Равные треугольники. Первый признак равенства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какой угол треугольника $PQR$ лежит против стороны $PR$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle P$","$\\angle R$","$\\angle P$ и $\\angle R$","$\\angle Q$"],"explanations":["Угол $P$ прилежит к стороне $PR$: $P$ — ее конец","Угол $R$ прилежит к стороне $PR$: $R$ — ее конец","Это углы, прилежащие к стороне $PR$, а против стороны лежит один угол",""],"answer":[3]}},"hints":["Против стороны лежит угол при вершине, которая не является концом этой стороны.","Концы стороны $PR$ — $P$ и $R$.","Ответ: $\\angle Q$."],"step":1},{"id":"1","content":"Какие углы треугольника $DEF$ прилежат к стороне $EF$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\angle D$ и $\\angle E$","$\\angle E$ и $\\angle F$","Только $\\angle D$","$\\angle D$ и $\\angle F$"],"explanations":["Угол $D$ не содержит сторону $EF$","","Угол $D$ лежит против стороны $EF$","Угол $D$ не содержит сторону $EF$"],"answer":[1]}},"hints":["К стороне прилежат углы, вершины которых — концы этой стороны.","Концы стороны $EF$ — $E$ и $F$.","Ответ: $\\angle E$ и $\\angle F$."],"step":1},{"id":"2","content":"Известно, что $\\triangle ABC = \\triangle MNP$, $MN = 5$ см, $NP = 7$ см, $MP = 9$ см. Найдите длину стороны $AC$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["По записи: $A \\to M$, $B \\to N$, $C \\to P$.","Стороне $AC$ соответствует сторона $MP$.","$AC = MP = 9$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Известно, что $\\triangle DEF = \\triangle STU$, $ST = 4$ см, $TU = 6$ см, $SU = 8$ см. Найдите длину стороны $EF$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["По записи: $D \\to S$, $E \\to T$, $F \\to U$.","Стороне $EF$ соответствует сторона $TU$.","$EF = TU = 6$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-1]]Известно, что $\\triangle ABC = \\triangle KLM$; второй треугольник нарисован перевернутым. Какой угол треугольника $KLM$ равен углу $B$?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hk4lfbgpfqhx.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\angle K$","$\\angle L$","Определить нельзя без транспортира","$\\angle M$"],"explanations":["Угол $K$ стоит на рисунке там же, где угол $B$ (справа внизу), но по записи $K$ соответствует $A$","","Измерять не нужно: порядок букв в записи равенства задает пары углов","По записи $M$ соответствует $C$"],"answer":[1]}},"hints":["Соответствие задает порядок букв: $A \\to K$, $B \\to L$, $C \\to M$.","Угол $B$ соответствует углу при вершине $L$.","Ответ: $\\angle L$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-2]]Известно, что $\\triangle DEF = \\triangle STU$; второй треугольник нарисован перевернутым. Какая сторона треугольника $STU$ равна стороне $EF$?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/icktfglmvqz2.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$SU$","Определить нельзя без измерения","$ST$","$TU$"],"explanations":["Сторона $SU$ соответствует стороне $DF$","Измерять не нужно: порядок букв в записи равенства задает пары сторон","Сторона $ST$ нарисована справа, как $EF$, но по записи она соответствует стороне $DE$",""],"answer":[3]}},"hints":["Соответствие задает порядок букв: $D \\to S$, $E \\to T$, $F \\to U$.","Стороне $EF$ соответствует сторона $TU$.","Ответ: $TU$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какой набор равенств позволяет доказать, что треугольники $KLM$ и $K_1L_1M_1$ равны по первому признаку?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$, $\\angle K = \\angle K_1$","$\\angle K = \\angle K_1$, $\\angle L = \\angle L_1$, $\\angle M = \\angle M_1$","$KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$, $\\angle L = \\angle L_1$","$KL = K_1L_1$, $KM = K_1M_1$, $\\angle M = \\angle M_1$"],"explanations":["Угол $K$ не лежит между сторонами $KL$ и $LM$","Три равных угла не гарантируют равенства: треугольники могут быть разного размера","","Между сторонами $KL$ и $KM$ лежит угол $K$, а не $M$"],"answer":[2]}},"hints":["Нужны две стороны и угол между ними.","Стороны $KL$ и $LM$ сходятся в вершине $L$: угол между ними — $\\angle L$.","Ответ: $KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$, $\\angle L = \\angle L_1$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какой набор равенств позволяет доказать, что треугольники $DEF$ и $D_1E_1F_1$ равны по первому признаку?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle D = \\angle D_1$, $\\angle E = \\angle E_1$, $\\angle F = \\angle F_1$","$DE = D_1E_1$, $DF = D_1F_1$, $\\angle D = \\angle D_1$","$DE = D_1E_1$, $EF = E_1F_1$, $\\angle F = \\angle F_1$","$DE = D_1E_1$, $DF = D_1F_1$, $\\angle E = \\angle E_1$"],"explanations":["Три равных угла не гарантируют равенства: треугольники могут быть разного размера","","Между сторонами $DE$ и $EF$ лежит угол $E$, а не $F$","Угол $E$ не лежит между сторонами $DE$ и $DF$"],"answer":[1]}},"hints":["Нужны две стороны и угол между ними.","Стороны $DE$ и $DF$ сходятся в вершине $D$: угол между ними — $\\angle D$.","Ответ: $DE = D_1E_1$, $DF = D_1F_1$, $\\angle D = \\angle D_1$."],"step":1},{"id":"5","content":"Известно, что $\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$, $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $A_1C_1 = 8$ см. Найдите периметр треугольника $A_1B_1C_1$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["В равных треугольниках соответственные стороны равны: $A_1B_1 = AB = 5$ см, $B_1C_1 = BC = 7$ см.","$P = 5 + 7 + 8 = 20$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Известно, что $\\triangle KLM = \\triangle K_1L_1M_1$, $KL = 6$ см, $L_1M_1 = 9$ см, $KM = 10$ см. Найдите периметр треугольника $KLM$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["$LM = L_1M_1 = 9$ см как соответственные стороны.","$P = 6 + 9 + 10 = 25$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. В доказательстве записано: $\\angle AOB = \\angle DOC$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["как вертикальные","как смежные","по условию","общий угол"],"answer":0}},"hints":["Лучи $OA$ и $OD$ дополняют друг друга до прямой, лучи $OB$ и $OC$ — тоже.","Значит, углы $AOB$ и $DOC$ вертикальные.","Ответ: как вертикальные."],"step":1},{"id":"6","content":"Луч $EG$ делит угол $FEH$ на два равных угла. В доказательстве равенства треугольников $FEG$ и $HEG$ записано: $\\angle FEG = \\angle HEG$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["по условию","как вертикальные","как смежные","общий угол"],"answer":0}},"hints":["Луч $EG$ делит угол $FEH$ на углы $FEG$ и $HEG$, и в условии сказано, что они равны.","У этих углов общая сторона $EG$, поэтому они не вертикальные; смежные углы дают в сумме $180^\\circ$, но не обязаны быть равными.","Ответ: по условию."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]Отрезки $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $O$, $MO = ON$, $PO = OK$. Расставьте шаги доказательства равенства $MP = NK$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gw0lbujevbiv.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Рассмотрим треугольники $MOP$ и $NOK$","$MO = ON$ и $PO = OK$ (по условию), $\\angle MOP = \\angle NOK$ (как вертикальные)","$\\triangle MOP = \\triangle NOK$ по первому признаку","Значит, $MP = NK$ как соответственные стороны"]}},"hints":["Отрезки $MP$ и $NK$ — стороны треугольников $MOP$ и $NOK$.","Сначала пары равных элементов с причинами, затем признак, затем вывод.","Ответ: треугольники $MOP$ и $NOK$ → пары → признак → $MP = NK$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]В треугольниках $ABD$ и $CBD$: $AB = CB$, $\\angle ABD = \\angle CBD$. Расставьте шаги доказательства равенства $AD = CD$ по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ofuc5drviqga.svg"},"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$","$AB = CB$, $\\angle ABD = \\angle CBD$ (по условию), $BD$ — общая сторона","$\\triangle ABD = \\triangle CBD$ по первому признаку","Значит, $AD = CD$ как соответственные стороны"]}},"hints":["Отрезки $AD$ и $CD$ — стороны треугольников $ABD$ и $CBD$.","Сначала пары равных элементов с причинами, затем признак, затем вывод.","Ответ: треугольники $ABD$ и $CBD$ → пары → признак → $AD = CD$."],"step":1},{"id":"8","content":"Отрезки $MK$ и $PT$ пересекаются в точке $O$, $MO = OK$, $PO = OT$, $\\angle OMP = 40^\\circ$, $\\angle OPM = 75^\\circ$. Найдите угол $OKT$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["$\\triangle MOP = \\triangle KOT$ по первому признаку: $MO = OK$, $PO = OT$ (по условию), $\\angle MOP = \\angle KOT$ (как вертикальные).","По записи $M \\to K$, $O \\to O$, $P \\to T$, поэтому углу $OMP$ соответствует угол $OKT$.","$\\angle OKT = \\angle OMP = 40^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точки $L$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $KM$. В треугольниках $KLM$ и $KNM$: $KL = KN$, $\\angle LKM = \\angle NKM$, $\\angle KLM = 70^\\circ$, $\\angle KML = 45^\\circ$. Найдите угол $KNM$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["$\\triangle KLM = \\triangle KNM$ по первому признаку: $KL = KN$, $\\angle LKM = \\angle NKM$ (по условию), $KM$ — общая сторона.","По записи $K \\to K$, $L \\to N$, $M \\to M$, поэтому углу $KLM$ соответствует угол $KNM$.","$\\angle KNM = \\angle KLM = 70^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно: $AB = A_1B_1$. Какие две пары равенств можно добавить, чтобы треугольники были равны по первому признаку? Выберите все верные варианты.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$BC = B_1C_1$ и $\\angle B = \\angle B_1$","$AC = A_1C_1$ и $\\angle A = \\angle A_1$","$AC = A_1C_1$ и $\\angle B = \\angle B_1$","$BC = B_1C_1$ и $\\angle C = \\angle C_1$"],"explanations":["","","Общая вершина сторон $AB$ и $AC$ — $A$; угол $B$ не лежит между ними, с такими данными бывают два разных треугольника","Общая вершина сторон $AB$ и $BC$ — $B$; угол $C$ не лежит между ними"],"answer":[0,1]}},"hints":["Данная сторона $AB$ подходит с углом при любом своем конце: при $A$ или при $B$.","Угол при $B$ лежит между $AB$ и $BC$, угол при $A$ — между $AB$ и $AC$.","Ответ: $BC = B_1C_1$ и $\\angle B = \\angle B_1$; $AC = A_1C_1$ и $\\angle A = \\angle A_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольниках $KMP$ и $K_1M_1P_1$ известно: $KM = K_1M_1$. Какие две пары равенств можно добавить, чтобы треугольники были равны по первому признаку? Выберите все верные варианты.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$KP = K_1P_1$ и $\\angle M = \\angle M_1$","$MP = M_1P_1$ и $\\angle P = \\angle P_1$","$KP = K_1P_1$ и $\\angle K = \\angle K_1$","$MP = M_1P_1$ и $\\angle M = \\angle M_1$"],"explanations":["Общая вершина сторон $KM$ и $KP$ — $K$; угол $M$ не лежит между ними, с такими данными бывают два разных треугольника","Общая вершина сторон $KM$ и $MP$ — $M$; угол $P$ не лежит между ними","",""],"answer":[2,3]}},"hints":["Данная сторона $KM$ подходит с углом при любом своем конце: при $K$ или при $M$.","Угол при $M$ лежит между $KM$ и $MP$, угол при $K$ — между $KM$ и $KP$.","Ответ: $MP = M_1P_1$ и $\\angle M = \\angle M_1$; $KP = K_1P_1$ и $\\angle K = \\angle K_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$, $BO = OD$, $AC = 12$ см, $BD = 10$ см, $AB = 7$ см. Найдите периметр треугольника $COD$ в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yivpdjf8q4qv.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку: $AO = OC$, $BO = OD$, $\\angle AOB = \\angle COD$ (как вертикальные). Значит, $CD = AB = 7$ см.","$CO = 12 : 2 = 6$ см, $OD = 10 : 2 = 5$ см.","$P = 6 + 5 + 7 = 18$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]В треугольниках $ABC$ и $ADC$: $AB = AD = 8$ см, $\\angle BAC = \\angle DAC$, $BC = 6$ см, $AC = 9$ см. Найдите периметр треугольника $ADC$ в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ff6ppqejndzp.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"23"}},"hints":["$\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по первому признаку: $AB = AD$, $\\angle BAC = \\angle DAC$, $AC$ — общая сторона.","Значит, $DC = BC = 6$ см.","$P = 8 + 6 + 9 = 23$ см."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>