Второй и третий признаки равенства треугольников
Как мы выяснили несколькими уроками ранее, определять равенство между треугольниками можно задействуя меньше данных о фигурах. Нам удалось познакомиться с одним подобным признаком — по равенству двух сторон и углу между ними. Теперь мы готовы разобрать второй признак равенства треугольников и третий признак. Они пригодятся в течение всего курса геометрии.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть имеются треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$, у которых равны стороны $AB$ и $A_{1}B_1$ и углы при этих сторонах — $\angle{A}=\angle{A_1},~\angle{B}=\angle{B_1}$. Докажем, что треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны.
Доказательство. Наложим треугольники друг на друга таким образом, что вершина $A$ совпадет с вершиной $A_1$, а вершины $C$ и $C_1$ будут находиться в одной полуплоскости от стороны $AB$. Поскольку $AB=A_{1}B_1$, вершины $B$ и $B_1$ также совпадут при наложении.
Под вопросом остается расположение вершин $C$ и $C_1$ относительно друг друга. Поскольку $\angle{A}=\angle{A_1},$ по аксиоме откладывания угла равного данному лучи $AC$ и $A_{1}C_1$ будут совпадать. Аналогично совпадение лучей $BC$ и $B_{1}C_{1}$ по равенству углов $\angle{B}=\angle{B_1}$.
Раз лучи совпадают, точка пересечения лучей — вершина $C$, то вершина $C_1$ находится в той же точке, что и вершина $C$. Все три вершины совпадают, а значит треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны. Теорема доказана.
Полезный совет
Запоминать полные формулировки теорем признаков равенства треугольников сложно и может вызвать путаницу. Это придет с опытом решения задач. Пока для вас, возможно, будет удобнее использовать фразу «признак равенства треугольников по…».
Например, второй признак равенства кратко можно перефразировать как «признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам».
Если помните, то первый признак равенства мы запоминали так: «по двум сторонам и углу между ними».
Равнобедренный треугольник: что такое обратная теорема
В точных науках существует понятие обратной теоремы: когда условие исходной теоремы используется в качестве заключения, а заключение — в качестве условия.
Чтобы понять, как «работают» обратные теоремы, обратимся для примера к недавно нами доказанной теореме о равнобедренном треугольнике: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».
Предположим, что:
— утверждение $A$ — это «равнобедренность треугольника»;
— утверждение $B$ — это «равенство углов при основании».
Новый термин
Логическая операция, к которой мы будем обращаться далее (обозначим её $\Rightarrow$), формально называется импликацией.
Тогда мы можем сказать, что из утверждения $A$ следует утверждение $B$: если $A$, то $B$. Или на языке логики $A\Rightarrow{B}$.
В обратной теореме утверждения меняются местами: $B\Rightarrow{A}$, из $B$ следует $A$. В нашем случае читается обратная теорема так: «Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный».
Сформулируем обратную теорему о равнобедренном треугольнике и проверим ее истинность.
Если два угла треугольника при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным.
Пусть $\bigtriangleup(ABC)$ — треугольник, в котором углы при основании $AB$ равны: $\angle{A}=\angle{B}$. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{BAC}$. Они будут равны по второму признаку равенства треугольников: $AB=BA,$ $\angle{A}=\angle{B},$ $\angle{B}=\angle{A}$.
Из данного равенства следует, что $AC=BC$. Стороны при основании равны. Тогда $\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Даны два треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$, в которых $AB=A_{1}B_1,~BC=B_{1}C_1$ и $CA=C_{1}A_1$. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы вершина $C_1$ располагалась в одной полуплоскости с вершиной $C$. Поскольку $AB=A_{1}B_1,$ точка $A$ совпадет с точкой $A_1,$ точка $B$ совпадет с точкой $B_1$.
Воспользуемся методом доказательства от противного и предположим, что при наложении точка $C_1$ не лежит ни на луче $BC$, ни на луче $AC$. Тогда между вершинами $C$ и $C_1$ имеется расстояние $CC_1$. Обозначим точку $D$ как середину этого отрезка.
Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ и $\bigtriangleup{BC_{1}C}$.
Они являются равнобедренными, с общим основанием $CC_1$. В них $AD$ и $BD$ — медианы, поскольку $D$ мы обозначали как середину $CC_1$.
По теореме о медиане равнобедренного треугольника, медианы $AD$ и $BD$ также будут являться высотами соответствующих треугольников. Согласно теореме о единственности перпендикуляра, к точке прямой можно провести только один перпендикуляр. У нас — два перпендикуляра $AD$ и $BD$, к одной точке $D$.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка $C_1$ располагается либо на луче $AC$, либо на луче $BC$. Если $C_1\in{AC},$ тогда $C_1$ совпадает с точкой $C$, поскольку $CA=C_{1}A_1$. Точно так же приходим к выводу о совпадении точек $C$ и $C_1,$ если $C_1\in{BC}$. Все три точки совпадают. Треугольники равны.
Теорема доказана.
Задача
Попробуйте решить задачу самостоятельно. Ничего страшного, если где-то возникнет заминка: готовое решение находится ниже.
Треугольники $ABC$ и $ABC_1$ равнобедренные, с общим основанием $AB$.
Докажите, что треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ равны.
Показать решение
Скрыть
Дано:
$\bigtriangleup{ABC},~\bigtriangleup{ABC_1}$
$BC=CA$
$BC_1=C_{1}A$
Найти:
$\bigtriangleup{ACC_1}=\bigtriangleup{BCC_1}$
Решение
Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$. У них — общая сторона $CC_1$. Поскольку треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{ABC_1}$ равнобедренные, то в треугольниках $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$ стороны попарно равны: сторона $AC$ равна стороне $BC$, сторона $BC_1$ равна стороне $C_1{}A$. Тогда треугольники $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$ равны по третьему признаку равенства треугольников — по трем сторонам.
Что и требовалось доказать.
Часто задаваемые вопросы
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Кратко его можно перефразировать как «признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам».
Если два угла треугольника при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти