Карточки
Тесты
Зави
Тест: Г7.17
Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых
Вы уже знаете признаки параллельности прямых: по равным углам при секущей можно доказать, что прямые не пересекутся. В этом уроке пойдем обратно — от параллельных прямых к углам: вспомним аксиому параллельности, выведем из нее два следствия, докажем свойства параллельных прямых и научимся по одному углу находить все восемь. А в конце узнаем, как Эратосфен измерил Землю, не выходя из Египта, — с помощью тех же углов.
Верно ли обратное и зачем нужна аксиома
В прошлом уроке доказан признак: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Поменяем местами условие и вывод: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Получилось обратное утверждение — это понятие вы встречали в уроке о равнобедренном треугольнике. Обратное утверждение не обязано быть верным: вертикальные углы равны, но равные углы не обязательно вертикальные.
Проверим обратное калькой. Пусть $a \parallel b$, секущая $c$ пересекает их в точках $A$ и $B$, $O$ — середина отрезка $AB$. Перенесем на кальку прямую $a$ вместе с углом $3$ и повернем кальку на пол-оборота вокруг $O$. Точка $A$ попадет в $B$, луч $AB$ — на луч $BA$, а прямая $a$ ляжет на некоторую прямую $a_1$, проходящую через $B$. Копия угла $3$ — угол между лучом $BA$ и прямой $a_1$ — лежит по ту же сторону от секущей, что и угол $5$, но ее сторона идет по $a_1$. При прямых $a$ и $a_1$ угол $3$ и его копия накрест лежащие и равны, поэтому по признаку $a_1 \parallel a$.
Совпадет ли $a_1$ с прямой $b$? Обе проходят через точку $B$, и обе параллельны $a$. Если через $B$ проходит только одна такая прямая, то $a_1$ и $b$ — одна и та же прямая, и угол $5$ равен углу $3$. Доказать это из прежних фактов нельзя — это утверждение принимают без доказательства.
Аксиома параллельности
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Н. И. Лобачевский построил геометрию, где через точку проходит больше одной прямой, не пересекающей данную (история — в уроке «Параллельные прямые. Аксиома параллельности»). Там обратное утверждение неверно. Значит, свойства параллельных прямых держатся на аксиоме, а признаки доказаны без нее.
Обратите внимание
Признак: дано условие на углы, вывод — прямые параллельны. Свойство: дано, что прямые параллельны, вывод — об углах. Признак и свойство — пара взаимно обратных утверждений.
Два следствия аксиомы
Следствие — утверждение, которое выводится прямо из аксиомы или теоремы. Калька здесь не нужна: оба следствия доказываются от противного.
Следствия аксиомы параллельности
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство следствия 1
Дано: $a \parallel b$, прямая $c$ пересекает $a$ в точке $M$. Доказать: $c$ пересекает $b$.
1. Предположим, что $c$ не пересекает $b$. Тогда $c \parallel b$.
2. Через точку $M$ проходят две разные прямые $a$ и $c$, и обе параллельны $b$.
3. Это противоречит аксиоме параллельности. Значит, предположение неверно: прямая $c$ пересекает $b$.
Второе следствие доказывается тем же ходом: предположим, что две прямые пересекаются, и найдем точку, через которую проходят две прямые, параллельные третьей. Соберите его сами в задании ниже.
Важно
В первом следствии главное слово — «параллельных». Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, прямая $c$ может пересечь $a$ и не пересечь $b$: так будет, если $c \parallel b$.
Свойства параллельных прямых: один угол задает все восемь
Пусть $a \parallel b$ и $\angle 3 = 53^\circ$. Калька из раздела 1 подсказывает: $\angle 5 = 53^\circ$. Докажем, что так при любом угле.
Теорема (свойство накрест лежащих углов)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство
Дано: $a \parallel b$, секущая $c$ пересекает $a$ в точке $A$, $b$ — в точке $B$. Доказать: $\angle 3 = \angle 5$.
1. Предположим, что $\angle 3 \ne \angle 5$.
2. Отложим от луча $AB$ угол, равный углу $5$, так, чтобы он и угол $5$ были накрест лежащими. Его вторая сторона лежит на прямой $d$, проходящей через $A$.
3. При прямых $d$, $b$ и секущей $c$ накрест лежащие углы равны, поэтому $d \parallel b$ по признаку.
4. Прямая $d$ не совпадает с $a$: иначе отложенный угол совпал бы с углом $3$, а он не равен углу $5$.
5. Через $A$ проходят две прямые $a$ и $d$, параллельные $b$, — это противоречит аксиоме. Значит, $\angle 3 = \angle 5$.
Углы $4$ и $6$ смежные с углами $3$ и $5$: $\angle 4 = 180^\circ-\angle 3 = 180^\circ-\angle 5 = \angle 6$. Что и требовалось доказать.
Калька объясняет, откуда взялась прямая $d$: это прямая $b$, повернутая на пол-оборота вокруг середины $O$ отрезка $AB$. Аксиома требует, чтобы она легла точно на $a$.
Теорема (свойства соответственных и односторонних углов)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
Оба свойства выводятся из первого. $\angle 1 = \angle 3$ как вертикальные, $\angle 3 = \angle 5$ как накрест лежащие, значит, $\angle 1 = \angle 5$. На кальке это сдвиг вдоль секущей: точка $A$ переходит в $B$, угол $1$ — в угол $5$. $\angle 4 + \angle 3 = 180^\circ$ как смежные, а $\angle 3 = \angle 5$, значит, $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$. Остальные пары — так же. Отсюда: если $a \parallel b$ и $c \perp a$, то $c$ пересекает $b$ (следствие 1) под прямым углом — $c \perp b$.
Итог: при $a \parallel b$ один угол задает все восемь. Углы $1$, $3$, $5$, $7$ равны одной величине $\alpha$, углы $2$, $4$, $6$, $8$ равны $180^\circ-\alpha$.
Ошибка
Прямые $a$ и $b$ параллельны, $\angle 4 = 66^\circ$. Решавр пишет: «При параллельных прямых углы равны, поэтому $\angle 5 = 66^\circ$».
Проверка. $\angle 3 = 180^\circ-66^\circ = 114^\circ$ как смежный с углом $4$. Углы $3$ и $5$ накрест лежащие, поэтому $\angle 5 = 114^\circ$, а не $66^\circ$. Калька, повернутая на пол-оборота вокруг $O$, кладет угол $4$ на угол $6$, а не на угол $5$.
Где ошибка. Равны накрест лежащие и соответственные углы. Односторонние углы дополняют друг друга до $180^\circ$ и равны, только когда оба прямые.
Пример
Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$, $\angle 5 = 58^\circ$. Найдите остальные семь углов.
Решение. Угол $5$ из группы $\alpha$, значит, $\alpha = 58^\circ$. Углы $1$, $3$, $7$ тоже равны $58^\circ$: $\angle 7$ вертикальный с $\angle 5$, $\angle 3$ накрест лежащий с ним, $\angle 1$ соответственный. Углы $2$, $4$, $6$, $8$ равны $180^\circ-58^\circ = 122^\circ$: например, $\angle 6$ смежный с $\angle 5$.
Ответ: $\angle 1 = \angle 3 = \angle 7 = 58^\circ$, $\angle 2 = \angle 4 = \angle 6 = \angle 8 = 122^\circ$.
Если углы заданы выражениями с $x$, уравнение составляют по тем же правилам: накрест лежащие и соответственные углы приравнивают друг к другу, а сумму односторонних — к $180^\circ$.
Что дано, то и выбирает теорему
Признак и свойство говорят об одних и тех же парах углов. Теорему выбирает условие: параллельность нужно доказать — признак; она дана — свойство.
| Что дано | Что нужно | Теорема |
|---|---|---|
| Равны накрест лежащие или соответственные углы; сумма односторонних $180^\circ$ | Доказать, что $a \parallel b$ | Признак |
| $a \parallel b$ и один угол | Найти другие углы | Свойство |
| Один угол, о параллельности ничего не сказано | Найти угол при другой точке | Никакая: найти нельзя |
Ошибка
Задача: прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, $\angle 3 = 62^\circ$, $\angle 6 = 118^\circ$. Докажите, что $a \parallel b$. Решавр пишет: «Так как $a \parallel b$, сумма односторонних углов $3$ и $6$ равна $180^\circ$: $62^\circ + 118^\circ = 180^\circ$. Значит, $a \parallel b$».
Проверка. Пусть $\angle 6 = 110^\circ$, прямые не параллельны. Решавр начал бы так же: «так как $a \parallel b$, $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$» — и получил бы $\angle 6 = 118^\circ$, хотя дано $110^\circ$. Первая фраза ничем не обоснована: параллельность взята из того, что требуется доказать.
Где ошибка. Рассуждение идет по кругу. Свойство применимо, только когда параллельность дана. Верно так: углы $3$ и $6$ односторонние, $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$, поэтому $a \parallel b$ по признаку.
На кальке: пол-оборота всегда кладет $a$ на $a_1$, а на $b$ — только если параллельность уже известна. Решавр кладет кальку на $b$ раньше, чем это доказано.
Бывает, что нужны обе теоремы по очереди: сначала признак доказывает параллельность, а потом свойство дает углы.
Пример
Прямые $a$ и $b$ пересечены секущими $AB$ и $CD$, точки $A$ и $C$ лежат на $a$, точки $B$ и $D$ — на $b$, точка $E$ — на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$. $\angle EAC = \angle ABD = 64^\circ$, $\angle ACD = 115^\circ$. Найдите угол $CDB$.
Решение. Параллельность не дана, поэтому сначала признак. Углы $EAC$ и $ABD$ — соответственные при прямых $a$, $b$ и секущей $AB$. Они равны, значит, $a \parallel b$.
Теперь параллельность доказана, и работает свойство. Углы $ACD$ и $CDB$ — односторонние при $a \parallel b$ и секущей $CD$, поэтому $\angle CDB = 180^\circ-115^\circ = 65^\circ$.
Ответ: $65^\circ$.
Параллельные прямые в задачах: излом, шпалы и размер Земли
Пример
Прямые $a$ и $b$ параллельны, точки $A$ и $K$ лежат на $a$, точки $B$ и $L$ — на $b$, точка $M$ — между прямыми. $\angle KAM = 42^\circ$, $\angle LBM = 31^\circ$. Найдите угол $AMB$.
Решение. Проведем через $M$ прямую $d \parallel a$. По следствию 2 $d \parallel b$. Верхняя часть угла $AMB$ равна $\angle KAM = 42^\circ$: это накрест лежащие углы при $d \parallel a$ и секущей $AM$. Нижняя часть равна $\angle LBM = 31^\circ$: накрест лежащие при $d \parallel b$ и секущей $BM$.
$\angle AMB = 42^\circ + 31^\circ = 73^\circ$.
Ответ: $73^\circ$.
На железной дороге рельсы параллельны, а шпалы перпендикулярны рельсам. Если прямые параллельны, отрезки перпендикуляров между ними равны — это теорема.
Задача
Прямые $a$ и $b$ параллельны, точки $X$ и $Y$ лежат на $a$, $XH \perp b$, $YK \perp b$. Докажите, что $XH = YK$.
Доказательство. 1. $XH \parallel YK$: обе прямые перпендикулярны прямой $b$, а такие прямые не пересекаются.
2. Проведем отрезок $XK$. $\angle YXK = \angle HKX$ как накрест лежащие при $a \parallel b$ и секущей $XK$.
3. $\angle HXK = \angle YKX$ как накрест лежащие при $XH \parallel YK$ и секущей $XK$.
4. $\triangle XHK = \triangle KYX$ по второму признаку: сторона $XK$ общая, прилежащие к ней углы равны. Значит, $XH = YK$. Что и требовалось доказать.
На кальке: пол-оборота вокруг середины $XK$ меняет местами $X$ и $K$, кладет $a$ на $b$ (по аксиоме — точно на $b$), а отрезок $XH$ — на $KY$. Поэтому расстояние между параллельными прямыми можно мерить в любом месте. На железной дороге работает обратное: шпалы держат одну ширину колеи, и рельсы остаются параллельными.
Вернемся к вопросу из начала урока. Эратосфен, хранитель Александрийской библиотеки в III веке до н. э., знал: в полдень летнего солнцестояния в Сиене (сегодня Асуан) вертикальный столб не отбрасывает тени. В тот же момент в Александрии тень столба-гномона показывала, что лучи отклонены от него на $\frac{1}{50}$ полного угла, то есть на $360^\circ : 50 = 7{,}2^\circ$.
Лучи Солнца Эратосфен считал параллельными. Продолжим оба столба вглубь Земли: они пройдут через ее центр. Луч над Сиеной идет по продолжению столба, луч у вершины гномона ему параллелен. Угол у гномона и угол в центре Земли — накрест лежащие при этих лучах и секущей через гномон и центр. По свойству они равны, значит, дуга от Сиены до Александрии составляет $\frac{1}{50}$ окружности Земли. Расстояние между городами считали равным $5000$ стадиев, поэтому длина окружности Земли $5000 \cdot 50 = 250\,000$ стадиев.
Сколько это в километрах
Скрыть
Длина стадия Эратосфена точно неизвестна: оценки — от $157$ до $185$ м, то есть результат от $39$ до $46$ тысяч км. Длина меридиана Земли — около $40\,000$ км. Об опыте мы знаем из пересказа астронома Клеомеда.
Вывод
Признак ведет от углов к параллельности, свойство — обратно, от параллельности к углам. Мост между ними — аксиома: через точку проходит только одна прямая, параллельная данной, поэтому калька, повернутая на пол-оборота, ложится точно на вторую прямую. Свойства понадобятся в уроке о сумме углов треугольника. Главное помнит одна картинка: при $a \parallel b$ у секущей две величины углов, $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$.
Часто задаваемые вопросы
Признак лишь показывает, что прямые не пересекаются. Свойство говорит о любой параллельной прямой, и нужно знать, что другой параллельной через ту же точку нет, — это и есть аксиома.
Нет, пока параллельность не доказана: прямые могут пересекаться, и угол при второй точке может быть любым. Если в условии есть равные накрест лежащие или соответственные углы, сначала докажите параллельность признаком.
Бывают, только если оба равны $90^\circ$: их сумма $180^\circ$, значит, каждый — половина. Тогда секущая перпендикулярна обеим параллельным прямым, как шпала рельсам.
Чертеж показывает кусок плоскости и не доказывает, что прямые не встретятся за краем листа. Лобачевский построил непротиворечивую геометрию, где параллельных через точку несколько. Поэтому единственность принимают как аксиому.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий