Карточки
Тесты
Зави
Равные треугольники. Первый признак равенства
Треугольник. Равные треугольники. Первый признак равенства
С треугольником вы познакомились еще в 5 классе, в уроке «Отрезок, длина отрезка, треугольник». В уроке «Длина отрезка. Равные отрезки» мы договорились: равные фигуры — те, что совпадают при наложении. В этом уроке дадим треугольнику точное определение, разберем, как записывать равенство треугольников, и докажем первый признак их равенства.
Вопрос для начала. Чтобы проверить, что два треугольника равны, кажется, надо сравнить шесть пар элементов: три пары сторон и три пары углов. Евклид в «Началах» (книга I, предложение 4) обошелся тремя парами. Какими — и почему их хватает? Ответим по ходу урока, а итог подведем в последнем разделе.
Треугольник — это три точки не на одной прямой и три отрезка
Отметьте на листе три точки $A$, $B$, $C$ так, чтобы они не лежали на одной прямой, и соедините каждые две отрезком. Получились отрезки $AB$, $BC$ и $CA$ — это треугольник $ABC$. Его записывают так: $\triangle ABC$.
Теперь поставьте точку $C$ на отрезок $AB$ и снова проведите три отрезка. Отрезки $AC$ и $CB$ лягут на отрезок $AB$ и вместе дадут его же. Треугольника не получилось: все три точки лежат на одной прямой.
Определение
Треугольник — фигура из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называют вершинами, отрезки — сторонами треугольника.
У треугольника $ABC$ три угла: $\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle BCA$. Когда понятно, о каком угле речь, пишут короче: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Сумму длин сторон называют периметром треугольника — как у любого многоугольника из урока «Ломаная. Многоугольник. Периметр».
Сторона $BC$ не проходит через вершину $A$. Говорят, что сторона $BC$ лежит против угла $A$ (она противолежащая). Концы стороны $BC$ — вершины $B$ и $C$, поэтому углы $B$ и $C$ прилежат к стороне $BC$.
| Сторона | Против нее лежит | К ней прилежат |
|---|---|---|
| $BC$ | $\angle A$ | $\angle B$ и $\angle C$ |
| $AC$ | $\angle B$ | $\angle A$ и $\angle C$ |
| $AB$ | $\angle C$ | $\angle A$ и $\angle B$ |
Эти названия понадобятся при наложении: чтобы сказать, какая сторона на какую легла, надо знать, против какого угла она лежит.
Порядок букв в записи говорит, какая вершина на какую ложится
Переведите треугольник $ABC$ на кальку и положите кальку на другой треугольник. Если удалось совместить их полностью, треугольники равны. При этом каждая вершина легла на какую-то вершину второго треугольника, каждая сторона — на сторону, каждый угол — на угол. Если копия совпала только после того, как кальку перевернули, треугольники все равно равны: так мы совмещали фигуры в уроке «Осевая симметрия».
Определение
Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением. Стороны и углы, которые совпали при наложении, называют соответственными.
В записи $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ вершины перечислены в порядке совпадения: $A$ ложится на $A_1$, $B$ — на $B_1$, $C$ — на $C_1$. В равных треугольниках соответственные стороны и углы равны, а против соответственно равных сторон лежат равные углы.
Почему против равных сторон лежат равные углы? Если сторона $AC$ легла на $A_1C_1$, то третья вершина $B$ легла на третью вершину $B_1$, и угол $B$ совпал с углом $B_1$.
Пример
Известно, что $\triangle EFG = \triangle PRS$, $EF = 6$ см, $FG = 8$ см, $\angle G = 35^\circ$. Найдите $PR$, $RS$ и угол $S$.
Решение. По записи $E$ ложится на $P$, $F$ — на $R$, $G$ — на $S$. Стороне $EF$ соответствует $PR$, стороне $FG$ — сторона $RS$, углу $G$ — угол $S$. Значит, $PR = 6$ см, $RS = 8$ см, $\angle S = 35^\circ$.
Ответ: $6$ см, $8$ см, $35^\circ$.
Ошибка
Известно, что $\triangle ABC = \triangle DEF$, второй треугольник нарисован перевернутым. Решавр рассуждает: «Сторона $BC$ нарисована справа, сторона $DE$ тоже справа, значит, $BC = DE$».
Проверим по буквам. В записи $B$ стоит на втором месте, как и $E$, а $C$ — на третьем, как и $F$. Значит, стороне $BC$ соответствует $EF$. Наложение это подтверждает: чтобы совместить треугольники, кальку с $\triangle ABC$ надо перевернуть, и правая сторона $BC$ ляжет на левую сторону $EF$. А сторона $DE$ совпадет с $AB$.
Где сломалось рассуждение: соответствие задает порядок букв в записи, а не место на листе.
Трех пар хватит: угол между двумя сторонами закрепляет треугольник
Сравнивать все шесть пар долго, а в задаче кальки и вовсе нет. Поищем, какие три пары гарантируют, что наложение удастся.
Скрепите две планки длиной 5 и 4 дм шарниром в точке $A$. Пока шарнир свободен, планки можно раздвигать, и расстояние между их концами $B$ и $C$ меняется. Теперь закрепите угол между планками, например $60^\circ$. Концы больше не сдвинуть: третья сторона $BC$ получилась одна-единственная. Две стороны и угол между ними закрепили весь треугольник.
Теорема (первый признак равенства треугольников)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Шаг 1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с $A_1$, а луч $AB$ пошел по лучу $A_1B_1$.
Шаг 2. Если точка $C$ оказалась по другую сторону от прямой $A_1B_1$, чем $C_1$, перевернем кальку по этой прямой. Углы $A$ и $A_1$ равны, поэтому луч $AC$ пойдет по лучу $A_1C_1$.
Шаг 3. $AB = A_1B_1$, поэтому точка $B$ совместится с $B_1$. $AC = A_1C_1$, поэтому точка $C$ совместится с $C_1$.
Шаг 4. Через две точки проходит только одна прямая, поэтому сторона $BC$ совместится с $B_1C_1$. Треугольники совместились, значит, они равны. Что и требовалось доказать.
Шаги доказательства — то же, что шарнир: равный угол направляет лучи, равные стороны отмеряют на них точки, и для третьей стороны выбора не остается.
Интересный факт: признак, который стал аксиомой
Скрыть
Евклид доказывал первый признак наложением, как мы. Позже математики заметили, что слово «наложить» в «Началах» не определено. Давид Гильберт в книге «Основания геометрии» (1899) поступил иначе: почти весь первый признак он принял за аксиому — утверждение без доказательства. По его аксиоме из равенства двух сторон и угла между ними следует равенство остальных углов, а равенство третьих сторон Гильберт уже доказывает.
Угол должен лежать между сторонами
В признаке важно слово между. Угол лежит между двумя сторонами, если его вершина — общий конец этих сторон: между $AB$ и $AC$ лежит $\angle A$, между $AB$ и $BC$ — $\angle B$. Посмотрим, что будет, если взять две стороны и угол, который между ними не лежит.
Пусть $AB = 6$, $BC = 4$, $\angle A = 30^\circ$. Проведем луч из $A$ под углом $30^\circ$ к $AB$. Точка $C$ лежит на этом луче на расстоянии 4 от $B$. Окружность с центром $B$ радиуса 4 пересекает луч в двух точках, и обе подходят. На рисунке слева взята дальняя точка, справа — ближняя.
Ошибка
В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1 = 6$, $BC = B_1C_1 = 4$, $\angle A = \angle A_1 = 30^\circ$. Решавр пишет: «Две стороны и угол равны, значит, треугольники равны по первому признаку».
Проверим на числах. На рисунке выше оба треугольника имеют ровно такие данные, но $AC \approx 7{,}8$, а $A_1C_1 \approx 2{,}6$. Треугольники разные — калька с данными элементами ложится двумя способами.
Где сломалось рассуждение: угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC$, а дана сторона $BC$. В доказательстве признака не проходит шаг 3: длина $AC$ неизвестна, и точка $C$ на луче не закреплена.
Важно
Прежде чем ссылаться на первый признак, найдите общую вершину двух данных сторон. Равный угол должен быть именно при ней.
Как записать доказательство равенства треугольников
В задаче на доказательство кальки нет, и «на чертеже видно» — не довод. Признак заменяет наложение: если три пары элементов равны и угол лежит между сторонами, наложение обязательно удастся. Каждую пару нужно обосновать: равенство дано в условии, сторона общая или углы вертикальные.
Как оформить доказательство
Дано — Доказать — Доказательство:
1) назвать два треугольника, в которых лежат нужные элементы;
2) выписать три пары равных элементов, у каждой — причина в скобках;
3) проверить, что угол лежит между сторонами, и назвать признак;
4) сделать вывод о соответственных элементах.
Пример 1
Отрезки $EF$ и $KL$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Докажите, что $EK = FL$.
Дано: $EO = OF$, $KO = OL$. Доказать: $EK = FL$.
Доказательство. Рассмотрим треугольники $EOK$ и $FOL$.
1) $EO = OF$ (по условию); 2) $KO = OL$ (по условию); 3) $\angle EOK = \angle FOL$ (как вертикальные).
Угол $O$ лежит между сторонами $EO$ и $OK$, поэтому $\triangle EOK = \triangle FOL$ по первому признаку. Значит, $EK = FL$ как соответственные стороны. Что и требовалось доказать.
Пример 2
Точки $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $PK$, $PM = PN$, $\angle MPK = \angle NPK$. Докажите, что $\angle PMK = \angle PNK$.
Дано: $PM = PN$, $\angle MPK = \angle NPK$. Доказать: $\angle PMK = \angle PNK$.
Доказательство. Рассмотрим треугольники $MPK$ и $NPK$.
1) $PM = PN$ (по условию); 2) $\angle MPK = \angle NPK$ (по условию); 3) $PK$ — общая сторона.
Угол $P$ лежит между сторонами $PM$ и $PK$, поэтому $\triangle MPK = \triangle NPK$ по первому признаку. Углы $PMK$ и $PNK$ лежат против общей стороны $PK$, значит, это соответственные углы и $\angle PMK = \angle PNK$. Что и требовалось доказать.
Вот и ответ на вопрос из начала урока. Три пары, которых достаточно, — две стороны и угол между ними. Сравнивать остальные три пары не нужно: признак гарантирует, что наложение удастся, а после этого равны и все остальные соответственные элементы.
Вывод
Первый признак — главный инструмент геометрии 7 класса: с его помощью доказывают равенство отрезков и углов, свойства равнобедренного треугольника и другие признаки. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте кальку.
Часто задаваемые вопросы
Порядок букв показывает, какая вершина на какую ложится при наложении. Из записи $\triangle ABC = \triangle KMN$ следует $AC = KN$ и $\angle B = \angle M$. Если переставить буквы, запись станет утверждать другие равенства, и они могут оказаться неверными.
Нет. Нарисуйте треугольник и его увеличенную вдвое копию: углы у них одинаковые, а стороны разные. Наложение не удастся, хотя форма одна и та же.
Нельзя. Чертеж может быть неточным, а равенство на глаз ничего не гарантирует. Каждое равенство обосновывают: оно дано в условии, сторона общая, углы вертикальные или равенство следует из признака.
Доказательство показывает, почему хватает именно трех пар и почему угол должен лежать между сторонами. Без угла между сторонами шаг 3 не проходит, и это видно на контрпримере с двумя разными треугольниками.
Не обязательно: они могут оказаться и равными, и разными. Первый признак в этом случае просто нельзя применить. Какие еще данные гарантируют равенство, разберем в уроке о втором и третьем признаках.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий