Карточки
Тесты
Зави
Признаки параллельности прямых
Параллельные прямые. Секущая и признаки параллельности
В уроке «Параллельные прямые. Аксиома параллельности» вы узнали, какие прямые называют параллельными. Теперь разберем углы, которые две прямые образуют с третьей прямой — секущей, и докажем три признака параллельности.
Модель прежняя — калька: угол на ней можно сдвинуть или повернуть на пол-оборота, и он не изменится. А вопрос такой: как чертежник за несколько секунд проводит параллельные прямые, не продолжая их за край листа? Ответ — в последнем разделе.
Как убедиться, что прямые не пересекутся
Рельсы железной дороги уходят к горизонту и кажутся сходящимися в одну точку. На самом деле расстояние между ними везде одинаковое — 1520 мм, ширина колеи в России. Но прямая бесконечна, и проверить продолжением, что две прямые нигде не встретятся, нельзя: лист кончится раньше.
Определение
Параллельные прямые — две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Пишут: $a \parallel b$.
Параллельные отрезки (лучи) — отрезки (лучи), которые лежат на параллельных прямых.
Два отрезка могут не иметь общих точек, а их прямые — пересекаться. Поэтому о параллельности отрезков судят по их прямым.
Один способ доказать параллельность вы уже знаете из урока «Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой»: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Шпалы лежат поперек рельсов под прямым углом, и оба рельса перпендикулярны одной шпале — значит, не пересекутся.
А если третья прямая пересекает рельсы наискосок, как дорога на переезде? Ответ дают признаки параллельности.
Секущая, восемь углов и три вида пар
Определение
Секущая — прямая, которая пересекает две данные прямые в двух точках.
Пусть секущая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ — в точке $B$. Пронумеруем четыре угла у каждой точки одинаково: у точки $A$ — углы 1, 2, 3, 4 против часовой стрелки, начиная с правого верхнего; у точки $B$ — углы 5, 6, 7, 8 в том же порядке. Углы 3, 4, 5, 6 лежат между прямыми $a$ и $b$, их называют внутренними. Углы 1, 2, 7, 8 — внешние.
Сравнивать будем углы парами: один у точки $A$, другой у точки $B$, — перенося их калькой. Скопируйте угол 1 и сдвиньте кальку вдоль секущей, пока $A$ не попадет в $B$. Одна сторона копии пойдет по лучу $BA$, другая — вправо: у точки $B$ копия расположена так же, как угол 1 у точки $A$. Совпадет ли она с углом 5, зависит от прямой $b$: на рисунке $b$ немного повернута, и копия не совпала. Теперь скопируйте угол 3 и поверните кальку на пол-оборота вокруг середины $O$ отрезка $AB$, как в уроке «Смежные и вертикальные углы в задачах». Точка $A$ попадет в $B$, луч $AB$ — на луч $BA$, и копия угла 3 тоже встанет на место угла 5.
Определение
- Соответственные углы — углы по одну сторону от секущей, один внутренний, другой внешний; они занимают одинаковые места у точек $A$ и $B$: $\angle 1$ и $\angle 5$, $\angle 2$ и $\angle 6$, $\angle 3$ и $\angle 7$, $\angle 4$ и $\angle 8$. Калька переносит один на место другого сдвигом вдоль секущей.
- Накрест лежащие углы — внутренние углы по разные стороны от секущей: $\angle 3$ и $\angle 5$, $\angle 4$ и $\angle 6$. Калька переносит один на место другого поворотом на пол-оборота вокруг середины $O$ отрезка $AB$.
- Односторонние углы — внутренние углы по одну сторону от секущей: $\angle 3$ и $\angle 6$, $\angle 4$ и $\angle 5$.
Односторонние углы калька друг на друга не переносит: пол-оборота ставит угол 5 на место угла 3, смежного с углом 4. Поэтому их сравнивают не на равенство, а по сумме.
Вид пары определяет секущая, а не наклон чертежа
На привычном чертеже прямые $a$ и $b$ горизонтальны, и пары легко узнать на глаз. Но в задаче чертеж может быть повернут — и глаз начинает подводить. Номера углов поворачиваются вместе с чертежом, поэтому пользуйтесь подписями на рисунке.
Ошибка
Чертеж повернут: прямые $a$ и $b$ почти вертикальны, секущая $c$ почти горизонтальна. Решавр пишет: «Углы 4 и 5 — накрест лежащие: оба между $a$ и $b$ и расположены наискосок друг от друга».
Проверим по определению. Оба угла внутренние, но лежат по одну сторону от секущей $c$ — значит, это односторонние углы. Калька подтверждает: пол-оборота вокруг $O$ ставит угол 4 на место угла 6, а не угла 5.
Проверим на числах. Начертите $\angle 4 = \angle 5 = 65^\circ$: прямые $a$ и $b$ сойдутся в точке $X$ по ту сторону от секущей, где лежат эти углы, — получится треугольник $ABX$. Что так будет при любых равных односторонних углах, кроме прямых, докажем в следующем уроке. А равные накрест лежащие углы, как докажем дальше, дают параллельность.
Где сломалось рассуждение: «наискосок» зависит от того, как повернут лист, а вид пары — от положения углов относительно прямых $a$, $b$ и секущей $c$.
Как определить вид пары
- Найдите секущую — прямую, на которой лежат вершины обоих углов.
- Углы по одну сторону от секущей, один внутренний, другой внешний, — соответственные.
- Оба угла внутренние — посмотрите на секущую: по разные стороны от нее — накрест лежащие, по одну сторону — односторонние.
Признак по накрест лежащим углам: пол-оборота вокруг середины
Когда копия угла 3 совпадет с углом 5? Когда углы равны. А что тогда с прямыми? Пусть $\angle 3 = \angle 5$. Повернем кальку с прямой $a$ на пол-оборота вокруг $O$: копия угла 3 совпадет с углом 5, а прямая $a$ ляжет на $b$. Перпендикуляр $OH$ к $a$ продолжится за точку $O$ и станет перпендикуляром $OH_1$ к $b$. Выйдет одна прямая $HH_1$, перпендикулярная и $a$, и $b$, — а такие прямые не пересекаются.
Теорема (признак параллельности)
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Калька подсказала, почему это верно. Докажем теорему без кальки — равенством треугольников.
Доказательство
Дано: секущая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$, $\angle 3 = \angle 5$. Доказать: $a \parallel b$.
Если $\angle 3 = \angle 5 = 90^\circ$, то $a$ и $b$ перпендикулярны секущей $c$ и не пересекаются. Пусть углы не прямые. Смежные с ними углы 4 и 6 тоже равны: $\angle 4 = 180^\circ-\angle 3 = 180^\circ-\angle 5 = \angle 6$. Одна из двух пар — острые углы; пусть это углы 3 и 5 (для углов 4 и 6 рассуждение то же).
1. Отметим середину $O$ отрезка $AB$ и проведем $OH \perp a$. Угол 3 острый, поэтому точка $H$ лежит на стороне угла 3 и $\angle OAH = \angle 3$.
2. На стороне угла 5, лежащей на прямой $b$, отложим $BH_1 = AH$. В треугольниках $OAH$ и $OBH_1$: $OA = OB$ ($O$ — середина), $AH = BH_1$ (по построению), $\angle OAH = \angle OBH_1$ (это углы 3 и 5). По первому признаку $\triangle OAH = \triangle OBH_1$ (урок «Треугольник. Равные треугольники. Первый признак равенства»).
3. Из равенства треугольников $\angle BOH_1 = \angle AOH$ и $\angle OH_1B = \angle OHA = 90^\circ$.
4. Углы $HOB$ и $BOH_1$ имеют общую сторону $OB$ и лежат по разные стороны от прямой $AB$. Их сумма $\angle HOB + \angle BOH_1 = \angle HOB + \angle AOH = 180^\circ$, так как углы $AOH$ и $HOB$ смежные. Значит, точки $H$, $O$, $H_1$ лежат на одной прямой.
5. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной прямой $HH_1$, поэтому не пересекаются: $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.
Интересный факт: Евклид и пятый постулат
Скрыть
В «Началах» Евклида признаки параллельности — предложения 27 и 28 первой книги, а пятый постулат, равносильный аксиоме параллельности, впервые использован только в предложении 29.
Соответственные и односторонние углы сводятся к накрест лежащим
Пусть равны соответственные углы: $\angle 1 = \angle 5$. Угол 3 вертикален углу 1 — калька, повернутая на пол-оборота вокруг $A$, кладет один на другой. Поэтому $\angle 3 = \angle 1 = \angle 5$: накрест лежащие углы 3 и 5 равны, и $a \parallel b$.
Пусть сумма односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$. Угол 3 смежен с углом 4, поэтому $\angle 3 = 180^\circ-\angle 4 = \angle 5$. Снова равные накрест лежащие углы, и снова $a \parallel b$.
Теорема (признаки параллельности)
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.
Обратите внимание
Для односторонних углов признак требует суммы $180^\circ$, а не равенства. При равных односторонних углах по $65^\circ$ прямые пересеклись в точке $X$ (чертеж к ошибке Решавра). Исключение — оба угла по $90^\circ$: их сумма как раз $180^\circ$.
Пример 1
Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, $\angle 1 = 72^\circ$, $\angle 6 = 108^\circ$. Параллельны ли прямые $a$ и $b$?
Решение. Углы 1 и 6 не образуют ни одной из трех пар: угол 1 внешний справа от секущей, угол 6 внутренний слева. $\angle 3 = \angle 1 = 72^\circ$ как вертикальные. Углы 3 и 6 — односторонние: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$. По признаку $a \parallel b$.
Ответ: параллельны.
Какие прямые параллельны, подскажут стороны углов
В задачах секущей может оказаться сторона треугольника или диагональ четырехугольника. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ с диагональю $BD$, в котором $\angle ABD = \angle CDB$.
Ошибка
Решавр пишет: «Углы $ABD$ и $CDB$ — накрест лежащие и равны, значит, $BC \parallel AD$».
Проверим. Стороны угла $ABD$ — лучи $BA$ и $BD$, стороны угла $CDB$ — лучи $DC$ и $DB$. Общая прямая $BD$ — это секущая, а две другие прямые — $AB$ и $CD$. Углы лежат между ними по разные стороны от $BD$ — это накрест лежащие углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$, поэтому $AB \parallel CD$. Калька подтверждает: пол-оборота вокруг середины $BD$ кладет луч $BA$ на луч $DC$ — на прямую $CD$, а не на $AD$. А прямые $BC$ и $AD$ на чертеже сходятся и при продолжении пересекутся.
Где сломалось рассуждение: признак говорит о двух прямых, на которых лежат стороны углов, кроме секущей. Прямые $BC$ и $AD$ в этих углах не участвуют.
Важно
Применяя признак, назовите три прямые: секущую и две прямые, о которых делаете вывод. Секущая — общая прямая для сторон обоих углов, вывод — о двух других прямых.
Как чертежник проводит параллельные прямые
Вернемся к вопросу из начала урока. Чертежник прикладывает угольник катетом к прямой $a$, а к гипотенузе — линейку. Затем, прижимая линейку к листу, сдвигает угольник вдоль нее и проводит по тому же катету прямую $b$.
Это и есть сдвиг кальки вдоль секущей: секущая — край линейки, а угол угольника при сдвиге не меняется. Углы прямых $a$ и $b$ с краем линейки соответственные и равны, поэтому $a \parallel b$ — даже за краем листа.
В задачах на доказательство равные углы при секущей дают равные треугольники, биссектриса, равнобедренный треугольник.
Пример 2
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. На стороне $AC$ отмечена точка $E$ так, что $AE = ED$. Докажите, что $DE \parallel AB$.
Доказательство. 1. Треугольник $AED$ равнобедренный ($AE = ED$), поэтому углы при его основании $AD$ равны: $\angle EAD = \angle EDA$ (урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»).
2. $AD$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle BAD = \angle EAD$.
3. Из пунктов 1 и 2: $\angle EDA = \angle BAD$.
4. Стороны этих углов лежат на прямых $DE$, $AB$ и на общей прямой $AD$. Значит, $AD$ — секущая, а точки $B$ и $E$ лежат по разные стороны от нее: углы $EDA$ и $BAD$ накрест лежащие при прямых $DE$, $AB$ и секущей $AD$.
5. Накрест лежащие углы равны, поэтому $DE \parallel AB$. Что и требовалось доказать.
Вывод
Признаки параллельности позволяют доказать, что прямые не пересекутся нигде, даже за краем листа, — по углам, которые они образуют с секущей. Дальше они понадобятся постоянно: в следующем уроке «Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых» из параллельности будут выводить равенство углов, а затем — сумму углов треугольника.
Чтобы вспомнить признаки, представьте кальку: если копия угла, перенесенная сдвигом или пол-оборотом, совпала с углом, прямые параллельны; для односторонних нужна сумма $180^\circ$. И каждый раз называйте секущую и две прямые, о которых делаете вывод.
| Условие | Как калька переносит угол | Почему прямые параллельны |
|---|---|---|
| $\angle 3 = \angle 5$ (накрест лежащие равны) | Пол-оборота вокруг середины $O$ отрезка $AB$ | $a$ и $b$ перпендикулярны одной прямой $HH_1$ |
| $\angle 1 = \angle 5$ (соответственные равны) | Сдвиг вдоль секущей | $\angle 3 = \angle 1$ как вертикальные — сводится к накрест лежащим |
| $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ (односторонние) | Один на другой не переносит | $\angle 3 = 180^\circ-\angle 4 = \angle 5$ — сводится к накрест лежащим |
Часто задаваемые вопросы
Доказательство опиралось только на первый признак равенства треугольников и на то, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Аксиома понадобится для обратного утверждения — «прямые параллельны, значит, накрест лежащие углы равны»; его докажут в следующем уроке.
Признак идет от углов к прямым: углы равны — значит, прямые параллельны. Свойство идет обратно: прямые параллельны — значит, углы равны. В доказательстве нельзя опираться на то, что требуется доказать.
Нет. На чертеже видна только часть прямых, и за краем листа они могут встретиться. Прямые с односторонними углами по $89^\circ$ на небольшом рисунке выглядят параллельными, хотя пересекаются (это докажут в следующем уроке). Параллельность доказывают признаком.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий