0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Необходимые и достаточные условия

Содержание

    Необходимые и достаточные условия? Серьезно? Понимаем, материал дополнительный, однако Образавр настоятельно рекомендует разобраться в вопросе. Будет интересно.

    Интересное обстоятельство: все признаки параллельности прямых, доказанные нами в прошлом уроке, — необходимые и достаточные условия параллельности. Если изъясняться простым языком, это означает, что в обратном порядке признаки тоже будут работать — для каждого признака существует истинная обратная теорема.

    О том, что понимается под обратной теоремой, мы писали ранее. Советуем информацию освежить. Единственное, что мы намеренно упустили в изложении, — понятия о необходимости и достаточности.

    Наборы переменных импликации

    Чтобы понять, что такое необходимость и достаточность, стоит обратиться к классическому примеру из логики о сырости и дожде. Пусть имеются два утверждения: $A$ — идет дождь, $B$ — сыро на улице. Составим для утверждений импликацию $A\Rightarrow{B}$ — «если идет дождь, то на улице сыро».

    Наши утверждения могут быть как истинными, так и нет. Дождь идет или не идет, на улице сыро или сухо. Причем в разных комбинациях.

    $A\Rightarrow{B}$,

    где $A$ и $B$ — истина

    В истинности импликации при условии, что оба утверждения — истина, мы даже не сомневаемся. Действительно, если идет дождь, то на улице сыро. Без сомнений.

    $A\Rightarrow{B}$,

    где $A$ — истина, а $B$ — ложь

    Получается, «если идет дождь, то на улице не сыро». Выходит, дождь льется, а асфальт при этом сухой? Делаем вывод, что импликация при таких условиях ложная.

    $A\Rightarrow{B}$,

    где $A$ — ложь

    Самое удивительное начинается, когда условие импликации, то есть утверждение $A$, принимается за ложь. У нас есть два варианта: $A$ — ложь, $B$ — истина («если дождь не идет, на улице сыро») или $A$ — ложь, $B$ — ложь («если дождь не идет, на улице не сыро»).

    Если дождя нет, на улице может быть как сыро, так и не сыро. Сыро, к примеру, поскольку растаял снег. С другой стороны, нет дождя — нет сырости. Обе импликации — истина. Но как это вообще объясняет, что такое необходимость и достаточность?

    Таблица истинности импликации

    Мы уже в шаге от понимания. Давайте наши выводы о сырости и дожде компактно «соберем» в таблицу истинности, состоящую из всех перечисленных нами наборов логических переменных. Утверждения (логические переменные, они же $A$ и $B$), как вы уже поняли, являются бинарными, то есть принимают только два значения: ложь и истина. Цифрами удобно обозначить такое как «0» и «1» соответственно.   

    $A$$B$$A\Rightarrow{B}$Текстовый вариант
    001«Если дождь не идет, на улице не сыро», — это правда.
    011«Если дождь не идет, на улице сыро», — это правда.
    100«Если дождь идет, на улице не сыро», — это ложь.
    1*1/1«Если дождь идет, на улице сыро», — это правда.

    Достаточность

    $A$$B$$A\Rightarrow{B}$Текстовый вариант
    100«Если дождь идет, на улице не сыро».
    1/1/1«Если дождь идет, на улице сыро».
    Приводим отдельно часть, где $A$ — истина

    Что мы видим? Что импликация $A\Rightarrow{B}$ может быть ложной только в случае, если ее посылка ($A$) — истина, а следствие ($B$) — ложь. Следовательно если импликация истинна, то истинность утверждения $A$ является достаточной для истинности $B$.

    Иными словами, зная, что утверждение $A$ — истина, нам не нужно проверять истинность $B$. Еще проще: истинность $A$ гарантирует истинность $B$ в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$.

    Достаточность —  условия, при соблюдении которых следствие импликации является истиной.  

    Необходимость

    В ситуации с достаточностью нам было известно, что в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ утверждение $A$ истинно, и этого хватило, чтобы сразу «заверить» истинность $B$. Но что если ситуация переворачивается и в качестве исходных данных мы имеем истинность $B$, а не истинность $A$?

    $A$$B$$A\Rightarrow{B}$Текстовый вариант
    001«Если дождь не идет, на улице не сыро», — это правда.
    011«Если дождь не идет, на улице сыро», — это правда.
    100«Если дождь идет, на улице не сыро», — это ложь.
    1/1/1«Если дождь идет, на улице сыро», — это правда.

    В таком случае истинность $B$ будет являться необходимым условием для истинности $A$. Почему? Ложность $B$ приводит нас либо к ложности всей импликации (третья строка таблицы), что заведомо неверно, либо к ложности $A$ (первая строка таблицы).

    Поэтому и говорят, что истинность $B$ необходима для последующего заключения об истинности $A,$ — не будет истинности $B$, однозначно не будет истинности $A$.

    В самом слове «необходимость» уже заложен смысл, что заключения наши будут носить промежуточный характер. Вот, скажите, необходимо ли для осознанного чтения на иностранном языке понимать устройство грамматики? Безусловно необходимо. И… все? Разве этого хватит, чтобы брать в руки любую книгу?

    Необходимый — значит, такой, без которого нельзя обойтись. Обязательный. Но при этом не гарантирующий, не обещающий однозначного исхода.

    Увидеть эту особенность необходимого условия можно во второй и четвертой строках таблицы истинности. Да, необходимо, чтобы $B$ являлось истиной для заключения истинности $A$, но всегда остается вариант, при котором $A$ будет ложью, $B$ — истиной, а импликация $A\Rightarrow{B}$ — истиной. Дождь не идет, а на улице сыро, верно?

    Необходимость —  условия, без соблюдения которых невозможно заключить об истинности посылки импликации.

    🐘 Здесь вопрос на миллион!

    Скрыть текст

    У некоторых животных есть хоботы. Наличие хобота — это достаточное или необходимое условие, чтобы заключить о том, что животное — слон? Варианты ждем в комментариях к уроку.

    Необходимость и достаточность в геометрии

    Итого, что такое необходимость и достаточность? Все просто: в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ истинность $A$ является достаточным условием истинности $B$, а истинность $B$ является необходимым условием истинности $A$.

    В геометрии достаточное условие определяется понятием «признак», а необходимое условие — понятием «свойство»: «признак равенства треугольников», «свойство смежных углов» и прочее.

    Какие-то условия обладают только достаточностью, какие-то задают только необходимость. Вообще, необходимость и достаточность — это инструмент, позволяющий описывать «охват» условий теорем. Так что стоит быть начеку: не всякое условие теоремы универсально охватывает весь набор применимых к теореме геометрических парадигм.

    Достаточность не гарантирует, что условие в том числе необходимо. И наоборот.  

    Пример: вертикальные углы

    Свойство вертикальных углов гласит, что вертикальные углы равны.

    В логическом прочтении: «если углы вертикальные, то они равны», $A\Rightarrow{B}$, где $A$ — вертикальность углов, $B$ — равенство углов.

    Вертикальность углов — достаточное условие, чтобы сделать однозначный вывод о равенстве углов; равенство углов — необходимое условие, чтобы вообще говорить о вертикальности.

    Является ли вертикальность углов также необходимым условием для равенства углов? А является ли равенство углов достаточным условием, чтобы заключать об их вертикальности?

    • Если бы вертикальность была еще и необходимым условием равенства, то любые равные углы обязаны быть вертикальными. На языке логики: «Для того, чтобы углы были равны, необходимо, чтобы они были вертикальными». Следовательно вертикальность для равенства углов достаточна, но не необходима.
    • Если бы равенство углов было достаточным условием вертикальности, то всякое равенство углов позволяло бы однозначно заключать о том, что эти углы вертикальны. На языке логики: «Равенства углов достаточно, чтобы углы являлись вертикальными». Следовательно равенство углов — необходимое, но не достаточное условие вертикальности.

    Вот, равные углы на плоскости. И они ни разу не вертикальные. Однако по градусному значению равные.

    Равнозначность

    Условия теоремы о равенстве вертикальных углов ограничены и не позволяют охватывать все возможные случаи, связанные с равенством углов. Конечно, существуют условия, которые, напротив, «объемны». Их называют необходимыми и достаточными.

    Когда $A$ является и необходимым, и достаточным условием для $B$, импликация $A\Rightarrow{B}$ всегда будет верна и в обратную сторону — $B\Rightarrow{A}$. Тогда утверждения $A$ и $B$ называют равнозначными, а их зависимость грамотнее будет выражать не через импликацию, а через эквивалентность:

    $${A}\Leftrightarrow{B}$$

    Таблица истинности эквивалентности при этом «избавляется» от обременительной связки импликации «$A$ — ложь, $B$ — истина, $A\Rightarrow{B}$ — истина», которая и ограничивает условия только достаточностью или только необходимостью.

    Составим такую таблицу для теоремы о равнобедренном треугольнике, где $A$ — равенство двух углов треугольника, $B$ — равнобедренность треугольника:

    $A$$B$${A}\Leftrightarrow{B}$Текстовый вариант
    001Если два угла треугольника не равны, то он не равнобедренный.
    1/1/1Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
    010Если два угла треугольника не равны, то он равнобедренный.
    100Если два угла треугольника равны, то он не равнобедренный.

    Что такое теорема о равнобедренном треугольнике?

    Свернуть текст

    Напомним: «Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный».

    Равенство двух углов в треугольнике необходимо и достаточно, чтобы он являлся равнобедренным, ибо не существует треугольников, в котором бы было равно два угла, но он при этом был не равнобедренным. Поэтому теорема о равнобедренном треугольнике «работает» в обе стороны, а, например, теорема о вертикальности — нет.

    Необходимое и достаточное условие в математике называется критерием. В школьном курсе ограничиваются исключительно свойствами и признаками. Проще говорить о «признаках параллельности», чем о «критериях параллельности» и добавлять в программу обязательную лекцию о достаточности и необходимости.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение