Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Обновленный урок по теме: «Неравенства в треугольнике. Перпендикуляр и наклонная»

Вы уже умеете находить углы треугольника и сравнивать его элементы отдельно, но теперь мы установим четкую взаимосвязь: покажем, как величина угла определяет длину противолежащей стороны и наоборот.

На уроке мы сформулируем и докажем две ключевые теоремы — о том, что против большей стороны лежит больший угол и что против большего угла лежит большая сторона. Будем работать с чертежами, проводить доказательства (в том числе методом от противного) и применять теоремы при решении задач: учиться обоснованно сравнивать стороны и углы и делать логические выводы о виде треугольника. 

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника — полезный геометрический «инструмент», позволяющий оценивать составляющие треугольника.

Скажем, к примеру, что известно следующее соотношение между углами треугольника $\bigtriangleup{ABC}$: $$\angle{C}>\angle{A}>\angle{B}.$$ Хватит ли этого соотношения между углами, чтобы прийти к каким-то заключениям о сторонах $\bigtriangleup{ABC}$? Удивительно, но да.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами позволяет делать «прыжок» от углов к сторонам, и наоборот. Сегодня мы обсудим, какие соотношения между углами и сторонами существуют и как этим можно пользоваться.

Против большей стороны лежит бóльший угол

Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$, в котором известно, что сторона $AB$ больше стороны $AC$. Теперь присмотримся к противолежащим сторонам углам — углам $\angle{C}$ и $\angle{B}$ соответственно. Какой из углов визуально кажется бóльшим? Даже без применения транспортира очевидно, что $$\angle{C}>\angle{B}$$

Докажем, что подобное соотношение между сторонами и углами треугольника работает универсально для любого треугольника:

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника:
Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Доказательство

Скрыть

Пусть в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ известно неравенство сторон $AB>AC$. Отложим на большей стороне $AB$ отрезок $AC_1$ так, что $AC_1=AC$. В полученном треугольнике $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ отметим углы $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$.

Поскольку в $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ стороны $AC_1$ и $AC$ равны, заключаем, что $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ — равнобедренный треугольник, где $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$.

Рассмотрим $\angle{\alpha}$. Он является внешним углом треугольника $\bigtriangleup{C_{1}BC}$. По теореме о внешнем угле треугольника известно, что внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Следовательно, внешний угол всегда по величине больше любого не смежного с ним внутреннего угла. Тогда $\angle{\alpha}>\angle{B}$.

Рассмотрим $\angle{\beta}$. Он является частью угла $C$, ведь через любые две точки можно провести прямую. В данном случае — прямую, на которой расположен отрезок $CC_1$. Раз $\angle{\beta}$ — часть $\angle{C}$, можно заключить, что $\angle{C}>\angle{\beta}$. Если $\angle{C}>\angle{\beta}$ и $\angle{\alpha}>\angle{B}$, при условии, что $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$, то очевидно, что $\angle{C}>\angle{B}$. Против большей стороны $AB$ лежит больший угол $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами: последний пункт доказательства

Как мы из двух неравенств и одного равенства пришли к выводу, что угол $\angle{C}$ больше угла $\angle{B}$? Давайте еще раз представим в едином виде все имеющиеся у нас данные: $$\begin{cases}\angle{\alpha}=\angle{\beta} \\ \angle{B}<\angle{\alpha} \\ \angle{C}>\angle{\beta}\end{cases}$$ И $\angle{B}$, и $\angle{C}$ сравниваются с одной и той же величиной, ведь величина углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$ равна. Угол $\angle{B}$ меньше некоторой величины, а угол $\angle{C}$ больше относительно той же самой величины. Конечно, $\angle{C}$ будет больше $\angle{B}$.

{"questions":[{"content":"Против большей стороны всегда лежит [[fill_choice_big-2]] угол.","widgets":{"speech-15":{"type":"speech","text":"Впишите недостающее слово."},"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["больший","меньший","прямой","острый"],"answer":0}}}]}

Против большего угла лежит бóльшая сторона

Проверим, работают ли соотношения в обратную сторону. Иными словами, если задано некоторое неравенство углов, какой вывод можно сделать о соответствующих сторонах? Будет ли выше доказанная теорема справедлива как для сторон, так и для углов?

Обратная теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника:
Против большего угла треугольника лежит бóльшая сторона.

Доказательство

Скрыть

Пусть в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ известно неравенство углов $\angle{C}>\angle{B}$ (также на чертеже: $\angle{\beta}>\angle{\alpha}$).

Воспользуемся методом от противного и предположим, что неравенство $AB>AC$ неверно. Раз сторона $AB$ не больше стороны $AC$, возможно следующее:

• либо $AB=AC$;
• либо $AB<AC$, то есть сторона $AB$ меньше.

Если $AB=AC$, то $\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный, следовательно, $\angle{C}=\angle{B}$, что противоречит заданным условиям. Если $AB<AC$, тогда согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника против большей стороны лежит больший угол и $\angle{B}>\angle{C}$, что тоже противоречит заданным условиям. Из этого следует, что неравенство $AB>AC$ верно. Против большего угла лежит бóльшая сторона. Что и требовалось доказать.

Итого, теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника сообщает: если есть пара сторон, в которой по значению одна сторона больше, то против большей стороны будет лежать больший по величине угол. Против меньшей — меньший. Ровно то же самое работает с парами углов. Если один из углов в паре больше, то сторона против большего угла больше, против меньшего — меньше.

Вернемся к задачке из введения в урок, с треугольником $\bigtriangleup{ABC}$, про который известно, что $\angle{C}>\angle{A}>\angle{B}$. Как будет выглядеть неравенство сторон для треугольника $\bigtriangleup{ABC}$?

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ угол $\\angle{A}$ больше $\\angle{B}$. Какая из сторон треугольника будет <b>меньшей</b> — $BC$ или $AC$?  [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$BC$","$AC$"],"answer":[1]}},"hints":["Если $\\angle{B}<\\angle{A}$, то сторона, противолежащая углу $\\angle{B}$, будет меньшей."]}]}

Интерактив

В данном интерактиве вы можете построить треугольник, если известна одна сторона и два угла. С помощью ползунков изменяйте длину стороны $AB$ и величины углов при вершинах $A$ и $B$, а затем нажмите кнопку «Построить треугольник». Программа покажет фигуру и автоматически рассчитает третий угол.

Такое задание помогает вам убедиться в важном свойстве: сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Если выбранные значения не удовлетворяют этому условию, вы сразу получите сообщение об ошибке. Благодаря наглядности материал усваивается легче, а правило остается в памяти надолго.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup ABC$ угол $A$ равен $40^\\circ$, угол $B$ — $65^\\circ$. Какая сторона треугольника будет наибольшей и почему? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сторона $AB$.","Сторона $BC$.","Сторона $AC$.","Все стороны равны."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим сумму углов треугольника: она равна $180^\\circ$. Сначала найдем угол $C$.","Вычислим: $C=180^\\circ-40^\\circ-65^\\circ=75^\\circ$. Это наибольший угол треугольника.","В треугольнике напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Напротив угла $C$ находится сторона $AB$, поэтому она наибольшая."]}]}

Часто задаваемые вопросы