{"questions":[{"content":"Как формулируется первое следствие из аксиомы параллельности прямых? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.","Если две прямые пересечены третьей прямой, то они параллельны.","Если прямая не пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересекает другую.","Если две прямые не имеют общих точек с третьей прямой, то они совпадают."],"explanations":["Это формулировка первого следствия из аксиомы параллельности.","Сам факт пересечения двух прямых третьей прямой не доказывает их параллельность.","Прямая, параллельная одной из двух параллельных прямых, не пересекает ни одну из них.","Отсутствие общих точек с третьей прямой не означает совпадения прямых."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Первое следствие утверждает: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересекает и другую.","hints":["Рассмотрим две параллельные прямые и секущую, которая пересекла одну из них.","Если бы секущая не пересекала вторую прямую, через точку на секущей проходили бы две прямые, параллельные второй прямой."]},{"content":"Как формулируется второе следствие из аксиомы параллельности прямых? [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.","Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они пересекаются.","Если две прямые пересекают третью прямую, то они параллельны друг другу.","Если две прямые параллельны, то любая третья прямая параллельна им."],"explanations":["Это формулировка второго следствия из аксиомы параллельности.","Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.","Пересечение с одной и той же прямой не является достаточным условием параллельности.","Положение третьей прямой необходимо определять отдельно."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Если $a \\parallel c$ и $b \\parallel c$, то $a \\parallel b$. Иначе через точку пересечения $a$ и $b$ проходили бы две разные прямые, параллельные $c$.","hints":["Вспомним: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.","Если $a \\parallel c$ и $b \\parallel c$, то прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться."]},{"content":"Какие условия являются признаками параллельности двух прямых, пересеченных секущей? Выберите все подходящие утверждения. [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Накрест лежащие углы равны.","Соответственные углы равны.","Сумма односторонних углов равна $180^\\circ$.","Сумма вертикальных углов равна $180^\\circ$.","Смежные углы равны."],"explanations":["Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых.","Равенство соответственных углов является признаком параллельности прямых.","Сумма односторонних углов, равная $180^\\circ$, является признаком параллельности прямых.","Вертикальные углы равны при пересечении любых двух прямых, а их сумма не обязательно равна $180^\\circ$.","Смежные углы обычно не равны; их сумма равна $180^\\circ$."],"answer":[0,1,2]}},"step":1,"explanation":"Параллельность можно доказать по равенству накрест лежащих углов, равенству соответственных углов или сумме односторонних углов, равной $180^\\circ$.","hints":["Рассмотрим взаимное расположение внутренних углов при пересечении двух прямых секущей.","Используем три вида углов: накрест лежащие, соответственные и односторонние."]},{"content":"Секущая пересекает прямые $a$ и $b$. Накрест лежащие углы при этих прямых равны $68^\\circ$. Следовательно, прямые [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["параллельны","перпендикулярны","обязательно пересекаются","совпадают"],"answer":0}},"step":1,"explanation":"Равенство накрест лежащих углов позволяет применить признак параллельности прямых: $a \\parallel b$.","hints":["Рассмотрим признак параллельности, связанный с накрест лежащими углами.","Если накрест лежащие углы равны, то две прямые параллельны."]},{"instruction":"Найдите $x$","content":"Параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей. Величины двух односторонних углов равны $(3x+10)^\\circ$ и $(2x+20)^\\circ$. [[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$50^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"Сумма односторонних углов равна $180^\\circ$: $3x+10+2x+20=180$. Отсюда $5x=150$ и $x=30$.","hints":["Односторонние углы при параллельных прямых в сумме составляют $180^\\circ$.","Составим уравнение: $3x+10+2x+20=180$.","Получим $5x+30=180$, поэтому $x=30$."]},{"content":"Прямые $a$ и $b$ параллельны. Соответственные углы имеют величины $(4x-7)^\\circ$ и $(3x+18)^\\circ$. Найдите величину каждого из этих углов. [[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$93^\\circ$","$108^\\circ$","$83^\\circ$","$75^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"Из равенства соответственных углов следует $4x-7=3x+18$, поэтому $x=25$. Величина каждого угла равна $4\\cdot25-7=93^\\circ$.","hints":["Соответственные углы при параллельных прямых равны.","Составим уравнение: $4x-7=3x+18$.","Получим $x=25$. Подставим значение: $4\\cdot25-7=93$."]},{"content":"Секущая образовала с двумя прямыми пару односторонних углов. При каких величинах углов можно доказать, что прямые параллельны? [[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$112^\\circ$ и $68^\\circ$","$105^\\circ$ и $65^\\circ$","$90^\\circ$ и $80^\\circ$","$48^\\circ$ и $48^\\circ$"],"explanations":["Сумма углов равна $112^\\circ+68^\\circ=180^\\circ$, поэтому можно применить признак параллельности.","Сумма углов равна $170^\\circ$, что не соответствует признаку.","Сумма углов равна $170^\\circ$, что не соответствует признаку.","Равенство односторонних углов само по себе не является признаком параллельности; кроме того, их сумма равна $96^\\circ$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Углы $112^\\circ$ и $68^\\circ$ в сумме дают $180^\\circ$. По признаку параллельности прямые параллельны.","hints":["Для односторонних углов проверим сумму каждой пары.","Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна $180^\\circ$."]},{"instruction":"Установите соответствие","content":"Соотнесите условие и вывод или название применяемого утверждения. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Накрест лежащие углы равны","Соответственные углы равны","Сумма односторонних углов равна $180^\\circ$","$a \\parallel c$ и $b \\parallel c$","Прямая пересекает одну из двух параллельных прямых"],"items":["Признак параллельности по накрест лежащим углам","Признак параллельности по соответственным углам","Признак параллельности по односторонним углам","Прямые $a$ и $b$ параллельны","Прямая пересекает и вторую параллельную прямую"]}},"step":1,"explanation":"Три признака используют углы при секущей. Второе следствие позволяет установить параллельность двух прямых, параллельных третьей. Первое следствие описывает пересечение секущей с двумя параллельными прямыми.","hints":["Первые три условия связаны с признаками параллельности прямых.","Условие о двух прямых, параллельных третьей, связано со вторым следствием, а условие о пересечении — с первым следствием."]},{"content":"Два прямолинейных участка железной дороги $a$ и $b$ параллельны. Проселочная дорога $c$ пересекает участок $a$. Какой вывод обязательно следует из первого следствия из аксиомы параллельности? [[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Дорога $c$ пересекает и участок $b$.","Дорога $c$ параллельна участку $b$.","Дорога $c$ перпендикулярна обоим участкам.","Участки $a$ и $b$ пересекаются на дороге $c$."],"explanations":["Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.","Поскольку дорога пересекает участок $a$, она не может быть параллельна участку $b$, параллельному $a$.","Из условия нельзя определить угол пересечения.","Параллельные участки $a$ и $b$ не имеют общей точки."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $a \\parallel b$ и прямая $c$ пересекает $a$, по первому следствию она обязательно пересечет и $b$.","hints":["Заменим дороги геометрическими прямыми.","Применим следствие к прямой $c$, пересекающей одну из параллельных прямых."]}],"mix":1}
Карточки
Тесты
Зави
