Признаки параллельности прямых

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Какой угол является накрест лежащим с углом $3$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle 5$","$\\angle 7$","$\\angle 6$","$\\angle 1$"],"explanations":["","Углы $3$ и $7$ занимают одинаковые места — это соответственные углы","Углы $3$ и $6$ лежат по одну сторону от секущей — это односторонние углы","Углы $1$ и $3$ — вертикальные: у них общая вершина $A$, а стороны одного — продолжения сторон другого"],"answer":[0]}},"hints":["Накрест лежащие углы — внутренние и лежат по разные стороны от секущей.","Угол $3$ — внутренний слева от $c$; внутренний угол у $B$ справа от $c$ — угол $5$.","Ответ: угол $5$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Какой угол является накрест лежащим с углом $6$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\angle 2$","$\\angle 8$","$\\angle 3$","$\\angle 4$"],"explanations":["Углы $2$ и $6$ занимают одинаковые места — это соответственные углы","Углы $6$ и $8$ — вертикальные: у них общая вершина $B$, а стороны одного — продолжения сторон другого","Углы $3$ и $6$ лежат по одну сторону от секущей — это односторонние углы",""],"answer":[3]}},"hints":["Накрест лежащие углы — внутренние и лежат по разные стороны от секущей.","Угол $6$ — внутренний слева от $c$; внутренний угол у $A$ справа от $c$ — угол $4$.","Ответ: угол $4$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Сопоставьте пару углов и ее название.[[matcher-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l4qw7f7owk2g.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle 4$ и $\\angle 6$","$\\angle 1$ и $\\angle 5$","$\\angle 3$ и $\\angle 6$"],"items":["Накрест лежащие","Соответственные","Односторонние","Смежные"]}},"hints":["Накрест лежащие — внутренние углы по разные стороны от секущей; соответственные — на одинаковых местах у $A$ и у $B$; односторонние — внутренние углы по одну сторону от секущей.","Углы $4$ и $6$ — внутренние, по разные стороны от $c$; углы $1$ и $5$ — на одинаковых местах; углы $3$ и $6$ — внутренние, по одну сторону от $c$.","Ответ: накрест лежащие, соответственные, односторонние."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, чертеж повернут: секущая почти вертикальна (см. рисунок). Сопоставьте пару углов и ее название.[[matcher-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/up5vfu8pow1f.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\angle 4$ и $\\angle 5$","$\\angle 3$ и $\\angle 5$","$\\angle 4$ и $\\angle 8$"],"items":["Односторонние","Накрест лежащие","Соответственные","Вертикальные"]}},"hints":["Накрест лежащие — внутренние углы по разные стороны от секущей; соответственные — на одинаковых местах у $A$ и у $B$; односторонние — внутренние углы по одну сторону от секущей.","Углы $4$ и $5$ — внутренние, по одну сторону от $c$; углы $3$ и $5$ — внутренние, по разные стороны от $c$; углы $4$ и $8$ — по одну сторону от $c$, угол $4$ внутренний, угол $8$ внешний.","Ответ: односторонние, накрест лежащие, соответственные."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 1 = 64^\\circ$. При каком значении угла $6$ прямые $a$ и $b$ параллельны? Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"116"}},"hints":["$\\angle 3 = \\angle 1 = 64^\\circ$ как вертикальные.","Углы $3$ и $6$ — односторонние; прямые параллельны, если $\\angle 3 + \\angle 6 = 180^\\circ$.","$\\angle 6 = 180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 2 = 107^\\circ$. При каком значении угла $5$ прямые $a$ и $b$ параллельны? Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"73"}},"hints":["$\\angle 4 = \\angle 2 = 107^\\circ$ как вертикальные.","Углы $4$ и $5$ — односторонние; прямые параллельны, если $\\angle 4 + \\angle 5 = 180^\\circ$.","$\\angle 5 = 180^\\circ-107^\\circ = 73^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 2 = 124^\\circ$, $\\angle 6 = 124^\\circ$. Что можно сказать о прямых $a$ и $b$?[[choice-3]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$a \\parallel b$ по признаку о соответственных углах","$a \\parallel b$ по признаку о накрест лежащих углах","Сказать нельзя: углы не накрест лежащие","$a \\parallel b$ по признаку об односторонних углах"],"explanations":["","Углы $2$ и $6$ не внутренние, это не накрест лежащие углы","Признак есть и для соответственных углов","Углы $2$ и $6$ не односторонние; к тому же для односторонних нужна сумма $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Определите тип пары: углы $2$ и $6$ занимают одинаковые места у точек $A$ и $B$.","Это соответственные углы, и они равны.","Ответ: $a \\parallel b$ по признаку о соответственных углах."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-8]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 4 = 118^\\circ$, $\\angle 6 = 118^\\circ$. Что можно сказать о прямых $a$ и $b$?[[choice-4]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$a \\parallel b$ по признаку о соответственных углах","Сказать нельзя: углы не соответственные","$a \\parallel b$ по признаку об односторонних углах","$a \\parallel b$ по признаку о накрест лежащих углах"],"explanations":["Углы $4$ и $6$ занимают разные места у $A$ и $B$, это не соответственные углы","Признак есть и для накрест лежащих углов","Углы $4$ и $6$ лежат по разные стороны от секущей; к тому же для односторонних нужна сумма $180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Определите тип пары: углы $4$ и $6$ внутренние и лежат по разные стороны от секущей.","Это накрест лежащие углы, и они равны.","Ответ: $a \\parallel b$ по признаку о накрест лежащих углах."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]Решавр смотрит на повернутый чертеж (см. рисунок) и пишет: «Углы $4$ и $8$ — односторонние: оба лежат по одну сторону от секущей $c$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l4qw7f7owk2g.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Углы $4$ и $8$ — накрест лежащие","Углы $4$ и $8$ — вертикальные","Угол $8$ не лежит между прямыми $a$ и $b$, поэтому углы $4$ и $8$ — соответственные","Ошибки нет: углы по одну сторону от секущей — односторонние"],"explanations":["Накрест лежащие углы лежат по разные стороны от секущей, а углы $4$ и $8$ — по одну","У вертикальных углов общая вершина, а вершины углов $4$ и $8$ — разные точки $A$ и $B$","","Односторонние углы оба внутренние, а угол $8$ лежит вне полосы между $a$ и $b$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте оба условия определения: где лежит каждый угол относительно секущей $c$ и относительно прямых $a$ и $b$.","Оба угла — по одну сторону от $c$, но угол $4$ лежит между $a$ и $b$, а угол $8$ — вне полосы между ними. Один внутренний, другой внешний — это соответственные углы.","Ответ: углы $4$ и $8$ соответственные."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-10]]Решавр смотрит на повернутый чертеж (см. рисунок) и пишет: «Углы $4$ и $6$ — односторонние: оба лежат внутри полосы между $a$ и $b$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l4qw7f7owk2g.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Углы $4$ и $6$ лежат по разные стороны от секущей $c$ — они накрест лежащие","Ошибки нет: внутренние углы — односторонние","Углы $4$ и $6$ — смежные","Углы $4$ и $6$ — соответственные"],"explanations":["","Внутренние углы бывают и односторонними, и накрест лежащими — решает сторона от секущей","У смежных углов общая вершина, а вершины углов $4$ и $6$ — разные точки $A$ и $B$","Соответственные углы — один внутренний, другой внешний, а углы $4$ и $6$ оба внутренние"],"answer":[0]}},"hints":["Внутренние углы бывают двух видов. Что решает, какой это вид?","Угол $4$ лежит по одну сторону от секущей $c$, угол $6$ — по другую. Внутренние углы по разные стороны от секущей — накрест лежащие.","Ответ: углы $4$ и $6$ накрест лежащие."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-11]]В четырехугольнике $KLMN$ $\\angle LKM = \\angle NMK$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Это накрест лежащие углы, значит, $LM \\parallel KN$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2wq9dyqjgfol.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Углы образованы прямыми $KL$ и $MN$ с секущей $KM$, поэтому $KL \\parallel MN$","Углы $LKM$ и $NMK$ не накрест лежащие, вывод сделать нельзя","Параллельны диагональ $KM$ и сторона $LM$","Ошибки нет: равные накрест лежащие углы дают $LM \\parallel KN$"],"explanations":["","Они внутренние и лежат по разные стороны от секущей $KM$ — накрест лежащие","Диагональ $KM$ — секущая, она пересекает $LM$ в точке $M$","Прямые $LM$ и $KN$ не являются сторонами этих углов, признак о них ничего не говорит"],"answer":[0]}},"hints":["Какими прямыми образованы углы $LKM$ и $NMK$? Стороны угла $LKM$ — $KL$ и $KM$, угла $NMK$ — $MN$ и $MK$.","Это две прямые $KL$ и $MN$ и секущая $KM$. Признак говорит о них.","Ответ: параллельны $KL$ и $MN$, а не $LM$ и $KN$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-12]]В четырехугольнике $PQRS$ $\\angle PQS = \\angle RSQ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Это накрест лежащие углы, значит, $QR \\parallel PS$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dxqxzaduuez0.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Углы образованы прямыми $PQ$ и $RS$ с секущей $QS$, поэтому $PQ \\parallel RS$","Параллельны диагональ $QS$ и сторона $PQ$","Ошибки нет: равные накрест лежащие углы дают $QR \\parallel PS$","Углы $PQS$ и $RSQ$ не накрест лежащие, вывод сделать нельзя"],"explanations":["","Диагональ $QS$ — секущая, она пересекает $PQ$ в точке $Q$","Прямые $QR$ и $PS$ не являются сторонами этих углов, признак о них ничего не говорит","Они внутренние и лежат по разные стороны от секущей $QS$ — накрест лежащие"],"answer":[0]}},"hints":["Какими прямыми образованы углы $PQS$ и $RSQ$? Стороны угла $PQS$ — $QP$ и $QS$, угла $RSQ$ — $SR$ и $SQ$.","Это две прямые $PQ$ и $RS$ и секущая $QS$. Признак говорит о них.","Ответ: параллельны $PQ$ и $RS$, а не $QR$ и $PS$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $BC = AD$, проведена диагональ $AC$. Расставьте шаги доказательства того, что $AB \\parallel CD$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["В треугольниках $ABC$ и $CDA$: $AB = CD$, $BC = DA$, сторона $AC$ общая","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку","Отсюда $\\angle BAC = \\angle DCA$","Углы $BAC$ и $DCA$ — накрест лежащие при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$","По признаку параллельности $AB \\parallel CD$"]}},"hints":["Для признака нужны равные углы при секущей $AC$. Их дадут равные треугольники $ABC$ и $CDA$.","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку, поэтому $\\angle BAC = \\angle DCA$ — накрест лежащие при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$.","Ответ: равные треугольники → равные накрест лежащие углы → $AB \\parallel CD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $\\angle BAC = \\angle DCA$, проведена диагональ $AC$. Расставьте шаги доказательства того, что $BC \\parallel AD$, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["В треугольниках $ABC$ и $CDA$: $AB = CD$, сторона $AC$ общая, $\\angle BAC = \\angle DCA$","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по первому признаку","Отсюда $\\angle BCA = \\angle DAC$","Это накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$, поэтому $BC \\parallel AD$"]}},"hints":["Равные углы $BAC$ и $DCA$ говорят о прямых $AB$ и $CD$. Для $BC$ и $AD$ нужны другие равные углы при секущей $AC$ — их дадут равные треугольники $ABC$ и $CDA$.","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по первому признаку, поэтому $\\angle BCA = \\angle DAC$ — накрест лежащие при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$.","Ответ: равные треугольники → равные накрест лежащие углы $BCA$ и $DAC$ → $BC \\parallel AD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Какое утверждение верно?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна $180^\\circ$, то прямые параллельны","Две прямые, которые не пересекаются на чертеже, параллельны","Если при пересечении двух прямых секущей односторонние углы равны, то прямые параллельны","Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны"],"explanations":["Признак требует равенства накрест лежащих углов, а не суммы $180^\\circ$","На чертеже видна только часть прямых: за его краем они могут пересечься","Для односторонних углов нужна сумма $180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Признаки параллельности: равны накрест лежащие углы, или равны соответственные, или сумма односторонних равна $180^\\circ$.","Проверьте, о каких углах и каком условии говорится в каждом утверждении.","Ответ: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны."],"step":1},{"id":"8","content":"Какое утверждение верно?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны","Если при пересечении двух прямых секущей сумма соответственных углов равна $180^\\circ$, то прямые параллельны","Если два отрезка не пересекаются, то они параллельны","Если при пересечении двух прямых секущей односторонние углы равны, то прямые параллельны"],"explanations":["","Признак требует равенства соответственных углов","Отрезки могут лежать на пересекающихся прямых","Для односторонних углов нужна сумма $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, какие условия на углы дают параллельность и какой признак вы знали раньше, из урока о перпендикулярах.","Проверьте, о каких углах и каком условии говорится в каждом утверждении.","Ответ: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-13]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 4 = \\angle 5 = 75^\\circ$. Какой вывод верен?[[choice-11]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-11":{"type":"choice","options":["По признакам параллельность доказать нельзя: $\\angle 4 + \\angle 5 = 150^\\circ$, а не $180^\\circ$","$a \\parallel b$, так как односторонние углы равны","$a \\parallel b$, так как углы $4$ и $5$ вертикальные и равны","$a \\parallel b$ по признаку о накрест лежащих углах"],"explanations":["","Равенство односторонних углов не признак: нужна сумма $180^\\circ$","У углов $4$ и $5$ разные вершины, они не вертикальные","Углы $4$ и $5$ не накрест лежащие: они по одну сторону от секущей"],"answer":[0]}},"hints":["Углы $4$ и $5$ — внутренние по одну сторону от секущей: односторонние.","Признак требует, чтобы их сумма была $180^\\circ$, а $75^\\circ + 75^\\circ = 150^\\circ$.","Ответ: по признакам параллельность доказать нельзя (на самом деле прямые пересекаются — это покажет следующий урок)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-14]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 3 = \\angle 6 = 80^\\circ$. Какой вывод верен?[[choice-12]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"choice-12":{"type":"choice","options":["$a \\parallel b$ по признаку о накрест лежащих углах","По признакам параллельность доказать нельзя: $\\angle 3 + \\angle 6 = 160^\\circ$, а не $180^\\circ$","$a \\parallel b$, так как углы $3$ и $6$ соответственные и равны","$a \\parallel b$, так как односторонние углы равны"],"explanations":["Углы $3$ и $6$ не накрест лежащие: они по одну сторону от секущей","","Соответственные углы занимают одинаковые места, а угол $3$ соответствует углу $7$","Равенство односторонних углов не признак: нужна сумма $180^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Углы $3$ и $6$ — внутренние по одну сторону от секущей: односторонние.","Признак требует, чтобы их сумма была $180^\\circ$, а $80^\\circ + 80^\\circ = 160^\\circ$.","Ответ: по признакам параллельность доказать нельзя (на самом деле прямые пересекаются — это покажет следующий урок)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-15]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Угол $3$ на $40^\\circ$ больше угла $4$. При каком значении угла $6$ прямые $a$ и $b$ параллельны? Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Углы $3$ и $4$ смежные: $\\angle 3 + \\angle 4 = 180^\\circ$ и $\\angle 3-\\angle 4 = 40^\\circ$, поэтому $\\angle 3 = 110^\\circ$, $\\angle 4 = 70^\\circ$.","Углы $3$ и $6$ — односторонние: прямые параллельны, если $\\angle 3 + \\angle 6 = 180^\\circ$.","$\\angle 6 = 180^\\circ-110^\\circ = 70^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-16]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Угол $1$ в $2$ раза больше угла $2$. При каком значении угла $8$ прямые $a$ и $b$ параллельны? Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5kotsswzw1vc.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Углы $1$ и $2$ смежные: $\\angle 1 + \\angle 2 = 180^\\circ$, $3 \\cdot \\angle 2 = 180^\\circ$, поэтому $\\angle 2 = 60^\\circ$, $\\angle 1 = 120^\\circ$.","$\\angle 4 = \\angle 2 = 60^\\circ$ как вертикальные; углы $4$ и $8$ — соответственные: прямые параллельны, если $\\angle 8 = \\angle 4$.","$\\angle 8 = 60^\\circ$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>