Параллельные прямые

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Углы $2$ и $6$ называются [[fill_choice-1]].","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ejpisk0gohay.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["накрест лежащими","односторонними","соответственными","вертикальными"],"answer":2}},"hints":["Углы $2$ и $6$ лежат у разных точек $A$ и $B$ на одинаковых местах: оба над своей прямой и слева от секущей.","Такие углы — соответственные.","Ответ: соответственными."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ (см. рисунок). Углы $4$ и $6$ называются [[fill_choice-2]].","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ejpisk0gohay.svg"},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["соответственными","односторонними","вертикальными","накрест лежащими"],"answer":3}},"hints":["Углы $4$ и $6$ — внутренние (между $a$ и $b$) и лежат по разные стороны от секущей $c$.","Такие углы — накрест лежащие.","Ответ: накрест лежащими."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $AC$, $\\angle BAC = \\angle DCA$ (см. рисунок). Какие стороны четырехугольника параллельны, если известно только это равенство углов?[[choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/74wbd5xgs111.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Определить нельзя","$AB \\parallel CD$ и $BC \\parallel AD$","$BC \\parallel AD$","$AB \\parallel CD$"],"explanations":["Углы $BAC$ и $DCA$ — накрест лежащие при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$, и они равны: признак параллельности выполнен","Одна пара равных накрест лежащих углов дает параллельность только тех двух прямых, на которых лежат их стороны","Стороны углов $BAC$ и $DCA$ лежат на прямых $AB$, $CD$ и на секущей $AC$; прямые $BC$ и $AD$ в этих углах не участвуют",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите прямые, на которых лежат стороны углов $BAC$ и $DCA$, кроме общей прямой $AC$.","Это прямые $AB$ и $CD$, а $AC$ — секущая. Углы $BAC$ и $DCA$ лежат по разные стороны от $AC$ между $AB$ и $CD$ — это накрест лежащие углы.","Накрест лежащие углы равны, значит, по признаку параллельности $AB \\parallel CD$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]В четырехугольнике $KLMN$ проведена диагональ $KM$, $\\angle LMK = \\angle NKM$ (см. рисунок). Какие стороны четырехугольника параллельны, если известно только это равенство углов?[[choice-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0aunvsjjfz3e.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$LM \\parallel KN$ и $KL \\parallel MN$","Определить нельзя","$KL \\parallel MN$","$LM \\parallel KN$"],"explanations":["Одна пара равных накрест лежащих углов дает параллельность только тех двух прямых, на которых лежат их стороны","Углы $LMK$ и $NKM$ — накрест лежащие при прямых $LM$, $KN$ и секущей $KM$, и они равны: признак параллельности выполнен","Стороны углов $LMK$ и $NKM$ лежат на прямых $LM$, $KN$ и на секущей $KM$; прямые $KL$ и $MN$ в этих углах не участвуют",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите прямые, на которых лежат стороны углов $LMK$ и $NKM$, кроме общей прямой $KM$.","Это прямые $LM$ и $KN$, а $KM$ — секущая. Углы $LMK$ и $NKM$ лежат по разные стороны от $KM$ между $LM$ и $KN$ — это накрест лежащие углы.","Накрест лежащие углы равны, значит, по признаку параллельности $LM \\parallel KN$."],"step":1},{"id":"3","content":"Утверждение: «Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны». Что это?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Определение параллельных прямых","Аксиома параллельности","Признак параллельности прямых","Свойство параллельных прямых"],"explanations":["Определение говорит о непересекающихся прямых, про углы в нем ничего нет","Аксиома говорит о числе прямых, параллельных данной, через точку","","В свойстве параллельность дана в условии, а здесь она — вывод"],"answer":[2]}},"hints":["Признак: условие на углы → прямые параллельны. Свойство: прямые параллельны → вывод об углах.","Здесь условие — равенство углов, вывод — параллельность.","Ответ: признак параллельности прямых."],"step":1},{"id":"3","content":"Утверждение: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Что это?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Признак параллельности прямых","Аксиома параллельности","Определение параллельных прямых","Свойство параллельных прямых"],"explanations":["В признаке параллельность — вывод, а здесь она дана в условии","Аксиома говорит о числе прямых, параллельных данной, через точку","Определение говорит о непересекающихся прямых, про углы в нем ничего нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак: условие на углы → прямые параллельны. Свойство: прямые параллельны → вывод об углах.","Здесь условие — параллельность, вывод — равенство углов.","Ответ: свойство параллельных прямых."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-5]]Прямые $a$ и $b$ параллельны, $\\angle 3 = 62^\\circ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Углы $3$ и $6$ — накрест лежащие, при параллельных прямых они равны, значит, $\\angle 6 = 62^\\circ$». Чему равен $\\angle 6$ и в чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/meoaabkce4kg.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\angle 6 = 62^\\circ$: ошибки нет","$\\angle 6 = 118^\\circ$: углы $3$ и $6$ соответственные","$\\angle 6 = 62^\\circ$: углы $3$ и $6$ соответственные, а соответственные углы при $a \\parallel b$ равны","$\\angle 6 = 118^\\circ$: углы $3$ и $6$ односторонние, их сумма $180^\\circ$"],"explanations":["Накрест лежащие углы равны, но углы $3$ и $6$ — односторонние, у них сумма $180^\\circ$","Ответ верный, но углы $3$ и $6$ не соответственные: оба внутренние и лежат по одну сторону от секущей","У соответственных углов один угол внутренний, другой внешний, а углы $3$ и $6$ оба внутренние",""],"answer":[3]}},"hints":["Определите тип пары $3$ и $6$ по положению относительно секущей.","Углы $3$ и $6$ — внутренние по одну сторону от секущей, то есть односторонние. При $a \\parallel b$ их сумма $180^\\circ$.","$\\angle 6 = 180^\\circ-62^\\circ = 118^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]Прямые $a$ и $b$ параллельны, $\\angle 4 = 124^\\circ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Углы $4$ и $5$ — накрест лежащие, при параллельных прямых они равны, значит, $\\angle 5 = 124^\\circ$». Чему равен $\\angle 5$ и в чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/meoaabkce4kg.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle 5 = 56^\\circ$: углы $4$ и $5$ односторонние, их сумма $180^\\circ$","$\\angle 5 = 124^\\circ$: углы $4$ и $5$ соответственные, а соответственные углы при $a \\parallel b$ равны","$\\angle 5 = 124^\\circ$: ошибки нет","$\\angle 5 = 56^\\circ$: углы $4$ и $5$ соответственные"],"explanations":["","У соответственных углов один угол внутренний, другой внешний, а углы $4$ и $5$ оба внутренние","Накрест лежащие углы равны, но углы $4$ и $5$ — односторонние, у них сумма $180^\\circ$","Ответ верный, но углы $4$ и $5$ не соответственные: оба внутренние и лежат по одну сторону от секущей"],"answer":[0]}},"hints":["Определите тип пары $4$ и $5$ по положению относительно секущей.","Углы $4$ и $5$ — внутренние по одну сторону от секущей, то есть односторонние. При $a \\parallel b$ их сумма $180^\\circ$.","$\\angle 5 = 180^\\circ-124^\\circ = 56^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Внешний угол при вершине $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ равен $100^\\circ$. Найдите угол $A$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$100^\\circ$","$40^\\circ$","$50^\\circ$","$80^\\circ$"],"explanations":["Внешний угол равен сумме двух углов $A$ и $C$, а не одному из них","Внешний угол приняли за сам угол $B$: $(180^\\circ-100^\\circ) : 2$. Угол $B$ смежный с внешним и равен $80^\\circ$","","$80^\\circ$ — это угол $B$, смежный с внешним углом; а спрашивали угол $A$ при основании"],"answer":[2]}},"hints":["Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\\angle A + \\angle C = 100^\\circ$.","Треугольник равнобедренный с основанием $AC$, поэтому $\\angle A = \\angle C$.","$\\angle A = 100^\\circ : 2 = 50^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Внешний угол при вершине $L$ равнобедренного треугольника $KLM$ с основанием $KM$ равен $110^\\circ$. Найдите угол $K$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$70^\\circ$","$55^\\circ$","$110^\\circ$","$35^\\circ$"],"explanations":["$70^\\circ$ — это угол $L$, смежный с внешним углом; а спрашивали угол $K$ при основании","","Внешний угол равен сумме двух углов $K$ и $M$, а не одному из них","Внешний угол приняли за сам угол $L$: $(180^\\circ-110^\\circ) : 2$. Угол $L$ смежный с внешним и равен $70^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\\angle K + \\angle M = 110^\\circ$.","Треугольник равнобедренный с основанием $KM$, поэтому $\\angle K = \\angle M$.","$\\angle K = 110^\\circ : 2 = 55^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Один из углов равнобедренного треугольника равен $40^\\circ$. Каким может быть угол между боковыми сторонами?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$70^\\circ$ или $100^\\circ$","Только $40^\\circ$","Только $100^\\circ$","$40^\\circ$ или $100^\\circ$"],"explanations":["$70^\\circ$ — угол при основании в первом случае, а спрашивали угол между боковыми сторонами","Забыт случай, когда $40^\\circ$ — угол при основании: углы $40^\\circ$, $40^\\circ$, $100^\\circ$","Забыт случай, когда $40^\\circ$ и есть угол между боковыми сторонами: углы $40^\\circ$, $70^\\circ$, $70^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол $40^\\circ$ может быть углом между боковыми сторонами или углом при основании — разберите оба случая.","Если $40^\\circ$ — угол между боковыми сторонами, ответ $40^\\circ$. Если $40^\\circ$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже $40^\\circ$, а угол между боковыми сторонами $180^\\circ-2 \\cdot 40^\\circ = 100^\\circ$.","Ответ: $40^\\circ$ или $100^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Один из углов равнобедренного треугольника равен $50^\\circ$. Каким может быть угол между боковыми сторонами?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$50^\\circ$ или $80^\\circ$","$65^\\circ$ или $80^\\circ$","Только $80^\\circ$","Только $50^\\circ$"],"explanations":["","$65^\\circ$ — угол при основании в первом случае, а спрашивали угол между боковыми сторонами","Забыт случай, когда $50^\\circ$ и есть угол между боковыми сторонами: углы $50^\\circ$, $65^\\circ$, $65^\\circ$","Забыт случай, когда $50^\\circ$ — угол при основании: углы $50^\\circ$, $50^\\circ$, $80^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $50^\\circ$ может быть углом между боковыми сторонами или углом при основании — разберите оба случая.","Если $50^\\circ$ — угол между боковыми сторонами, ответ $50^\\circ$. Если $50^\\circ$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже $50^\\circ$, а угол между боковыми сторонами $180^\\circ-2 \\cdot 50^\\circ = 80^\\circ$.","Ответ: $50^\\circ$ или $80^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 9$. Расположите углы треугольника в порядке возрастания: от меньшего к большему.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\angle C$","$\\angle A$","$\\angle B$"]}},"hints":["Против большей стороны лежит больший угол. Для каждой стороны найдите угол при вершине, которая не принадлежит этой стороне.","Против $AB = 5$ лежит $\\angle C$, против $BC = 7$ — $\\angle A$, против $AC = 9$ — $\\angle B$.","Ответ: $\\angle C$, $\\angle A$, $\\angle B$."],"explanation":"Угол лежит против стороны, если его вершина не принадлежит этой стороне. Углы $A$ и $C$ прилежат к стороне $AC$, а против нее лежит угол $B$ — он наибольший.","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $KLM$ $KL = 6$, $LM = 10$, $KM = 8$. Расположите углы треугольника в порядке возрастания: от меньшего к большему.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$\\angle M$","$\\angle L$","$\\angle K$"]}},"hints":["Против большей стороны лежит больший угол. Для каждой стороны найдите угол при вершине, которая не принадлежит этой стороне.","Против $KL = 6$ лежит $\\angle M$, против $KM = 8$ — $\\angle L$, против $LM = 10$ — $\\angle K$.","Ответ: $\\angle M$, $\\angle L$, $\\angle K$."],"explanation":"Угол лежит против стороны, если его вершина не принадлежит этой стороне. Углы $L$ и $M$ прилежат к стороне $LM$, а против нее лежит угол $K$ — он наибольший.","step":1},{"id":"8","content":"В равнобедренном треугольнике две стороны равны $3$ и $8$. Решавр пишет: «Основание $8$, боковые стороны по $3$, периметр $3 + 3 + 8 = 14$». В чем ошибка?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Треугольника $3$, $3$, $8$ нет; периметр $19$","Ошибки нет: $3 + 8 > 3$, треугольник существует, периметр $14$","Годятся оба случая: периметр $14$ или $19$","Треугольника $3$, $3$, $8$ нет, значит, задача не имеет решения"],"explanations":["","Проверять надо наибольшую сторону: $3 + 3 = 6 < 8$, треугольника нет","Случай $3$, $3$, $8$ не существует: $3 + 3 < 8$; остается только $8$, $8$, $3$","Остается второй случай: боковые стороны по $8$, основание $3$, и $8 + 8 > 3$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте, существует ли треугольник со сторонами $3$, $3$, $8$: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других.","$3 + 3 = 6 < 8$, такого треугольника нет. Значит, боковые стороны по $8$, основание $3$: $8 + 8 > 3$.","Периметр $8 + 8 + 3 = 19$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В равнобедренном треугольнике две стороны равны $4$ и $9$. Решавр пишет: «Основание $9$, боковые стороны по $4$, периметр $4 + 4 + 9 = 17$». В чем ошибка?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Годятся оба случая: периметр $17$ или $22$","Треугольника $4$, $4$, $9$ нет, значит, задача не имеет решения","Треугольника $4$, $4$, $9$ нет; периметр $22$","Ошибки нет: $4 + 9 > 4$, треугольник существует, периметр $17$"],"explanations":["Случай $4$, $4$, $9$ не существует: $4 + 4 < 9$; остается только $9$, $9$, $4$","Остается второй случай: боковые стороны по $9$, основание $4$, и $9 + 9 > 4$","","Проверять надо наибольшую сторону: $4 + 4 = 8 < 9$, треугольника нет"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, существует ли треугольник со сторонами $4$, $4$, $9$: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других.","$4 + 4 = 8 < 9$, такого треугольника нет. Значит, боковые стороны по $9$, основание $4$: $9 + 9 > 4$.","Периметр $9 + 9 + 4 = 22$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\\angle A = 30^\\circ$, $BC = 5$. Решавр пишет: «Катет $BC$ лежит против угла $30^\\circ$, значит, он равен половине катета $AC$, то есть $AC = 10$». В чем ошибка?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["Катет $BC$ равен половине гипотенузы, а гипотенуза — $AC$, значит, $AC = 10$","Катет против $30^\\circ$ равен половине гипотенузы: $AB = 10$, а не $AC$","Угол $30^\\circ$ лежит против катета $AC$, а не $BC$","Ошибки нет: катет против $30^\\circ$ равен половине другого катета"],"explanations":["Гипотенуза лежит против прямого угла $C$ — это $AB$, а $AC$ — катет","","Угол $A = 30^\\circ$ лежит против стороны $BC$, ошибка не в выборе катета","Половине равен катет только по отношению к гипотенузе; другой катет длиннее"],"answer":[1]}},"hints":["Чему равен катет против угла $30^\\circ$ — половине какой стороны?","Катет против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы. Гипотенуза здесь $AB$, а не $AC$.","Верно: $AB = 2 \\cdot 5 = 10$."],"step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $KLM$ угол $M$ прямой, $\\angle L = 30^\\circ$, $KM = 4$. Решавр пишет: «Катет $KM$ лежит против угла $30^\\circ$, значит, он равен половине катета $LM$, то есть $LM = 8$». В чем ошибка?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["Угол $30^\\circ$ лежит против катета $LM$, а не $KM$","Катет $KM$ равен половине гипотенузы, а гипотенуза — $LM$, значит, $LM = 8$","Катет против $30^\\circ$ равен половине гипотенузы: $KL = 8$, а не $LM$","Ошибки нет: катет против $30^\\circ$ равен половине другого катета"],"explanations":["Угол $L = 30^\\circ$ лежит против стороны $KM$, ошибка не в выборе катета","Гипотенуза лежит против прямого угла $M$ — это $KL$, а $LM$ — катет","","Половине равен катет только по отношению к гипотенузе; другой катет длиннее"],"answer":[2]}},"hints":["Чему равен катет против угла $30^\\circ$ — половине какой стороны?","Катет против угла $30^\\circ$ равен половине гипотенузы. Гипотенуза здесь $KL$, а не $LM$.","Верно: $KL = 2 \\cdot 4 = 8$."],"step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\\angle A = 30^\\circ$, $BC = 6$, $CM$ — медиана. Найдите периметр треугольника $BCM$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Катет $BC$ лежит против угла $A = 30^\\circ$, поэтому гипотенуза $AB = 2 \\cdot BC = 12$.","$M$ — середина гипотенузы: $BM = 12 : 2 = 6$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = 6$.","Периметр $BCM$: $6 + 6 + 6 = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $KLM$ угол $M$ прямой, $\\angle K = 30^\\circ$, $LM = 5$, $MP$ — медиана. Найдите периметр треугольника $LMP$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Катет $LM$ лежит против угла $K = 30^\\circ$, поэтому гипотенуза $KL = 2 \\cdot LM = 10$.","$P$ — середина гипотенузы: $LP = 10 : 2 = 5$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $MP = 5$.","Периметр $LMP$: $5 + 5 + 5 = 15$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>