Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 16$. Найдите $BC$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Против угла $A$ лежит катет $BC$.","$BC = 16 : 2 = 8$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$, $AB = 22$. Найдите $AC$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Против угла $B$ лежит катет $AC$.","$AC = 22 : 2 = 11$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $BC = 6$, $AB = 12$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Если катет равен половине гипотенузы, то угол против этого катета равен $30^\\circ$.","$BC = 12 : 2$, против $BC$ лежит угол $A$.","$\\angle A = 30^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $AC = 4{,}5$, $AB = 9$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Если катет равен половине гипотенузы, то угол против этого катета равен $30^\\circ$.","$AC = 9 : 2$, против $AC$ лежит угол $B$.","$\\angle B = 30^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $17$. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["8,5","8.5"]}},"hints":["В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB$.","$17 : 2 = 8{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $23$. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["11,5","11.5"]}},"hints":["В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB$.","$23 : 2 = 11{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$, $AB = 14$. Решавр пишет: «Катет $BC$ равен половине гипотенузы: $BC = 7$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: любой катет при угле $30^\\circ$ равен половине гипотенузы","Ошибка в числе: $BC = 28$","$BC$ прилежит к углу $30^\\circ$; половине гипотенузы равен $AC$ — катет против этого угла","Нужно было взять половину катета $AC$, а не гипотенузы"],"explanations":["Только катет, лежащий против угла $30^\\circ$; $BC$ лежит против угла $60^\\circ$","Катет короче гипотенузы, $BC < 14$","","Свойство говорит о половине гипотенузы"],"answer":[2]}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Против угла $B$ лежит $AC$, поэтому $AC = 7$. Катет $BC$ лежит против угла $60^\\circ$ и длиннее $AC$.","Ответ: половине гипотенузы равен $AC$, а не $BC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $KLM$ $\\angle L = 90^\\circ$, $\\angle M = 60^\\circ$, $KM = 18$. Решавр пишет: «Против угла $60^\\circ$ лежит катет $KL$, он равен половине гипотенузы: $KL = 9$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: катет против большего острого угла равен половине гипотенузы","Половине гипотенузы равен катет против угла $30^\\circ$ — это $LM$, а $KL$ лежит против угла $60^\\circ$","Нужно было взять половину катета $LM$, а не гипотенузы","Ошибка в числе: $KL = 36$"],"explanations":["Половине гипотенузы равен катет против угла $30^\\circ$, меньшего из острых углов","","Свойство говорит о половине гипотенузы","Катет короче гипотенузы, $KL < 18$"],"answer":[1]}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Угол $K = 90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$, против него лежит катет $LM$, поэтому $LM = 9$.","Катет $KL$ лежит против угла $60^\\circ$ и длиннее $LM$. Ответ: половине гипотенузы равен $LM$, а не $KL$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\\angle C = \\angle C_1 = 90^\\circ$. Сопоставьте данные и признак равенства.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$","$AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$","$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$"],"items":["По гипотенузе и острому углу","По двум катетам","По гипотенузе и катету","По катету и острому углу"]}},"hints":["Катеты — $AC$ и $BC$ (прилежат к прямому углу), гипотенуза — $AB$.","$AB$ и $\\angle A$ — гипотенуза и острый угол; $AC$ и $BC$ — два катета; $AB$ и $BC$ — гипотенуза и катет.","Ответ: по гипотенузе и острому углу, по двум катетам, по гипотенузе и катету."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольниках $KLM$ и $K_1L_1M_1$ $\\angle L = \\angle L_1 = 90^\\circ$. Сопоставьте данные и признак равенства.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$KL = K_1L_1$, $\\angle K = \\angle K_1$","$KM = K_1M_1$, $LM = L_1M_1$","$KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$"],"items":["По катету и острому углу","По гипотенузе и катету","По двум катетам","По гипотенузе и острому углу"]}},"hints":["Катеты — $KL$ и $LM$ (прилежат к прямому углу), гипотенуза — $KM$.","$KL$ и $\\angle K$ — катет и острый угол; $KM$ и $LM$ — гипотенуза и катет; $KL$ и $LM$ — два катета.","Ответ: по катету и острому углу, по гипотенузе и катету, по двум катетам."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ изображен треугольник $ABC$, $AB = 8$, $CM$ — медиана (см. рисунок). Решавр пишет: «Медиана равна половине стороны: $CM = 4$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ip4dskiqqjnr.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: треугольник равнобедренный, а медиана к основанию равна его половине","Правило — только для медианы к гипотенузе; здесь $CM = 3$","Ошибки нет: угол $CMA$ прямой, значит, треугольник прямоугольный","Ошибки нет: медиана всегда равна половине стороны"],"explanations":["Равнобедренность не дает прямого угла при $C$; по клеткам $CM = 3$","","Нужен прямой угол при вершине $C$, против стороны $AB$; угол при $M$ не в счет","По клеткам $CM = 3$, а половина $AB$ равна $4$"],"answer":[1]}},"hints":["Посчитаем по клеткам: $CM$ вертикальна и занимает $3$ клетки.","Равенство $CM = \\frac{1}{2}AB$ верно только для медианы к гипотенузе прямоугольного треугольника, а угол $C$ здесь не прямой.","Ответ: правило — только для медианы к гипотенузе; здесь $CM = 3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ изображен треугольник $ABC$, $AB = 6$, $CM$ — медиана (см. рисунок). Решавр пишет: «Медиана равна половине стороны: $CM = 3$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ozzticshblab.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: медиана всегда равна половине стороны","Ошибки нет: треугольник равнобедренный, а медиана к основанию равна его половине","Ошибки нет: угол $CMA$ прямой, значит, треугольник прямоугольный","Правило — только для медианы к гипотенузе; здесь $CM = 5$"],"explanations":["По клеткам $CM = 5$, а половина $AB$ равна $3$","Равнобедренность не дает прямого угла при $C$; по клеткам $CM = 5$","Нужен прямой угол при вершине $C$, против стороны $AB$; угол при $M$ не в счет",""],"answer":[3]}},"hints":["Посчитаем по клеткам: $CM$ вертикальна и занимает $5$ клеток.","Равенство $CM = \\frac{1}{2}AB$ верно только для медианы к гипотенузе прямоугольного треугольника, а угол $C$ здесь не прямой.","Ответ: правило — только для медианы к гипотенузе; здесь $CM = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $CM$ — медиана, $\\angle AMC = 110^\\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"55"}},"hints":["$MB = MC$ (медиана к гипотенузе), треугольник $BMC$ равнобедренный: $\\angle MCB = \\angle B$.","Угол $AMC$ — внешний угол треугольника $BMC$: $\\angle AMC = \\angle B + \\angle MCB = 2\\angle B$.","$\\angle B = 110^\\circ : 2 = 55^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $CM$ — медиана, $\\angle AMC = 130^\\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["$MB = MC$ (медиана к гипотенузе), треугольник $BMC$ равнобедренный: $\\angle MCB = \\angle B$.","Угол $AMC$ — внешний угол треугольника $BMC$: $\\angle AMC = \\angle B + \\angle MCB = 2\\angle B$.","$\\angle B = 130^\\circ : 2 = 65^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\\angle C = \\angle C_1 = 90^\\circ$. Равны ли треугольники?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Равны, по гипотенузе и катету","Не обязательно: угол не лежит между данными сторонами","Не равны: у них разные катеты $BC$ и $B_1C_1$","Равны, по первому признаку"],"explanations":["","Для прямоугольных треугольников есть признак по гипотенузе и катету — при прямом угле треугольник один","Катеты $BC$ и $B_1C_1$ не даны; по гипотенузе и катету они окажутся равны","В первом признаке угол лежит между сторонами, а угол $C$ — не между $AB$ и $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $C$ не лежит между сторонами $AB$ и $AC$: в общем случае таких данных мало.","Но угол $C$ прямой: $AB$ — гипотенуза, $AC$ — катет. Работает признак по гипотенузе и катету.","Ответ: равны, по гипотенузе и катету."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\\angle C = \\angle C_1 = 50^\\circ$. Обязательно ли треугольники равны?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Равны, по гипотенузе и катету","Не обязательно: угол не прямой и не лежит между данными сторонами","Не равны никогда","Равны, по первому признаку"],"explanations":["Этот признак — только для прямоугольных треугольников, а угол $C$ равен $50^\\circ$","","Они могут оказаться равными, но данных для этого недостаточно","В первом признаке угол лежит между сторонами, а угол $C$ — не между $AB$ и $AC$"],"answer":[1]}},"hints":["Угол $C$ не лежит между сторонами $AB$ и $AC$.","Угол $50^\\circ$ не прямой, признака по гипотенузе и катету нет: дуга с центром $A$ может пересечь сторону угла $C$ в двух точках.","Ответ: не обязательно."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Точка $M$ лежит внутри угла $A$, $MK$ и $ML$ — перпендикуляры к сторонам угла, $MK = ML$. Чтобы доказать, что $AM$ — биссектриса угла $A$, докажем равенство треугольников $AKM$ и $ALM$. Каким признаком это сделать?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["По первому признаку","По двум катетам","По гипотенузе и острому углу","По гипотенузе $AM$ и катету"],"explanations":["Углы между $MK$ и $AM$ и между $ML$ и $AM$ неизвестны","Равенство $AK = AL$ не дано","Равенство углов при вершине $A$ — то, что нужно доказать",""],"answer":[3]}},"hints":["Треугольники $AKM$ и $ALM$ прямоугольные ($\\angle K = \\angle L = 90^\\circ$), гипотенуза $AM$ у них общая.","Из условия известны только катеты $MK = ML$; углы при $A$ и отрезки $AK$, $AL$ не даны.","Ответ: по гипотенузе $AM$ и катету; затем $\\angle KAM = \\angle LAM$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ высоты $BD$ и $CE$ равны. Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный, докажем равенство треугольников $BCD$ и $CBE$. Каким признаком это сделать?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["По двум катетам","По гипотенузе $BC$ и катету","По гипотенузе и острому углу","По первому признаку"],"explanations":["Равенство $CD = BE$ не дано","","Равенство углов $B$ и $C$ — то, что нужно доказать","Углы между $BD$ и $BC$ и между $CE$ и $CB$ неизвестны"],"answer":[1]}},"hints":["Треугольники $BCD$ и $CBE$ прямоугольные ($\\angle D = \\angle E = 90^\\circ$), гипотенуза $BC$ у них общая.","Из условия известны только катеты $BD = CE$; углы $B$ и $C$ и отрезки $CD$, $BE$ не даны.","Ответ: по гипотенузе $BC$ и катету; затем $\\angle C = \\angle B$ и $AB = AC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 90^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$. Половине гипотенузы $AB$ равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["катет $AC$","катет $BC$","каждый из катетов","ни один из катетов"],"answer":0}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Против угла $B$ лежит катет $AC$.","Ответ: катет $AC$."],"step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $KLM$ $\\angle M = 90^\\circ$, $\\angle K = 30^\\circ$. Половине гипотенузы $KL$ равен [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["катет $KM$","катет $LM$","каждый из катетов","ни один из катетов"],"answer":1}},"hints":["В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","Против угла $K$ лежит катет $LM$.","Ответ: катет $LM$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>