Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия? Серьезно? Понимаем, материал дополнительный, однако Образавр настоятельно рекомендует разобраться в вопросе. Будет интересно.

Интересное обстоятельство: все признаки параллельности прямых, доказанные нами в прошлом уроке, — необходимые и достаточные условия параллельности. Если изъясняться простым языком, это означает, что в обратном порядке признаки тоже будут работать — для каждого признака существует истинная обратная теорема.

О том, что понимается под обратной теоремой, мы писали ранее. Советуем информацию освежить. Единственное, что мы намеренно упустили в изложении, — понятия о необходимости и достаточности.

Наборы переменных импликации

Наши утверждения могут быть как истинными, так и нет. Дождь идет или не идет, на улице сыро или сухо. Причем в разных комбинациях.

Если дождя нет, на улице может быть как сыро, так и не сыро. Сыро, к примеру, поскольку растаял снег. С другой стороны, нет дождя — нет сырости. Обе импликации — истина. Но как это вообще объясняет, что такое необходимость и достаточность?

Таблица истинности импликации

Мы уже в шаге от понимания. Давайте наши выводы о сырости и дожде компактно «соберем» в таблицу истинности, состоящую из всех перечисленных нами наборов логических переменных. Утверждения (логические переменные, они же $A$ и $B$), как вы уже поняли, являются бинарными, то есть принимают только два значения: ложь и истина. Цифрами удобно обозначить такое как «0» и «1» соответственно.   

Достаточность

Что мы видим? Что импликация $A\Rightarrow{B}$ может быть ложной только в случае, если ее посылка ($A$) — истина, а следствие ($B$) — ложь. Следовательно если импликация истинна, то истинность утверждения $A$ является достаточной для истинности $B$.

Иными словами, зная, что утверждение $A$ — истина, нам не нужно проверять истинность $B$. Еще проще: истинность $A$ гарантирует истинность $B$ в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$.

Достаточность —  условия, при соблюдении которых следствие импликации является истиной.  

Необходимость

В ситуации с достаточностью нам было известно, что в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ утверждение $A$ истинно, и этого хватило, чтобы сразу «заверить» истинность $B$. Но что если ситуация переворачивается и в качестве исходных данных мы имеем истинность $B$, а не истинность $A$?

В таком случае истинность $B$ будет являться необходимым условием для истинности $A$. Почему? Ложность $B$ приводит нас либо к ложности всей импликации (третья строка таблицы), что заведомо неверно, либо к ложности $A$ (первая строка таблицы).

Поэтому и говорят, что истинность $B$ необходима для последующего заключения об истинности $A,$ — не будет истинности $B$, однозначно не будет истинности $A$.

Необходимый — значит, такой, без которого нельзя обойтись. Обязательный. Но при этом не гарантирующий, не обещающий однозначного исхода.

Увидеть эту особенность необходимого условия можно во второй и четвертой строках таблицы истинности. Да, необходимо, чтобы $B$ являлось истиной для заключения истинности $A$, но всегда остается вариант, при котором $A$ будет ложью, $B$ — истиной, а импликация $A\Rightarrow{B}$ — истиной. Дождь не идет, а на улице сыро, верно?

Необходимость —  условия, без соблюдения которых невозможно заключить об истинности посылки импликации.

🐘 Здесь вопрос на миллион!

Скрыть текст

Необходимость и достаточность в геометрии

Итого, что такое необходимость и достаточность? Все просто: в истинной импликации $A\Rightarrow{B}$ истинность $A$ является достаточным условием истинности $B$, а истинность $B$ является необходимым условием истинности $A$.

В геометрии достаточное условие определяется понятием «признак», а необходимое условие — понятием «свойство»: «признак равенства треугольников», «свойство смежных углов» и прочее.

{"questions":[{"content":"[[image-7]] Давайте немного вас проверим. Является ли равенство двух углов необходимым и достаточным, чтобы говорить о том, что смежные с ними углы равны?  [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Оно только достаточное","Оно только необходимое","Оно и достаточное, и необходимое"],"explanations":["","","Равенство углов необходимо, чтобы говорить о равенстве смежных с ними углов — без этого условия не обойтись и можно сразу сворачивать палатки. <br /><br />Но также равенство углов достаточно, чтобы заключить о равенстве смежных с ними углов. Раз углы равны, точно и смежные равны."],"answer":[2]},"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/adjacent.svg"}}}]}

Какие-то условия обладают только достаточностью, какие-то задают только необходимость. Вообще, необходимость и достаточность — это инструмент, позволяющий описывать «охват» условий теорем. Так что стоит быть начеку: не всякое условие теоремы универсально охватывает весь набор применимых к теореме геометрических парадигм.

Достаточность не гарантирует, что условие в том числе необходимо. И наоборот.  

Пример: вертикальные углы

Свойство вертикальных углов гласит, что вертикальные углы равны.

В логическом прочтении: «если углы вертикальные, то они равны», $A\Rightarrow{B}$, где $A$ — вертикальность углов, $B$ — равенство углов.

Вертикальность углов — достаточное условие, чтобы сделать однозначный вывод о равенстве углов; равенство углов — необходимое условие, чтобы вообще говорить о вертикальности.

Является ли вертикальность углов также необходимым условием для равенства углов? А является ли равенство углов достаточным условием, чтобы заключать об их вертикальности?

• Если бы вертикальность была еще и необходимым условием равенства, то любые равные углы обязаны быть вертикальными. На языке логики: «Для того, чтобы углы были равны, необходимо, чтобы они были вертикальными». Следовательно вертикальность для равенства углов достаточна, но не необходима.
• Если бы равенство углов было достаточным условием вертикальности, то всякое равенство углов позволяло бы однозначно заключать о том, что эти углы вертикальны. На языке логики: «Равенства углов достаточно, чтобы углы являлись вертикальными». Следовательно равенство углов — необходимое, но не достаточное условие вертикальности.

Вот, равные углы на плоскости. И они ни разу не вертикальные. Однако по градусному значению равные.

Равнозначность

Условия теоремы о равенстве вертикальных углов ограничены и не позволяют охватывать все возможные случаи, связанные с равенством углов. Конечно, существуют условия, которые, напротив, «объемны». Их называют необходимыми и достаточными.

Когда $A$ является и необходимым, и достаточным условием для $B$, импликация $A\Rightarrow{B}$ всегда будет верна и в обратную сторону — $B\Rightarrow{A}$. Тогда утверждения $A$ и $B$ называют равнозначными, а их зависимость грамотнее будет выражать не через импликацию, а через эквивалентность:

$${A}\Leftrightarrow{B}$$

Таблица истинности эквивалентности при этом «избавляется» от обременительной связки импликации «$A$ — ложь, $B$ — истина, $A\Rightarrow{B}$ — истина», которая и ограничивает условия только достаточностью или только необходимостью.

Составим такую таблицу для теоремы о равнобедренном треугольнике, где $A$ — равенство двух углов треугольника, $B$ — равнобедренность треугольника:

Что такое теорема о равнобедренном треугольнике?

Свернуть текст

Напомним: «Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный».

Равенство двух углов в треугольнике необходимо и достаточно, чтобы он являлся равнобедренным, ибо не существует треугольников, в котором бы было равно два угла, но он при этом был не равнобедренным. Поэтому теорема о равнобедренном треугольнике «работает» в обе стороны, а, например, теорема о вертикальности — нет.

Необходимое и достаточное условие в математике называется критерием. В школьном курсе ограничиваются исключительно свойствами и признаками. Проще говорить о «признаках параллельности», чем о «критериях параллельности» и добавлять в программу обязательную лекцию о достаточности и необходимости.

{"questions":[{"content":"В русском языке есть различные синтаксические связки, которые могут лаконично передавать достаточность и необходимость. Предлагаем вам определить, к какому условию предложенные ниже связки будут подходить лучше всего.   [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["«Только тогда, когда»","«Тогда, когда»","«Тогда и только тогда, когда»"],"items":["Необходимое условие","Достаточное условие","Необходимое и достаточное условие"]}},"step":1,"hints":["«Тогда и только тогда» звучит решительно. Треугольник является равнобедренным <i>тогда и только тогда</i>, когда в нем равны два угла. Какое это условие?","«Тогда, когда» звучит веско. Треугольники равны <i>тогда, когда</i> три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого. А это какое условие?","«Только тогда, когда» звучит... скажем, неотложно. Углы вертикальны <i>только тогда, когда</i> они равны. Что здесь?"]}]}