Карточки
Тесты
Зави
Следствия из аксиомы параллельности
Мы уже знаем, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Но оказывается, из этой аксиомы можно получить несколько важных выводов, которые помогут нам решать геометрические задачи быстрее и увереннее.
Сегодня мы выясним, что происходит с прямыми, если они параллельны одной и той же прямой, и как связаны между собой прямые, пересекающие одну из двух параллельных прямых. Эти результаты называются следствиями из аксиомы параллельности.
Понятие следствия
Помимо аксиом и теорем в геометрии существуют следствия. Это утверждения, которые заключаются из доказанных теорем или принятых аксиом. Необходимы они, дабы помогать приводить более полную трактовку содержания понятий.
Только несмотря на то, что следствие в геометрии напрямую выводится из уже некоего существующего базиса, для него все равно требуется отдельное доказательство. Доказательство необходимо для проверки отсутствия противоречия между выводимым суждением и аксиомой-основой или теоремой-основой. Если возникает противоречие, это говорит о том, что следствие ошибочно.
Следствия — утверждения, выводимые из определений, аксиом и теорем.
Первое следствие из аксиомы параллельности
аксиома параллельности
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Из аксиомы параллельности обычно выводятся два значимых следствия, которые вкупе с теоремами о секущих будут формировать так называемые признаки параллельности прямых.
Первое следствие из аксиомы параллельности
Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
Проведем две прямые $a$ и $b$ таким образом, чтобы каждая была параллельна третьей прямой $c$.
Докажем, что $a$ и $b$ параллельны между собой, то есть что если $a\parallel{c}$ и вместе с тем $b\parallel{c},$ то $a\parallel{b}$.
Доказательство
Скрыть
Пойдем от противного и предположим, что $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке.
Если бы это действительно было так, то через точку пересечения можно было бы провести две прямые, параллельные $c,$ — напомним, по условию $a\parallel{c}$ и $b\parallel{c}$. Это противоречит аксиоме параллельности, ведь через одну точку невозможно провести две параллельные прямые. Значит, $a\parallel{b}$. Следствие доказано.
Алгоритм доказательства следующий: вначале вводится утверждение от противного, чтобы после привести его к противоречию с аксиомой, теоремой или определением. Если в ходе доказательства противоречия не обнаруживается — следствие ошибочно. Это стандартная процедура «обратного» доказательства, она ранее известна нам как доказательство от противного.
Доказательство от противного: импликация
Мы вновь возвращаемся к импликациям — они же следствия, они же связка «если одно, то другое». Здесь законы логики просты: из «если»-правды нельзя вывести «то»-ложь и получить истину.
Иными словами, можно сказать, что раз некоторое суждение $A$ истинно, то никак из него нельзя вывести противоречивое, ложное суждение $B$.
С толку сбивает, пожалуй, отрицание $A$, но в этом и заключается суть метода: пытаться доказывать не истинность $A$, а истинность $\bar{A}$. В логике частица «не» — отрицание — обозначается как ($\bar{A}$) или также с помощью инверсионного символа ($\neg{A}$).
Если за правду вы принимаете «суждение от противного» $\bar{A}$, то есть отрицание $A$, из этого суждения выводите ложное следствие $B$, то $\bar{A}$ — ложь. Вывод понятный, ведь, повторимся, из правды ложь не выводится. Из чего следует истинность $A$: раз не $\bar{A}$, тогда $A$. Третьего не дано.
задача
У маляра есть банки только с желтой и фиолетовой красками. Банки с желтой краской всегда большие. Есть маленькая банка с краской. Докажите, что краска в ней фиолетовая.
Показать решение
Скрыть
По условию $A$ — краска в банке фиолетовая, $\bar{A}$ — краска в банке желтая («не фиолетовая», отрицание $A$), $B$ — банка большая.
Допустим, $\bar{A}$ — истинное суждение: краска в банке-икс не фиолетовая, а желтая. По условию известно, что большой банка может быть, только если краска в ней желтая. Выходит, что «если $\bar{A}$, то $B$». Но это невозможно, поскольку заведомо также известно, что банка-икс маленькая.
Мы обнаружили противоречие, которое сообщает о том, что утверждение $\bar{A}$ в применении к банке-икс ложное. Следовательно утверждение $A$ — истина, что и требовалось доказать. Банка фиолетовая.
О противоречиях
Истинное следствие не должно противоречить аксиоме-основе.
Отрицание истинного следствия должно противоречить аксиоме-основе.
Второе следствие из аксиомы параллельности
Второе следствие из аксиомы параллельности
Прямая, пересекающая другую прямую, пересечет и параллельную другой прямую.
Пусть имеются прямые $a,$ $b$ и $c$ так, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $F$. Докажем, что прямая $c$ при продолжении также пересечет и прямую $b$ в некоторой точке.
Доказательство
Скрыть
Предположим, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$.
Тогда прямая $c$ является параллельной к прямой $b$, ведь не пересекаться прямые могут только при условии параллельности. Таким образом через точку $F$ проходят две параллельные к $b$ прямые, что противоречит аксиоме параллельности. Следовательно $c$, пересекая $a$, пересечет и $b$. Следствие доказано.
Часто задаваемые вопросы
Они параллельны друг другу.
Эта прямая пересечёт и вторую параллельную прямую.
Нет, не могут. По следствию из аксиомы параллельности $a\parallel{b}$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти