Признаки параллельности прямых. Секущая

Как мы выяснили на прошлом уроке, прямая, пересекающая данную прямую, пересечет также прямую, параллельную данной. Это следствие из аксиомы параллельности открывает нам возможность сформулировать конкретные признаки параллельности прямых, по которым можно доказательно заключать о параллельности тех или иных прямых. Вы все правильно поняли: от аксиом мы наконец переходим к теоремам.

Что такое секущая

Даны прямые $a$ и $b$, параллельные друг другу, и прямая $c$, которая пересекает данные прямые в двух точках.

Подобная прямая, пересекающая две прочие прямые, в геометрии называется секущей. Секущая может проводиться как по отношению к параллельным прямым, так и к непараллельным.

Секущая — прямая пересекающая две прямые, лежащие в одной плоскости, в двух разных точках.

Обращаем внимание на углы при секущей: секущая при пересечении с параллельными прямыми образует восемь углов, которые на чертеже обозначены заглавными латинскими буквами: A, B, C и так далее. Некоторые пары углов при секущей настолько важны, что за ними даже закреплены отдельные названия:

• односторонние углы — $\angle{A}$ и $\angle{H}$, $\angle{B}$ и $\angle{G}$;
• накрест лежащие углы — $\angle{A}$ и $\angle{G}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$;
• соответственные углы — $\angle{A}$ и $\angle{E}$, $\angle{B}$ и $\angle{F}$, $\angle{D}$ и $\angle{H}$,
  $\angle{C}$ и $\angle{G}$;

Внутренние и внешние углы при секущей

Внутренние углы при секущей — это углы, которые находятся в общих для прямых полуплоскостях. Однако секущая также образует и внешние углы — те, что располагаются в не пересекающихся полуплоскостях прямых. Посмотрите на чертежи: для наглядности «зоны» внутренних и внешних углов выделены цветом.

К внутренней «зоне» относятся углы $\angle{A}$, $\angle{B}$, $\angle{H}$ и $\angle{G}$.

К внешней «зоне» относятся углы $\angle{D}$, $\angle{C}$, $\angle{E}$ и $\angle{F}$.

Примечательно, что соответственные углы — это пары, состоящие из одного внутреннего и одного внешнего угла. А при должном внимании вы могли догадаться, что накрест лежащие и односторонние углы были выше нами указаны только для внутренней «зоны». Аналогичные пары вообще-то имеются и во внешней «зоне».

{"questions":[{"content":"Закрепим. Расположите пары углов согласно их названию. Теперь мы будем учитывать как внутреннюю область, так и внешнюю. [[image-2]] [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Внутренние накрест лежащие углы","Внешние накрест лежащие углы","Внутренние односторонние углы","Внешние односторонние углы","Соответственные углы"],"items":[["$\\angle{A}$ и $\\angle{G}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{H}$"],["$\\angle{D}$ и $\\angle{F}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{E}$"],["$\\angle{A}$ и $\\angle{H}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{G}$"],["$\\angle{D}$ и $\\angle{E}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{F}$"],["$\\angle{A}$ и $\\angle{E}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{F}$","$\\angle{D}$ и $\\angle{H}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{G}$"]]},"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/angles-ABCD.svg"}}}]}

Признаки параллельности прямых: накрест лежащие углы

Очевидно, что проведение секущей — это специальный геометрический метод для определения параллельности прямых. По тому, являются ли те или иные пары углов, образованные секущими, равными, можно заключать о параллельности или непараллельности прямых. Одна из таких пар — накрест лежащие углы.

Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство. Проведем прямые $a,$ $b$ и секущую $c$, пересекающую прямые в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию прямые образуют с секущей пару равных накрест лежащих углов$\angle{1}$ и $\angle{2}$. Воспользуемся методом от противного и предположим, что прямые не параллельны. Тогда они будут пересекаться в некоторой точке $C$. Отложим на продолжении отрезка $CB$ отрезок $BD$, равный отрезку $AC$.

Треугольники $\bigtriangleup{CAB}$ и $\bigtriangleup{DBA}$ равны по первому признаку равенства треугольников: $AB$ — общая сторона, $BD=AC$ по построению, углы $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равны по условию о накрест лежащих углах. Следовательно $\angle{CBA}$ и $\angle{DAB}$ также равны.

Известно, что сумма смежных углов равняется $180^\circ$. Значит, $\angle{CBA}+\angle{DBA}=180^\circ$. Однако сумма равных им углов $\angle{DAB}+\angle{CAB}$, то есть угла $\angle{CAD}$ в $\bigtriangleup{DAC}$, меньше $180^\circ$. Мы пришли к противоречию.

Следовательно прямые параллельны. Теорема доказана.

Внешние накрест лежащие углы!

Заметьте, что при доказательстве мы опирались на равенство внутренних накрест лежащих углов, хотя, если взять признак параллельности прямых, тексте теоремы указана общая формулировка — «накрест лежащие углы», без обозначения их расположения относительно полуплоскостей прямых.

Ответ прост: если доказать признаки параллельности прямых, опираясь на равенство внутренних накрест лежащих углов, внешнее расположение — не более чем условность.

Возьмем для примера $\angle{B}$ и $\angle{H}$. Для $\angle{B}$: внешний $\angle{D}$ — с ним вертикальный; внешний $\angle{C}$ — смежный. Аналогично для $\angle{H}$: $\angle{F}$ и $\angle{E}$ соответственно.

Вертикальные углы равны, поэтому получаем равенство $\angle{D}$ и $\angle{F}.$ У равных углов смежные с ними углы также будут равны, отсюда $\angle{C}=\angle{E}$. Поэтому теорема обычно доказывается по внутренним накрест углам, ведь равенство таких же внешних — прямое следствие.

Признаки параллельности прямых: задача

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в общей середине $O$. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ при этом параллельны.

Решение
Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BDO}$. Они равны по первому признаку: по условию $AO=OB$ и $CO=OD$, углы $\angle{COA}$ и $\angle{BOD}$ равны как вертикальные. Следовательно $\angle{ACD}=\angle{BDC}$. Данные углы являются внутренними накрест лежащими. Тогда $AC\parallel{BD}$ согласно признаку параллельности по накрест лежащим углам.

Признак параллельности прямых: соответственные углы

Признак параллельности прямых по соответственным углам. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство. Пусть прямые $a$ и $b$ при пересечении секущей $c$ образуют пару равных соответственных углов — $\angle{A}=\angle{B}$. Угол $\angle{D}$ является вертикальным по отношению к $\angle{A}$. Следовательно $\angle{A}=\angle{D}=\angle{B}$. Поскольку $\angle{D}$ и $\angle{B}$ — накрест лежащие углы, прямые $a$ и $b$ являются параллельными. Теорема доказана.  

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Можно ли говорить о том, что прямые $a$ и $b$ параллельны, если известно, что углы $\\angle{A}$ и $\\angle{B}$ равны? [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/test-angles.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"explanations":["Естественно! 😊<br /><br />Углы $\\angle{A}$ и $\\angle{B}$ являются соответственными. Их равенство определяет параллельность $a$ и $b$, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.",""],"answer":[0]}}}]}

Признак параллельности прямых: односторонние углы

Признак параллельности прямых по сумме односторонних углов. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равняется $180^\circ$, то такие прямые параллельны.

По аналогии с накрест лежащими углами, доказательство признака параллельности по сумме внутренних односторонних углов позволяет прямо перейти к точно такому же признаку, но на основе внешних односторонних углов. Смежные углы — сила.

Задача. Известно, что в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ угол $\angle{A}$ равен $40^\circ$, а угол $\angle{B}$ равен $70^\circ$. На плоскости лежит точка $D$ так, что сторона $BC$ треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ является биссектрисой угла $ABD$. Докажите, что $AC\parallel{BD}$.  

Показать решение

Скрыть решение

«Признак» или «теорема»?

Все доказанные признаки параллельности прямых так или иначе в научном понимании является теоремами. При этом, тем не менее, в формулировках слово «теорема» не фигурировало: мы все время пользовались обозначением «признак».

Причина здесь — амбивалентность, создаваемая словосочетанием «теорема параллельности».  Есть аксиома параллельности, а есть, значит, еще и теорема? Тогда аксиома совсем не аксиома, если ей можно противопоставить теорему параллельности. Замена «теорема» на «признак» разрешает данную двойственность.  

Есть, конечно, еще одна причина… Но это разговор для целого отдельного урока. Этот урок, к слову, следующий. Загляните.

{"questions":[{"content":"Время подвести итог. Выберите из предложенных вариантов три доказанных нами признака параллельности прямых. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равняется $180^\\circ$, то такие прямые параллельны.","Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.","Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.","Если при пересечении двух прямых секущей сумма соответственных углов равна $180^\\circ$, то такие прямые параллельны.","Если при пересечении двух прямых секущей накрест односторонние углы равны, то такие прямые параллельны."],"answer":[0,1,2]}}}]}