Карточки
Тесты
Зави
Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства
Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства
В уроке о неравенствах в треугольнике вы узнали, что против большего угла лежит большая сторона. Теперь займемся треугольником с прямым углом: назовем его стороны, докажем свойства катета против угла $30^\circ$ и медианы к гипотенузе, а также признаки равенства прямоугольных треугольников.
Вопрос для начала. Лестница длиной 4 м стоит у стены, ее нижний конец отъезжает по полу, а верхний скользит вниз по стене. По какой линии движется середина лестницы? Ответим в третьем разделе.
Гипотенуза лежит против прямого угла
У чертежного угольника один угол прямой. Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным, и его стороны имеют свои названия.
Определение
Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла.
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. Треугольник можно повернуть как угодно, поэтому гипотенузу ищут по прямому углу, а не по положению на чертеже: она лежит напротив прямого угла и не проходит через его вершину.
В уроке о сумме углов треугольника калька переносила копии углов $A$ и $B$ к вершине $C$, и вместе с углом $C$ они заполняли развернутый угол. Если угол $C$ прямой, он занимает половину развернутого угла, а копии острых углов — другую половину. Кроме того, острые углы меньше прямого, а против большего угла лежит большая сторона.
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
2. Гипотенуза больше каждого катета.
Если катеты равны, треугольник равнобедренный прямоугольный: его острые углы — углы при основании, и каждый равен $90^\circ:2=45^\circ$.
Пример 1
Один острый угол прямоугольного треугольника вдвое больше другого. Найдите острые углы.
Решение. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший — $2x$. Сумма острых углов $90^\circ$: $x+2x=90^\circ$, $x=30^\circ$, $2x=60^\circ$. Проверка: $30^\circ+60^\circ+90^\circ=180^\circ$.
Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$. Такие углы у второго чертежного угольника — о нем следующий раздел.
Две копии треугольника с углом 30° складываются в равносторонний
Приложите два одинаковых угольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$ друг к другу длинными катетами, второй — перевернутым, как перевернутую кальку. Два прямых угла дают развернутый, поэтому короткие катеты лягут на одну прямую. У общей вершины получится $30^\circ+30^\circ=60^\circ$, два других угла — по $60^\circ$: треугольник равносторонний. Одна его сторона — гипотенуза угольника, другая составлена из двух коротких катетов. Значит, короткий катет — половина гипотенузы.
Теорема (свойство катета, лежащего против угла 30°)
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$, $\angle A=30^\circ$. Доказать: $BC=\frac{1}{2}AB$.
Шаг 1. На продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим $CB_1=CB$. Точки $B$, $C$, $B_1$ лежат на одной прямой по построению, угол $ACB_1$ смежен с прямым и тоже равен $90^\circ$.
Шаг 2. $\triangle ACB=\triangle ACB_1$ по первому признаку: катет $AC$ общий, $CB=CB_1$, углы между ними прямые. Поэтому $AB_1=AB$, $\angle CAB_1=30^\circ$, $\angle B_1=\angle B$.
Шаг 3. В треугольнике $ABB_1$: $\angle BAB_1=30^\circ+30^\circ=60^\circ$, $\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ$, $\angle B_1=60^\circ$. Все углы равны, поэтому по признаку равнобедренного треугольника все стороны равны: $BB_1=AB$.
Шаг 4. $C$ — середина $BB_1$, поэтому $BC=\frac{1}{2}BB_1=\frac{1}{2}AB$. Что и требовалось доказать.
Калька подсказала, где искать равенство, а доказали его первый признак и сумма углов. Обратное утверждение доказывается тем же построением: пусть $BC=\frac{1}{2}AB$ и $CB_1=CB$.
1. $\triangle ACB=\triangle ACB_1$ по двум сторонам и прямому углу между ними, поэтому $AB_1=AB$.
2. $BB_1=2BC=AB$. Все стороны треугольника $ABB_1$ равны, он равносторонний, все его углы по $60^\circ$.
3. $\angle CAB=\angle CAB_1$ из равенства треугольников, поэтому $\angle A=60^\circ:2=30^\circ$.
Теорема (обратная)
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.
Ошибка
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^\circ$, $\angle A=30^\circ$, $AB=20$. Решавр пишет: «Катет $AC$ прилежит к углу $30^\circ$, значит, $AC=20:2=10$».
Проверим. Против угла $A$ лежит катет $BC$, по теореме $BC=10$. Катет $AC$ лежит против угла $B=60^\circ$, большего, чем $30^\circ$, поэтому $AC>BC=10$. На чертеже с копией половина стороны равностороннего треугольника — $BC$, а не $AC$.
Где сломалось. Главное слово теоремы — «против»: половине гипотенузы равен катет, который не проходит через вершину угла $30^\circ$. И правило верно только в прямоугольном треугольнике: без прямого угла точки $B$, $C$, $B_1$ не лягут на одну прямую.
Середина лестницы всегда на одном расстоянии от угла
Вернемся к лестнице. Стена и пол перпендикулярны, $C$ — точка, где они встречаются. Лестница $AB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ABC$, ее середина $M$ — середина гипотенузы, а $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе. Начертим несколько положений лестницы длиной 4 м и измерим $CM$.
Во всех положениях $CM=2$ м — половина лестницы. Калька здесь не поможет, доказывать будем двумя равнобедренными треугольниками.
Теорема (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$. Доказать: медиана из вершины $C$ равна $\frac{1}{2}AB$.
Шаг 1. Проведем из $C$ луч внутри прямого угла так, чтобы $\angle BCM=\angle B$, где $M$ — точка пересечения луча с гипотенузой $AB$ (так можно, потому что $\angle B<90^\circ$). Пока неизвестно, середина ли это.
Шаг 2. В треугольнике $BMC$ углы при $B$ и $C$ равны, поэтому $MB=MC$.
Шаг 3. $\angle ACM=90^\circ-\angle BCM=90^\circ-\angle B=\angle A$, так как сумма острых углов равна $90^\circ$. В треугольнике $AMC$ углы при $A$ и $C$ равны, поэтому $MA=MC$.
Шаг 4. $MA=MC=MB$, значит, $M$ — середина $AB$, $CM$ — медиана и $CM=\frac{1}{2}AB$. Что и требовалось доказать.
Ответ на вопрос из начала урока. Съезжая, лестница остается гипотенузой прямоугольного треугольника с вершиной $C$, поэтому ее середина все время удалена от $C$ на $4:2=2$ м. Она движется по дуге окружности с центром $C$ и радиусом 2 м — это можно проверить рейкой с меткой посередине.
Ошибка
На клетчатой бумаге вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ лежат на одной горизонтальной линии в 12 клетках друг от друга, вершина $C$ — на 4 клетки выше середины $M$ стороны $AB$. Решавр пишет: «Медиана равна половине стороны: $CM=12:2=6$».
Проверим по клеткам. Медиана $CM$ вертикальна, в ней 4 клетки: $CM=4$, а не 6.
Где сломалось. Теорема доказана только для медианы к гипотенузе: в шаге 3 нужен прямой угол $C$. Здесь стороны $CA$ и $CB$ идут положе диагоналей клеток, углы $A$ и $B$ меньше $45^\circ$, и угол $C$ тупой. Если поднять $C$ на 6 клеток, стороны пойдут по диагоналям, угол $C$ станет прямым — и тогда $CM=6$.
Пример 2
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^\circ$, $\angle A=40^\circ$, $CM$ — медиана. Найдите угол $BMC$.
Решение. Медиана к гипотенузе равна ее половине: $MA=MC$. Треугольник $AMC$ равнобедренный, $\angle ACM=\angle A=40^\circ$. Угол $BMC$ — внешний угол треугольника $AMC$, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $40^\circ+40^\circ=80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$.
Прямые углы уже совпали: для равенства хватает двух пар
Два одинаковых угольника совпадут, если у них равны два катета: приложите прямой угол к прямому — вершины катетов совпадут сами. Для признака равенства нужны три пары равных элементов. У двух прямоугольных треугольников одна пара есть всегда: калька прямым углом ложится на прямой угол. Остается найти еще две пары, а недостающий острый угол дает сумма $90^\circ$. Поэтому каждый признак прямоугольных треугольников — это первый или второй признак.
| Что равно ($\angle C=\angle C_1=90^\circ$) | Какой признак работает |
|---|---|
| Катеты: $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$ | первый: стороны и прямой угол между ними |
| Катет и прилежащий угол: $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$ | второй: сторона $AC$, углы $A$ и $C$ |
| Катет и противолежащий угол: $BC=B_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$ | второй: $\angle B=\angle B_1$, сторона $BC$, углы $B$ и $C$ |
| Гипотенуза и угол: $AB=A_1B_1$, $\angle A=\angle A_1$ | второй: $\angle B=\angle B_1$, сторона $AB$, углы $A$ и $B$ |
Теорема (признаки равенства прямоугольных треугольников)
Если у двух прямоугольных треугольников соответственно равны два катета, или катет и прилежащий к нему острый угол, или катет и противолежащий ему острый угол, или гипотенуза и острый угол, то такие треугольники равны.
Важно
Угол должен занимать одно место относительно катета в обоих треугольниках. Пусть в одном треугольнике угол $30^\circ$ прилежит к катету 15, а в другом лежит против катета 15. У второго гипотенуза равна $2 \cdot 15=30$, а у первого против $30^\circ$ лежит другой, более короткий катет, и гипотенуза меньше 30.
Пример 3
В уроке «Перпендикулярные прямые» шаг «1 влево, 3 вверх» проверяли угольником как перпендикулярный шагу «3 вправо, 1 вверх». Докажем это. Из узла $O$ отложим точку $P$ на 3 клетки вправо и 1 вверх, точку $Q$ — на 1 клетку влево и 3 вверх. Докажите, что $OP \perp OQ$.
Решение. Отметим узел $H$ на 3 клетки правее $O$ и узел $K$ на 3 клетки выше $O$. Треугольники $OHP$ и $OKQ$ прямоугольные (углы $H$ и $K$ образуют линии сетки), $OH=OK=3$, $HP=KQ=1$. По двум катетам $\triangle OHP=\triangle OKQ$, поэтому $\angle HOP=\angle KOQ$. Тогда $\angle POQ=\angle POK+\angle KOQ=\angle POK+\angle HOP=\angle HOK=90^\circ$.
Ответ: $OP \perp OQ$.
Гипотенуза и катет: при прямом угле треугольник один
Набор «гипотенуза и катет» — это две стороны и угол не между ними. В уроке о втором и третьем признаках равенства такой набор признаком не был: при $AB=6$, $BC=4$, $\angle A=30^\circ$ дуга радиуса 4 с центром $B$ пересекает сторону угла $A$ дважды, и треугольников два.
Возьмем прямой угол $C$, катет $CB=4$ и гипотенузу $BA=6$. Вершина $A$ лежит на дуге радиуса 6 с центром $B$. Дуга пересекает прямую, на которой лежит вторая сторона прямого угла, в двух точках, симметричных относительно прямой $CB$: одна на стороне угла, другая на ее продолжении за точку $C$. Треугольник один.
Теорема (признак равенства по гипотенузе и катету)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано: $\angle C=\angle C_1=90^\circ$, $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$. Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
Шаг 1. Приложим треугольник $A_1B_1C_1$ катетом $B_1C_1$ к равному катету $BC$ так, чтобы вершина $A_1$ оказалась по другую сторону от прямой $BC$, в точке $D$. Получилась копия: $\triangle DBC=\triangle A_1B_1C_1$.
Шаг 2. $\angle ACB+\angle BCD=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, поэтому точки $A$, $C$, $D$ лежат на одной прямой.
Шаг 3. $BA=BD$, так как обе равны $A_1B_1$. Треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD$, поэтому $\angle A=\angle D$.
Шаг 4. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $DBC$ равны по гипотенузе и острому углу: $AB=DB$, $\angle A=\angle D$. Значит, $\triangle ABC=\triangle DBC=\triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.
Пример 4
Мачта $MH$ стоит вертикально на ровной площадке, две растяжки $MK$ и $ML$ одинаковой длины закреплены на площадке в точках $K$ и $L$. Докажите, что $HK=HL$.
Решение. Мачта перпендикулярна площадке, поэтому треугольники $MHK$ и $MHL$ прямоугольные с прямыми углами при $H$. Катет $MH$ общий, гипотенузы $MK=ML$. По гипотенузе и катету $\triangle MHK=\triangle MHL$, поэтому $HK=HL$.
Ответ: $HK=HL$. Так же в следующем модуле докажут, что точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе.
Вывод
Прямоугольный треугольник появляется всюду, где есть перпендикуляр: стена и пол, мачта и площадка. Его свойства дают углы и отрезки без измерений, а признаки доказывают равенство по двум парам элементов. Чтобы вспомнить главное, представьте копию треугольника, приложенную по катету.
Часто задаваемые вопросы
Найдите прямой угол — он отмечен квадратиком. Гипотенуза лежит напротив него и не проходит через его вершину. Она всегда самая длинная сторона.
Нет. Половине гипотенузы равен только катет против угла $30^\circ$. Катет против угла $60^\circ$ лежит против большего угла, поэтому он длиннее половины гипотенузы.
В доказательстве нужен прямой угол против той стороны, к которой проведена медиана. Против катета лежит острый угол, поэтому шаг 3 не работает.
В общем случае дуга может пересечь сторону угла в двух точках, и треугольников будет два. При прямом угле вторая точка попадает на продолжение стороны, и треугольник один.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий