Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Треугольник. Первый признак равенства треугольников

Содержание

    Возьмем и отметим на плоскости три точки — $A$, $B$ и $C$ — таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой. Соединим их, получив в результате отрезки $AB$, $BC$ и $CA$. Фигура, образованная данными отрезками, будет называться «треугольник». Сегодня мы с вами ознакомимся с основными свойствами данной фигуры и узнаем, что такое первый признак равенства треугольников.

    Что такое треугольник

    Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки.

    Чтобы было удобнее говорить о том, что «происходит» вокруг фигуры, в геометрии вводятся понятия сторон и вершин.

    Вершины — это точки отрезков, получаемые вследствие пересечения прямых. Посмотрите на чертеж: здесь вершины — точки $A$, $B$ и $C$. Стороны — это отрезки: $AB$, $BC$ и $CA$.

    При пересечении прямые образуют три угла (еще бы, фигура ведь называется треугольником!): $\angle{CAB}$, $\angle{ABC}$, $\angle{BCA}$.

    Обозначения треугольника

    Как вы помните, в геометрической нотации приняты удобные сокращения. Мы с вами уже имели дело с обозначением перпендикулярности — «$\perp$», а также с обозначением угла — «$\angle$».

    У треугольника имеется свой значок и выглядит он так: «$\bigtriangleup$». К примеру треугольник выше с вершинами $A, B$ и $C$ в краткой записи обозначается $\bigtriangleup{ABC}$.

    Периметр треугольника

    Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с заданными длинами сторон: $AB=3$, $BC=3.5$, $CA=4$. Мы упомянули ранее, что если сложить величины сторон, то в итоге мы получим периметр — сумму длин сторон фигуры. Периметр $P_{\bigtriangleup{ABC}}=3+3.5+4=10.5$.

    Положим, что существует треугольник $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ со сторонами $A_{1}B_1=6$, $B_{1}C_1=2$, $C_{1}A_1=2.5$. Периметр $P_1$ треугольника $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ также равняется $10.5$.

    Условие: $P_{\bigtriangleup{ABC}}=P_{\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}}$.
    Равны ли при этом треугольники? Нет.

    Многие ошибочно принимают равенство периметров за единственно достаточное условие равенства фигур. Говорить о равенстве фигур, в нашем случае — треугольников, возможно только в том случае, когда фигуры полностью соответствуют друг другу: длины их сторон попарно равны, ровно так же, как и углы.

    Если равны треугольники, то равны их периметры: в равных треугольниках — равные стороны. Наоборот это не работает.

    Если совмещать друг с другом углы и стороны и получать при этом равные величины, можно говорить о равенстве фигур. Однако оказывается, что на практике для определения равенства треугольников не обязательно знать каждый угол и каждую сторону каждого треугольника.

    Периметр: решим задачу!

    Треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ имеет следующие длины сторон: $AB=5,$ $BC=4,$ $CA=6$. Известно, что $P_{\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $P_{\bigtriangleup{DEF}}$. В треугольнике $\bigtriangleup{DEF}$ известны длины следующих сторон: $DE=4$ и $EF=7$. Чему равняется сторона $FD$?

    Дано:
    $\bigtriangleup{ABC}, \bigtriangleup{DEF}$
    $AB=5$
    $BC=4$
    $CA=6$
    $DE=4$
    $EF=7$
    $P_{\bigtriangleup{ABC}}=P_{\bigtriangleup{DEF}}$

    Найти:
    $FD =~?$

    Решение
    Определим значение периметра $P_{\bigtriangleup{ABC}}$. Для этого необходимо сложить величины его сторон, заданные условием задачи:

    $$P_{\bigtriangleup{ABC}}=AB+BC+CA=5+4+6=15$$

    Также по условию нам известно, что периметр $P_{\bigtriangleup{DEF}}$ равен периметру треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Следовательно, $P_{\bigtriangleup{DEF}}=15$. Периметр — сумма сторон, две из которых в треугольнике $\bigtriangleup{DEF}$ нам даны: $DE=4$ и $EF=7$. Остается решить простое уравнение:

    $$P_{\bigtriangleup{DEF}}=DE+EF+x$$

    Откуда находим, что $x=4$. Значит, сторона $FD$ равняется $4$.

    Ответ: 4.

    Первый признак равенства треугольников

    Теорема. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Пусть имеется треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с заданными сторонами $AB$ и $AC$ с углом $\angle{BAC}$ между ними.

    Пусть также имеется треугольник $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$ с заданными сторонами $A_{1}B_1$ и $A_{1}C_1$ и углом $\angle{B_{1}A_{1}C_1}$.

    Опираясь на признаки равенства треугольников, если $AB=A_{1}B_1$, $AC=A_{1}C_1$ и $\angle{BAC}=\angle{B_{1}A_{1}C_1}$, то $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. Докажем это.

    Доказательство

    Поскольку $\angle{BAC}=\angle{B_{1}A_{1}C_1}$, то соответствующие треугольники можно наложить друг на друга, совмещая вершины $A$ и $A_1$. При этом стороны $AB$ и $AC$ совместятся со сторонами $A_{1}B_1$ и $A_{1}C_1,$ согласно условию теоремы о равенстве величин пар сторон.

    Вершины $B$ и $C$ при этом совместятся с вершинами $B_1$ и $C_1$, а это значит, что все вершины треугольников $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$ полностью совмещены. Следовательно, треугольники равны. Теорема доказана.

    Первый признак равенства треугольников: задача!

    Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что точка $O$ делит данные отрезки ровно пополам. Известно, что длина отрезка $AC$ равняется $10$. Чему равняется отрезок $DB$?

    Дано:

    $AO=OB$
    $CO=OD$
    $AC=10$

    Найти:

    $DB =~?$

    Решение
    Рассмотрим $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BOD}$. Согласно условию, отрезки $CO$ и $OD$ равны — равны также отрезки $AO$ и $OB$.

    Углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$ — вертикальные, следовательно равные.

    По теореме о первом признаке равенства треугольников имеем, что $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BOD}$ равны: две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого.

    Из равенства треугольников $AOC$ и $BOD$ следует, что стороны $AC$ и $DB$ равны.

    Первый признак равенства треугольников: еще задача!

    Имеется два треугольника $\bigtriangleup{ACD}$ и $\bigtriangleup{ACB}$ c общим основанием $AC$, со сторонами, пересекающимися в точке $O$.

    Точка $O$ делит стороны заданных треугольников пополам. Известно, что $\angle{CDA}=74^{\circ}$ и $\angle{ACD}=36^{\circ}$. Чему равен $\angle{ACB}$?

    Дано:

    $\bigtriangleup{ACD}, \bigtriangleup{ACB}$
    $DO=OC$
    $AO=OB$
    $\angle{CDA}=74^{\circ}$
    $\angle{ACD}=36^{\circ}$

    Найти:

    $\angle{ACB} =~?$

    Решение
    Рассмотрим $\bigtriangleup{AOD}$ и $\bigtriangleup{BOC}$. Треугольники равны по теореме о первом признаке равенства треугольников: сторона $AO$ равна стороне $OB$, сторона $DO$ равна стороне $OC$, $\angle{AOD}=\angle{BOC}$ как вертикальные.

    Известно, что в $\bigtriangleup{AOD}$ угол $\angle{ODA}=74^{\circ}$. Из равенства треугольников выходит, что $\angle{ODA}=\angle{OCB}$. Следовательно, имеем следующее:

    $$\angle{ACB}=\angle{ACD}+\angle{OCB}=36^{\circ}+74^{\circ}$$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение