Необходимые и достаточные условия

Обновленный урок по теме: «Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых»

Все признаки параллельности прямых, доказанные нами в прошлом уроке, — необходимые и достаточные условия параллельности. Если изъясняться простым языком, это означает, что в обратном порядке признаки тоже будут работать — для каждого признака существует истинная обратная теорема.

Сегодня мы поговорим о необходимости и достаточности в геометрии.

Наборы переменных импликации

Чтобы понять, что такое необходимость и достаточность, стоит обратиться к классическому примеру из логики о сырости и дожде.

Пусть имеются два утверждения: $A$ — идет дождь, $B$ — сыро на улице. Составим для утверждений импликацию $A\Rightarrow{B}$ — «если идет дождь, то на улице сыро».

Наши утверждения могут быть как истинными, так и нет. Дождь идет или не идет, на улице сыро или сухо. Причем в разных комбинациях.

Если дождя нет, на улице может быть как сыро, так и не сыро. Сыро, к примеру, поскольку растаял снег. С другой стороны, нет дождя — нет сырости. Обе импликации — истина. Но как это вообще объясняет, что такое необходимость и достаточность?

Таблица истинности импликации

Мы уже в шаге от понимания. Давайте наши выводы о сырости и дожде компактно «соберем» в таблицу истинности, состоящую из всех перечисленных нами наборов логических переменных. Утверждения (логические переменные, они же $A$ и $B$), как вы уже поняли, являются бинарными, то есть принимают только два значения: ложь и истина. Цифрами удобно обозначить такое как «0» и «1» соответственно.   

Достаточность

Что мы видим? Что импликация $A\Rightarrow{B}$ может быть ложной только в случае, если ее посылка ($A$) — истина, а следствие ($B$) — ложь. Следовательно, если импликация истинна, то истинность утверждения $A$ является достаточной для истинности $B$.

Иными словами, зная, что утверждение $A$ — истина, нам не нужно проверять истинность $B$. Еще проще: истинность $A$ гарантирует истинность $B$ в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$.

Достаточность —  условия, при соблюдении которых следствие импликации является истиной.  

Необходимость

В ситуации с достаточностью нам было известно, что в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ утверждение $A$ истинно, и этого хватило, чтобы сразу «заверить» истинность $B$. Но что, если ситуация переворачивается и в качестве исходных данных мы имеем истинность $B$, а не истинность $A$?

В таком случае истинность $B$ будет являться необходимым условием для истинности $A$. Почему? Ложность $B$ приводит нас либо к ложности всей импликации (третья строка таблицы), что заведомо неверно, либо к ложности $A$ (первая строка таблицы).

Поэтому и говорят, что истинность $B$ необходима для последующего заключения об истинности $A,$ — не будет истинности $B$, однозначно не будет истинности $A$. Необходимый — значит, такой, без которого нельзя обойтись. Обязательный. Но при этом не гарантирующий, не обещающий однозначного исхода.

Увидеть эту особенность необходимого условия можно во второй и четвертой строках таблицы истинности. Да, необходимо, чтобы $B$ являлось истиной для заключения истинности $A$, но всегда остается вариант, при котором $A$ будет ложью, $B$ — истиной, а импликация $A\Rightarrow{B}$ — истиной. Дождь не идет, а на улице сыро, верно?

Необходимость —  условия, без соблюдения которых невозможно заключить об истинности посылки импликации.

Необходимость и достаточность в геометрии

Итого, что такое необходимость и достаточность? Все просто: в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ истинность $A$ является достаточным условием истинности $B$, а истинность $B$ является необходимым условием истинности $A$.

В геометрии достаточное условие определяется понятием «признак», а необходимое условие — понятием «свойство»: «признак равенства треугольников», «свойство смежных углов» и прочее.

Какие-то условия обладают только достаточностью, какие-то задают только необходимость. Вообще, необходимость и достаточность — это инструмент, позволяющий описывать «охват» условий теорем. Так что стоит быть начеку: не всякое условие теоремы универсально охватывает весь набор применимых к теореме геометрических парадигм.

Пример: вертикальные углы

Свойство вертикальных углов гласит, что вертикальные углы равны. Является ли вертикальность углов также необходимым условием для равенства углов? А является ли равенство углов достаточным условием, чтобы заключать об их вертикальности?

Показать решение

Скрыть

Равнозначность

Условия теоремы о равенстве вертикальных углов ограничены и не позволяют охватывать все возможные случаи, связанные с равенством углов. Конечно, существуют условия, которые, напротив, «объемны». Их называют необходимыми и достаточными.

Когда $A$ является и необходимым, и достаточным условием для $B$, импликация $A\Rightarrow{B}$ всегда будет верна и в обратную сторону — $B\Rightarrow{A}$. Тогда утверждения $A$ и $B$ называют равнозначными, а их зависимость грамотнее будет выражать не через импликацию, а через эквивалентность:

$${A}\Leftrightarrow{B}$$

Таблица истинности эквивалентности при этом «избавляется» от обременительной связки импликации «$A$ — ложь, $B$ — истина, $A\Rightarrow{B}$ — истина», которая и ограничивает условия только достаточностью или только необходимостью.

Составим такую таблицу для теоремы о равнобедренном треугольнике, где $A$ — равенство двух углов треугольника, $B$ — равнобедренность треугольника:

Теорема о равнобедренном треугольнике

Скрыть

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Равенство двух углов в треугольнике необходимо и достаточно, чтобы он являлся равнобедренным, ибо не существует треугольников, в которых было бы равно два угла, но при этом они не были бы равнобедренными. Поэтому теорема о равнобедренном треугольнике «работает» в обе стороны, а, например, теорема о вертикальности — нет.

Необходимое и достаточное условие в математике называется критерием. В школьном курсе ограничиваются исключительно свойствами и признаками. Проще говорить о «признаках параллельности», чем о «критериях параллельности» и добавлять в программу обязательную лекцию о достаточности и необходимости.

Часто задаваемые вопросы