Второй и третий признаки равенства треугольников

Как мы выяснили несколькими уроками ранее, определять равенство между треугольниками можно задействуя меньше данных о фигурах. Нам удалось познакомиться с одним подобным признаком — по равенству двух сторон и углу между ними. Теперь мы готовы разобрать второй признак равенства треугольников и третий признак. Они пригодятся в течение всего курса геометрии.

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеются треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$, у которых равны стороны $AB$ и $A_{1}B_1$ и углы при этих сторонах — $\angle{A}=\angle{A_1},~\angle{B}=\angle{B_1}$. Докажем, что треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга таким образом, что вершина $A$ совпадет с вершиной $A_1$, а вершины $C$ и $C_1$ будут находиться в одной полуплоскости от стороны $AB$. Поскольку $AB=A_{1}B_1$, вершины $B$ и $B_1$ также совпадут при наложении.

Под вопросом остается расположение вершин $C$ и $C_1$ относительно друг друга. Поскольку $\angle{A}=\angle{A_1},$ по аксиоме откладывания угла равного данному лучи $AC$ и $A_{1}C_1$ будут совпадать. Аналогично совпадение лучей $BC$ и $B_{1}C_{1}$ по равенству углов $\angle{B}=\angle{B_1}$.

Раз лучи совпадают, точка пересечения лучей — вершина $C$, то вершина $C_1$ находится в той же точке, что и вершина $C$. Все три вершины совпадают, а значит треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны. Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Даны два треугольника, у которых равны два угла и одна сторона. Можно ли применить второй признак равенства к этому случаю? [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-1.svg","width":"500"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Конечно нет","Конечно да!"],"explanations":["Углы должны быть равны при <b>сторонах</b>, а не в произвольном порядке. На изображениях показаны треугольники, в которых просто совпадает ряд данных. Кто знает, равны они или нет. Однако в целом данных недостаточно для подобных заключений. Ни о каком втором признаке равенства не может быть и речи.","Вы уверены, что внимательно осмотрели чертеж?"],"answer":[0]}}}]}

Показать ответ

Скрыть ответ

Равнобедренный треугольник: что такое обратная теорема

Положим, что:

— утверждение $A$ — это «равнобедренность треугольника»;
— утверждение $B$ — это «равенство углов при основании».

Логическая операция, к которой мы будем обращаться далее ($\Rightarrow$), формально называется импликацией (от лат. ‘implicāre’, в переводе — «впутывать»).

Тогда с точки зрения логики мы можем сказать, что из утверждения $A$ следует утверждение $B$: если $A$, то $B$. Или на языке логики — $A\Rightarrow{B}$. В обратной теореме утверждения меняются местами — $B\Rightarrow{A}$, из $B$ следует $A$. В нашем случае читается обратная теорема так: «Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный».

Давайте проверим ее истинность.

Обратная теорема о равнобедренном треугольнике. Если два угла треугольника при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным.

Доказательство

Пусть $\bigtriangleup(ABC)$ — треугольник, в котором углы при основании $AB$ равны: $\angle{A}=\angle{B}$. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{BAC}$. Они будут равны по второму признаку равенства треугольников: $AB=BA,$ $\angle{A}=\angle{B},$ $\angle{B}=\angle{A}$.

Из данного равенства следует, что $AC=BC$. Стороны при основании равны. Тогда $\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный. Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"$A$ — «вертикальность углов», $B$ — «равенство углов». Известно, что $A\\Rightarrow{B}$ — «если углы вертикальны, то они равны». Как будет звучать обратное следствие $B\\Rightarrow{A}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если углы равны, то они вертикальны","Углы равны, если они вертикальны"],"explanations":["","😅 Как говорится, от перестановки мест слагаемых сумма не меняется! <br /><br />Ваше логическое суждение все так же имеет порядок $A\\Rightarrow{B}$. Вчитайтесь и таки переставьте условие и заключение местами."],"answer":[0]}}}]}

Немного об импликациях

Несмотря на то, что прямое и обратное следствия для равнобедренных треугольников оказались истинными, мы не можем, к примеру, сказать то же про вертикальные углы. Действительно, если углы равны… то они вертикальны? Далеко не факт. Иными словами, истинность импликации не гарантирует истинность обратной импликации.

В быту же законы логики соблюдаются редко: мы все время перемешиваем меж собой заключения и условия и, что страшнее, превращаем корреляции в импликации. Например, всем давно известная корреляция между геймингом и детской жестокостью. Нужно понимать, что корреляция — это не более чем статистическая взаимосвязь случайных величин.

Скажем, автомобилист Гриша на третьем перекрестке по дороге домой всегда попадает на зеленый свет светофора. Имеем ли мы право перейти от случайной корреляции к фактическому следствию «если $A$, то $B$»? То есть сказать: «Если Гриша едет домой, то светофор всегда будет зеленым»?

К сожалению, люди размышляют именно так. Корреляция «часто жестокие дети играют в компьютерные игры» превращается в импликацию «если дети играют в игры, то они становятся жестокими».

Или еще хуже, в обратную импликацию: «если ребенок жестокий, то он играет в компьютерные игры».

Первое дает возможность родителям безапелляционно контролировать детей. Второе — снимать какую-либо ответственность за жестокое поведение ребенка с окружения. Импликация — мощное оружие. Особенно когда она используется вне законов науки логики. Так что в следующий раз, если услышите нечто подобное, можете смело заявить о некорректном переходе от корреляции к импликации.

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Даны два треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$, в которых $AB=A_{1}B_1,~BC=B_{1}C_1$ и $CA=C_{1}A_1$. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы вершина $C_1$ располагалась в одной полуплоскости с вершиной $C$. Поскольку $AB=A_{1}B_1,$ точка $A$ совпадет с точкой $A_1,$ точка $B$ совпадет с точкой $B_1$.

Воспользуемся методом доказательства от противного и предположим, что при наложении точка $C_1$ не лежит ни на луче $BC$, ни на луче $AC$. Тогда между вершинами $C$ и $C_1$ имеется расстояние $CC_1$. Обозначим точку $D$ как середину этого отрезка.

Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ и $\bigtriangleup{BC_{1}C}$.

Они являются равнобедренными, с общим основанием $CC_1$. В них $AD$ и $BD$ — медианы, поскольку $D$ мы обозначали как середину $CC_1$.

По теореме о медиане равнобедренного треугольника, медианы $AD$ и $BD$ также будут являться высотами соответствующих треугольников. Согласно теореме о единственности перпендикуляра, к точке прямой можно провести только один перпендикуляр. У нас — два перпендикуляра $AD$ и $BD$, к одной точке $D$.

Мы пришли к противоречию. Значит, точка $C_1$ располагается либо на луче $AC$, либо на луче $BC$. Если $C_1\in{AC},$ тогда $C_1$ совпадает с точкой $C$, поскольку $CA=C_{1}A_1$. Точно так же приходим к выводу о совпадении точек $C$ и $C_1,$ если $C_1\in{BC}$. Все три точки совпадают. Треугольники равны.

Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Перед вами — различные пары треугольников. Определите на чертеже, где какой признак равенства. [[matcher-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-2-1.svg"},"matcher-5":{"type":"matcher","labels":["Пара «а»","Пара «b»","Пара «c»"],"items":["Второй признак равенства","Первый признак равенства","Третий признак равенства"]}}}]}

Задача

Попробуйте решить задачу самостоятельно. Ничего страшного, если где-то возникнет заминка: готовое решение находится ниже.

Треугольники $ABC$ и $ABC_1$ равнобедренные, с общим основанием $AB$. Докажите, что треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ равны.

Показать решение

Скрыть решение