Тест: Г7.17

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 2 = 117^\\circ$. Найдите угол $8$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"117"}},"hints":["$\\angle 4 = \\angle 2 = 117^\\circ$ как вертикальные.","Углы $4$ и $8$ — соответственные, при $a \\parallel b$ они равны.","$\\angle 8 = 117^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 1 = 52^\\circ$. Найдите угол $7$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["$\\angle 3 = \\angle 1 = 52^\\circ$ как вертикальные.","Углы $3$ и $7$ — соответственные, при $a \\parallel b$ они равны.","$\\angle 7 = 52^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 3 = 64^\\circ$. Найдите угол $6$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"116"}},"hints":["Углы $3$ и $6$ — внутренние по одну сторону от секущей: односторонние.","При $a \\parallel b$ их сумма равна $180^\\circ$.","$\\angle 6 = 180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 5 = 81^\\circ$. Найдите угол $4$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"99"}},"hints":["Углы $4$ и $5$ — внутренние по одну сторону от секущей: односторонние.","При $a \\parallel b$ их сумма равна $180^\\circ$.","$\\angle 4 = 180^\\circ-81^\\circ = 99^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 7 = 57^\\circ$. Распределите углы по величине.[[grouper-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["$57^\\circ$","$123^\\circ$"],"items":[["$\\angle 1$","$\\angle 3$","$\\angle 5$","$\\angle 7$"],["$\\angle 2$","$\\angle 4$","$\\angle 6$","$\\angle 8$"]]}},"hints":["При $a \\parallel b$ все восемь углов принимают два значения: $\\alpha$ (углы $1$, $3$, $5$, $7$) и $180^\\circ-\\alpha$ (углы $2$, $4$, $6$, $8$).","Здесь $\\alpha = \\angle 7 = 57^\\circ$, $180^\\circ-57^\\circ = 123^\\circ$.","Ответ: по $57^\\circ$ — углы $1$, $3$, $5$, $7$; по $123^\\circ$ — углы $2$, $4$, $6$, $8$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 4 = 141^\\circ$. Распределите углы по величине.[[grouper-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["$141^\\circ$","$39^\\circ$"],"items":[["$\\angle 2$","$\\angle 4$","$\\angle 6$","$\\angle 8$"],["$\\angle 1$","$\\angle 3$","$\\angle 5$","$\\angle 7$"]]}},"hints":["При $a \\parallel b$ все восемь углов принимают два значения: $\\alpha$ (углы $1$, $3$, $5$, $7$) и $180^\\circ-\\alpha$ (углы $2$, $4$, $6$, $8$).","Здесь $180^\\circ-\\alpha = \\angle 4 = 141^\\circ$, $\\alpha = 180^\\circ-141^\\circ = 39^\\circ$.","Ответ: по $141^\\circ$ — углы $2$, $4$, $6$, $8$; по $39^\\circ$ — углы $1$, $3$, $5$, $7$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]Прямые $a$ и $b$ параллельны, $\\angle 2 = 68^\\circ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «$\\angle 4 = \\angle 2$ как вертикальные. При параллельных прямых углы равны, поэтому $\\angle 5 = \\angle 4 = 68^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при параллельных прямых все углы при секущей равны","В первом шаге: углы $2$ и $4$ смежные, $\\angle 4 = 112^\\circ$","Во втором шаге: углы $4$ и $5$ односторонние, $\\angle 5 = 112^\\circ$","Во втором шаге неверно названа пара: углы $4$ и $5$ соответственные, но ответ $68^\\circ$ верный"],"explanations":["Равны накрест лежащие и соответственные; односторонние в сумме дают $180^\\circ$ и равны, только если оба по $90^\\circ$","Углы $2$ и $4$ образованы продолжениями сторон друг друга — это вертикальные углы, первый шаг верен","","У соответственных углов один угол внутренний, другой внешний, а углы $4$ и $5$ оба внутренние и лежат по одну сторону от секущей — это односторонние углы. Их сумма $180^\\circ$, поэтому $68^\\circ$ — неверный ответ"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте каждый шаг: какая пара углов в нем названа и что о ней говорит свойство.","Первый шаг верен: углы $2$ и $4$ вертикальные, $\\angle 4 = 68^\\circ$. Углы $4$ и $5$ — внутренние по одну сторону от секущей, односторонние: их сумма $180^\\circ$.","Ответ: ошибка во втором шаге, углы $4$ и $5$ односторонние, $\\angle 5 = 180^\\circ-68^\\circ = 112^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-8]]Прямые $a$ и $b$ параллельны, $\\angle 8 = 59^\\circ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «$\\angle 6 = \\angle 8$ как вертикальные. При параллельных прямых углы равны, поэтому $\\angle 3 = \\angle 6 = 59^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Во втором шаге неверно названа пара: углы $3$ и $6$ соответственные, но ответ $59^\\circ$ верный","Во втором шаге: углы $3$ и $6$ односторонние, $\\angle 3 = 121^\\circ$","Ошибки нет: при параллельных прямых все углы при секущей равны","В первом шаге: углы $6$ и $8$ смежные, $\\angle 6 = 121^\\circ$"],"explanations":["У соответственных углов один угол внутренний, другой внешний, а углы $3$ и $6$ оба внутренние и лежат по одну сторону от секущей — это односторонние углы. Их сумма $180^\\circ$, поэтому $59^\\circ$ — неверный ответ","","Равны накрест лежащие и соответственные; односторонние в сумме дают $180^\\circ$ и равны, только если оба по $90^\\circ$","Углы $6$ и $8$ образованы продолжениями сторон друг друга — это вертикальные углы, первый шаг верен"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте каждый шаг: какая пара углов в нем названа и что о ней говорит свойство.","Первый шаг верен: углы $6$ и $8$ вертикальные, $\\angle 6 = 59^\\circ$. Углы $3$ и $6$ — внутренние по одну сторону от секущей, односторонние: их сумма $180^\\circ$.","Ответ: ошибка во втором шаге, углы $3$ и $6$ односторонние, $\\angle 3 = 180^\\circ-59^\\circ = 121^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]Задача: прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, $\\angle 4 = \\angle 8$; докажите, что $a \\parallel b$. Решавр пишет: «Прямые параллельны, значит, соответственные углы $4$ и $8$ равны. Следовательно, $a \\parallel b$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pey8zhugscpo.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Решавр пользуется параллельностью, которую требуется доказать","Ошибки нет: при параллельных прямых соответственные углы равны","Задача не решается: нужны накрест лежащие углы","Углы $4$ и $8$ не соответственные"],"explanations":["","Это свойство, и применять его можно, только когда параллельность дана","Признак есть и для соответственных углов","Углы $4$ и $8$ занимают одинаковые места у $A$ и $B$ — соответственные; ошибка не здесь"],"answer":[0]}},"hints":["Что дано и что требуется доказать? Параллельность — то, что надо доказать.","Решавр начинает с параллельности — рассуждение идет по кругу. Достаточно признака: $\\angle 4 = \\angle 8$ — равные соответственные углы, значит, $a \\parallel b$.","Ответ: Решавр использует то, что требуется доказать."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-10]]Задача: прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, $\\angle 2 = \\angle 6$; докажите, что $a \\parallel b$. Решавр пишет: «Прямые параллельны, значит, соответственные углы $2$ и $6$ равны. Следовательно, $a \\parallel b$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pey8zhugscpo.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Углы $2$ и $6$ не соответственные","Задача не решается: нужны накрест лежащие углы","Решавр пользуется параллельностью, которую требуется доказать","Ошибки нет: при параллельных прямых соответственные углы равны"],"explanations":["Углы $2$ и $6$ занимают одинаковые места у $A$ и $B$ — соответственные; ошибка не здесь","Признак есть и для соответственных углов","","Это свойство, и применять его можно, только когда параллельность дана"],"answer":[2]}},"hints":["Что дано и что требуется доказать? Параллельность — то, что надо доказать.","Решавр начинает с параллельности — рассуждение идет по кругу. Достаточно признака: $\\angle 2 = \\angle 6$ — равные соответственные углы, значит, $a \\parallel b$.","Ответ: Решавр использует то, что требуется доказать."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В задаче дано: $a \\parallel b$, секущая $c$, $\\angle 3 = 70^\\circ$. Требуется найти угол $5$. Какое утверждение нужно применить?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Свойство смежных углов","Свойство: при параллельных прямых накрест лежащие углы равны","Аксиому параллельности","Признак параллельности по накрест лежащим углам"],"explanations":["Углы $3$ и $5$ не смежные: у них разные вершины","","Аксиома говорит о единственности параллельной прямой, а не об углах","Признак доказывает параллельность, а она уже дана; найти нужно угол"],"answer":[1]}},"hints":["Признак: условие на углы → прямые параллельны. Свойство: прямые параллельны → вывод об углах.","Параллельность дана, найти нужно угол.","Ответ: свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых."],"step":1},{"id":"6","content":"В задаче дано: прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, $\\angle 4 + \\angle 5 = 180^\\circ$. Требуется доказать, что $a \\parallel b$. Какое утверждение нужно применить?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Аксиому параллельности","Свойство: при параллельных прямых сумма односторонних углов равна $180^\\circ$","Признак параллельности по односторонним углам","Свойство смежных углов"],"explanations":["Аксиома говорит о единственности параллельной прямой, а не об углах","Свойство применимо, только когда параллельность уже дана, а здесь ее надо доказать","","Углы $4$ и $5$ не смежные: у них разные вершины"],"answer":[2]}},"hints":["Признак: условие на углы → прямые параллельны. Свойство: прямые параллельны → вывод об углах.","Параллельность не дана — ее надо доказать; дана сумма односторонних углов.","Ответ: признак параллельности по односторонним углам."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-11]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 4 = (2x + 16)^\\circ$, $\\angle 5 = (3x-6)^\\circ$. Найдите угол $5$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"96"}},"hints":["Углы $4$ и $5$ — односторонние, при $a \\parallel b$ их сумма $180^\\circ$: $2x + 16 + 3x-6 = 180$.","$5x = 170$, $x = 34$.","$\\angle 5 = 3 \\cdot 34-6 = 96^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-12]]Прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$ (см. рисунок), $\\angle 3 = (4x-10)^\\circ$, $\\angle 6 = (x + 15)^\\circ$. Найдите угол $6$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dcs5jv98muca.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Углы $3$ и $6$ — односторонние, при $a \\parallel b$ их сумма $180^\\circ$: $4x-10 + x + 15 = 180$.","$5x = 175$, $x = 35$.","$\\angle 6 = 35 + 15 = 50^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-13]]Прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рисунок), $\\angle KAM = 28^\\circ$, $\\angle LBM = 47^\\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fwauztk3icmr.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"75"}},"hints":["Проведем через $M$ прямую $d \\parallel a$; тогда и $d \\parallel b$ (две прямые, параллельные третьей).","Прямая $d$ делит угол $AMB$ на углы, равные $\\angle KAM$ и $\\angle LBM$ (накрест лежащие).","$\\angle AMB = 28^\\circ + 47^\\circ = 75^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-14]]Прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рисунок), $\\angle KAM = 54^\\circ$, $\\angle LBM = 63^\\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fwauztk3icmr.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"117"}},"hints":["Проведем через $M$ прямую $d \\parallel a$; тогда и $d \\parallel b$ (две прямые, параллельные третьей).","Прямая $d$ делит угол $AMB$ на углы, равные $\\angle KAM$ и $\\angle LBM$ (накрест лежащие).","$\\angle AMB = 54^\\circ + 63^\\circ = 117^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $c$ пересекает прямую $a$. Что можно сказать о прямых $c$ и $b$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$c \\perp b$","Прямая $c$ пересекает прямую $b$","Может быть по-разному","$c \\parallel b$"],"explanations":["Угол между $c$ и $b$ равен углу между $c$ и $a$, а он может быть любым","","По следствию аксиомы $c$ обязательно пересекает $b$","Тогда через точку пересечения $c$ и $a$ прошли бы две прямые, параллельные $b$, — противоречие с аксиомой"],"answer":[1]}},"hints":["Следствие аксиомы: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.","Иначе через точку пересечения $c$ и $a$ прошли бы две прямые, параллельные $b$.","Ответ: $c$ пересекает $b$."],"step":1},{"id":"9","content":"Различные прямые $m$ и $n$ параллельны прямой $k$. Что можно сказать о прямых $m$ и $n$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Может быть по-разному","$m$ и $n$ пересекаются","$m \\parallel n$","$m \\perp n$"],"explanations":["По следствию аксиомы две прямые, параллельные третьей, параллельны","Тогда через точку пересечения прошли бы две прямые, параллельные $k$, — противоречие с аксиомой","","Перпендикулярные прямые пересекаются, а это противоречит аксиоме"],"answer":[2]}},"hints":["Следствие аксиомы: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.","Если бы $m$ и $n$ пересекались, через точку пересечения прошли бы две прямые, параллельные $k$.","Ответ: $m \\parallel n$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-15]]Прямые $a$ и $b$ параллельны, точки $X$ и $Y$ лежат на $a$, $XH \\perp b$, $YK \\perp b$, проведен отрезок $YH$ (см. рисунок). Расставьте шаги доказательства того, что $XY = HK$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ytrz4hndkrkk.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$XH \\parallel YK$, так как обе прямые перпендикулярны прямой $b$","$\\angle XYH = \\angle KHY$ как накрест лежащие при $a \\parallel b$ и секущей $YH$; $\\angle XHY = \\angle KYH$ как накрест лежащие при $XH \\parallel YK$ и секущей $YH$","$\\triangle XYH = \\triangle KHY$ по второму признаку: сторона $YH$ общая, прилежащие к ней углы равны","Значит, $XY = HK$"]}},"hints":["Нужны равные треугольники с общей стороной $YH$: $\\triangle XYH$ и $\\triangle KHY$. Для второй пары углов понадобится $XH \\parallel YK$.","$XH \\parallel YK$, так как обе прямые перпендикулярны $b$. Тогда $\\angle XYH = \\angle KHY$ (накрест лежащие при $a \\parallel b$) и $\\angle XHY = \\angle KYH$ (накрест лежащие при $XH \\parallel YK$).","Ответ: $XH \\parallel YK$ → две пары накрест лежащих углов → $\\triangle XYH = \\triangle KHY$ → $XY = HK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Прямые $a$ и $b$ параллельны, секущая пересекает их в точках $A$ и $B$, $O$ — середина отрезка $AB$. Прямая, проходящая через $O$, пересекает $a$ в точке $C$, а $b$ — в точке $D$. Расставьте шаги доказательства того, что $AD \\parallel BC$, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$OA = OB$, так как $O$ — середина $AB$; $\\angle AOC = \\angle BOD$ как вертикальные; $\\angle OAC = \\angle OBD$ как накрест лежащие при $a \\parallel b$ и секущей $AB$","$\\triangle AOC = \\triangle BOD$ по второму признаку, значит, $OC = OD$","$\\triangle AOD = \\triangle BOC$ по первому признаку: $OA = OB$, $OD = OC$, $\\angle AOD = \\angle BOC$ как вертикальные","$\\angle OAD = \\angle OBC$ как соответствующие углы равных треугольников","$AD \\parallel BC$ по признаку: накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны"]}},"hints":["Сначала свойство: параллельность $a$ и $b$ дана, из нее — равные углы и $\\triangle AOC = \\triangle BOD$. В конце признак: параллельность $AD$ и $BC$ требуется доказать.","Из $\\triangle AOC = \\triangle BOD$ следует $OC = OD$; тогда $\\triangle AOD = \\triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними, и $\\angle OAD = \\angle OBC$ — накрест лежащие при прямых $AD$, $BC$ и секущей $AB$.","Ответ: равенства для $\\triangle AOC$ и $\\triangle BOD$ → $OC = OD$ → $\\triangle AOD = \\triangle BOC$ → $\\angle OAD = \\angle OBC$ → $AD \\parallel BC$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>