямые параллельны, что тогда можно сказать об углах, которые образует секущая?

Сегодня мы рассмотрим теоремы, обратные признакам параллельности, и выясним, какие свойства имеют накрест лежащие, соответственные и односторонние углы при параллельных прямых.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах:
Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Скрыть

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $\angle{1}\neq{\angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$ так, чтобы $\angle{PAB}$ был равен $\angle{1}$ и эти углы были накрест лежащими при прямых $d$, $b$ и секущей $c$.

$\angle{PAB}$ и $\angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $d\parallel{b}$. Прямая $d$ не совпадает с прямой $a$, так как $\angle{PAB}=\angle{1}\neq\angle{2}$. Значит, через точку $A$ проходят две разные прямые $a$ и $d$, параллельные прямой $b$, — это противоречит аксиоме параллельности.

Следовательно, накрест лежащие $\angle1$ и $\angle2$ равны. Теорема доказана.

Не забывайте, что накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается для внутренних углов, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

Опять же, равенство $\angle{3}$ и $\angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $\angle{1}=\angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство  $\angle{3}=\angle{4}$.

{"questions":[{"content":"Прямые $a$ и $b$ при секущей $c$ параллельны. Известна величина угла $\\angle{1}$ — $140^\\circ$. Чему равняется $\\angle{3}$? [[image-1]] [[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/test-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$40^\\circ$","$60^\\circ$","$30^\\circ$","$50^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Углы $\\angle{1}$ и $\\angle{2}$ смежные. Следовательно, $\\angle{1}+\\angle{2}=180^\\circ$.","$\\angle{1}=140^\\circ$. Тогда $\\angle{2}=40^\\circ$.","$\\angle{2}$ и $\\angle{3}$ — внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Они равны."]}]}

Теорема о соответственных углах

Теорема о соответственных углах:
Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

Доказательство

Скрыть

задача

Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $\angle{A}=107^\circ$, $\angle{B}=73^\circ$, а $\angle{C}=92^\circ$. Чему равняется $\angle{x}$?

Показать решение

Скрыть

Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $\angle{D}$. Он смежный с $\angle{A}$, откуда получаем: $$\angle{D}=180^\circ-107^\circ=73^\circ.$$

Углы $\angle{D}$ и $\angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно, $a\parallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $\angle{C}$ и $\angle{x}$ тоже равны.

Ответ: $\angle{x}=92^\circ$.

{"questions":[{"content":"Параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Углы $\\alpha$ и $\\beta$ являются соответственными. Известно, что $\\alpha=68^\\circ$. Чему равен угол $\\beta$?<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$68^\\circ$","$112^\\circ$","$22^\\circ$","$136^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Прямые $a$ и $b$ параллельны, а углы $\\alpha$ и $\\beta$ являются соответственными.","По теореме о соответственных углах они равны, поэтому $\\beta=\\alpha=68^\\circ$."]}]}

Теорема о сумме односторонних углов

Теорема о сумме односторонних углов:
Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$.

Доказательство

Скрыть

Сумма внешних односторонних углов также равняется $180^\circ$, поскольку они являются смежными к внутренним односторонним. У нас — две пары смежных углов, одна из которых в сумме дает $180^\circ$. Как видите, теоремы, обратные признакам параллельности, в доказательстве ведут себя как и признаки параллельности.

{"questions":[{"content":"Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна $40^\\circ$. Чему равняются углы?[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$70^\\circ$ и $110^\\circ$","$50^\\circ$ и $130^\\circ$","$80^\\circ$ и $100^\\circ$","$40^\\circ$ и $140^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["С одной стороны, есть разность: $\\angle{1}-\\angle{2}=40^\\circ$.","С другой стороны, есть сумма: $\\angle{1}+\\angle{2}=180^\\circ$.","Складывая эти два уравнения, получаем: $2*\\angle{1}=220^\\circ$, откуда $\\angle{1}=110^\\circ$.","Значение $\\angle{2}$ соответственно равняется $70^\\circ$."]}]}

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^\circ$. Рассмотрим углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$. По условию $\angle{1}=90^\circ$. Значит, заключаем, что $\angle{2}$ также равняется $90^\circ$. Следовательно, секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов:
Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

{"questions":[{"content":"Параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Лучи $m$ и $n$ — биссектрисы внутренних односторонних углов. Чему равен угол между лучами $m$ и $n$? [[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$90^\\circ$","$60^\\circ$","$120^\\circ$","$30^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"Обозначим внутренние односторонние углы через $\\alpha$ и $\\beta$. Тогда $\\alpha+\\beta=180^\\circ$. Угол между их биссектрисами равен $\\frac{\\alpha}{2}+\\frac{\\beta}{2}=\\frac{180^\\circ}{2}=90^\\circ$. Следовательно, биссектрисы перпендикулярны.","hints":["Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\\circ$.","Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между ними равен $\\frac{180^\\circ}{2}=90^\\circ$."]}]}

Необходимость и достаточность

Мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^\circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

Главный вывод: параллельность необходима и достаточна, чтобы заключить о равенстве накрест лежащих или соответственных углов, а также о сумме односторонних углов. В обратную сторону — то же самое!

Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.  

задача

Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела.

Известно, что ${AA_1\parallel{BB_1}}\parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $\angle{ABC}$ равняется сумме углов $\angle{A_{1}AB}$ и $\angle{C_{1}CB}?$

Показать решение

Скрыть

Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $\angle{C_{1}CB}$ и $\angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно, равные. Аналогично: $\angle{A_{1}AB}=\angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

Угол $\angle{A_{2}BC_2}$, следовательно, равен сумме углов $\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Также угол $\angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $\angle{ABC}$ как вертикальный.

Откуда получаем, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}AB}+\angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

Часто задаваемые вопросы