Соотношения между углами и сторонами

{"questions":[{"content":"Впишите недостающее слово в формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:<br /><br />«Против большей стороны треугольника лежит [[input-1]] угол».","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"больший"}},"hints":["Мудрость дня: «Какая сторона — такой и угол»."],"id":"0"},{"content":"Впишите недостающее слово в формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:<br /><br />«Против [[input-8]] стороны треугольника лежит больший угол».  <br />","widgets":{"input-8":{"type":"input","inline":1,"answer":"большей"}},"hints":["Мудрость дня: «Какая сторона — такой и угол»."],"id":"0"},{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ известно, что $\\angle{B}<\\angle{C}$. Какой вывод можно сделать о противолежащих данным углам сторонах? [[choice-24]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["$AC < AB$","$AC > AB$","$AC < BC$"],"explanations":["Перефразируем теорему о соотношениях: против <i>меньшего</i> угла лежит <i>меньшая</i> сторона. Если $\\angle{B}<\\angle{C}$, то $AC < AB.$","",""],"answer":[0]}},"id":"1"},{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{KLM}$ известно, что $\\angle{K}<\\angle{M}$. Какой вывод можно сделать о противолежащих данным углам сторонах? [[choice-54]]","widgets":{"choice-54":{"type":"choice","options":["$LM < KL$","$LM > KL$","$KM < KL$"],"explanations":["Перефразируем теорему о соотношениях: против <i>меньшего</i> угла лежит <i>меньшая</i> сторона. Если $\\angle{K}<\\angle{M}$, то $LM < KL.$","",""],"answer":[0]}},"id":"1"},{"content":"Может ли в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ быть тупым угол $\\angle{A}$, если между сторонами треугольника верно соотношение $AB>BC>CA$?[[choice-88]]","widgets":{"choice-88":{"type":"choice","options":["Да, угол $\\angle{A}$ может быть тупым.","Нет, угол $\\angle{A}$ острый."],"explanations":["Соотношение $AB>BC>CA$ говорит: угол, противолежащий стороне $AB$, в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ наибольший. Какой это угол? Может ли при этом $\\angle{A}$ быть тупым?","По следствию из теоремы о сумме углов треугольника имеем, что в треугольнике не может быть больше <i><b>одного</b></i> тупого угла. Также если в треугольнике имеется тупой угол, он, следовательно, является наибольшим. <br /><br />Соотношение $AB>BC>CA$ же сообщает, что угол, противолежащий стороне $AB$, в треугольнике наибольший. Поскольку $\\angle{C}>\\angle{A}$, угол $\\angle{A}$ тупым быть не может."],"answer":[1]}},"hints":["«Переведите» соотношение сторон $AB>BC>CA$ в соотношение углов $\\angle{C}>\\angle{A}>\\angle{B}.$"],"id":"2"},{"content":"Известно, что в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ верно следующее соотношение: $AB = AC < BC$. Можно ли утверждать, что $\\angle{A}>90^\\circ$? [[choice-171]]","widgets":{"choice-171":{"type":"choice","options":["Да, можно утверждать, что угол $\\angle{A}>90^\\circ$.","Нет, угол $\\angle{A}<90^\\circ $."],"explanations":["","Если $AB=AC$, то $\\angle{C}=\\angle{B}$. Треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный. Подумайте, почему данный факт «снимает ограничения» с $\\angle{A}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Угол с градусной величиной $>90^\\circ$ является тупым. Тогда нам нужно проверить, может ли $\\angle{A}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ быть тупым.","По соотношению $AB = AC < BC$ делаем вывод, что треугольник равнобедренный и $\\angle{C} = \\angle{B}$. Также по соотношению делаем еще один вывод, что угол $\\angle{A}$, противолежащий $BC$, наибольший.","Из этого следует, что в $\\bigtriangleup{ABC}$ угол $\\angle{A}$ может быть тупым."],"id":"2"},{"content":"В треугольнике известны длины трех сторон — $a$, $b$ и $c$. Выберите ниже все верные неравенства, связывающие между собою длины сторон треугольника. [[choice-265]]","widgets":{"choice-265":{"type":"choice","options":["$a < b+c$","$b < a+c$","$c < a+b$","$a > b+c$","$ c> b+a$"],"answer":[0,1,2]}},"hints":["Помните про <i><b>неравенство треугольника</b></i>: «Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон»."],"id":"3"},{"content":"Какое из нижеследующих утверждений верно в применении к любому треугольнику? [[choice-379]]","widgets":{"choice-379":{"type":"choice","options":["Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.","Всякая сторона треугольника всегда больше суммы двух других сторон.","Всякая сторона треугольника всегда равна сумме двух других сторон."],"explanations":["Неравенство треугольника гласит: «Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон». В общей алгебраической форме записать неравенство треугольника можно следующим образом: $x < y+z$.","",""],"answer":[0]}},"hints":["В чем заключается <i><b>неравенство треугольника</b></i>?"],"id":"3"},{"content":"Неравенство треугольника связывает между собой соотношение стороны к <i><b>сумме</b></i> других сторон. А в чем заключается обратное неравенство треугольника? Какое слово пропущено ниже? [[speech-488]]<br>","widgets":{"speech-488":{"type":"speech","text":"Обратное неравенство треугольника заключает, что всякая сторона треугольника всегда [[input-524]]  разности двух других сторон."},"input-524":{"type":"input","inline":1,"answer":"больше"}},"hints":["Возьмем неравенство $a < b+c$. Перенесем $b$ влево и получим $a-b < c$. Это алгебраическая запись обратного неравенства треугольника. Подумайте, какое слово подходит, чтобы «оформить» обратное неравенство текстом."],"id":"4"},{"content":"[[speech-620]]<br><br>1. $c$  [[input-708]]  $d-f$<br />2. $d$  [[input-1116]]  $c-f$<br />3. $f$  [[input-1180]]  $d-c$<br />","widgets":{"speech-620":{"type":"speech","text":"Дан треугольник с длинами сторон $c$, $d$, $f$. Дополните ниже <i><b>обратные</b></i> неравенства для данного треугольника соответствующими знаками неравенства."},"input-708":{"type":"input","inline":1,"answer":">"},"input-1116":{"type":"input","inline":1,"answer":">"},"input-1180":{"type":"input","inline":1,"answer":">"}},"hints":["Вспомните, что обратное неравенство заключается в том, что всякая сторона треугольника всегда <i><b>больше</b></i> разности двух других сторон."],"id":"4"},{"content":"Может ли существовать треугольник со сторонами $a=1$, $b=2$, $c=3?$[[choice-1362]]","widgets":{"choice-1362":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник существует.","Нет, такой треугольник невозможен."],"explanations":["","Доказать данное утверждение можно с помощью всего лишь одного неравенства треугольника $a+b>c$, где $3>3$, что неверно, поскольку неравенство треугольника строгое."],"answer":[1]}},"hints":["Попробуйте подумать, как к ответу относится неверное неравенство $3 > 3$."],"id":"5"},{"content":"Может ли существовать треугольник со сторонами $a=1,2$, $b=1,3$, $c=2,5?$[[choice-1540]]","widgets":{"choice-1540":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник существует.","Нет, такой треугольник невозможен."],"explanations":["","Нет, треугольника с такими сторонами не существует, и доказать данное утверждение можно с помощью всего лишь одного неравенства $a+b>c$, где $2,5>2,5$, что неверно, поскольку неравенство треугольника строгое."],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте стороны в неравенстве треугольника:$$a+b > c$$"],"id":"5"},{"content":"Дан равнобедренный треугольник, где одна сторона равняется $12~см$, а вторая равняется $26~см$. Какая из данных сторон будет являться основанием треугольника?<br /><br /><i>Впишите ниже численное значение основания. Если обе стороны могут быть основанием, впишите сумму основания и боковой стороны</i>. [[input-1698]]","widgets":{"input-1698":{"type":"input","unit":"$см$","answer":"12"}},"step":1,"hints":["Предположим, что сторона с длиной $12~см$ является основанием равнобедренного треугольника. Проверим стороны треугольника в неравенстве: $26+26>12$. Неравенство верно, сторона с длиной $12~см$ может являться основанием.","С другой стороны, предположим, что сторона с длиной $26~см$ является основанием равнобедренного треугольника. Вновь проверим стороны треугольника в неравенстве: $12+12>26$. Неравенство неверно.","Вывод: основанием данного равнобедренного треугольника может являться только сторона со значением $12~см$."],"id":"6"},{"content":"Чему равняется третья сторона равнобедренного треугольника, если две другие равны $8~см$ и $2~см?$ <br /><br />Она равняется [[fill_choice_big-2038]] $см$.","widgets":{"fill_choice_big-2038":{"type":"fill_choice_big","options":["8","2"],"answer":0}},"hints":["Раз треугольник равнобедренный, задача сводится к одному: необходимо определить, какая из заданных двух сторон является основанием.","Сторона со значением $8$ основанием быть не может, так как не соблюдается неравенство треугольника: $2+2>8.$","Если основание равняется $2$, то третья сторона, она же еще одна боковая, равна $8$.","<i><b>Ответ</b></i>: $8$."],"id":"6"},{"content":"$P_{\\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $25~см$. Известно, что треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный и разность двух его сторон равна $4~см$. Один из внешних углов треугольника — острый. Найдите стороны $\\bigtriangleup{ABC}$. <br /><br /><i>Ниже укажите значения для $a$ как для основания, и для $b$ как для боковой стороны</i>. <br /><br />$a=$ [[input-2486]]$,$ $b=$ [[input-2599]]","widgets":{"input-2486":{"type":"input","inline":1,"answer":"11"},"input-2599":{"type":"input","inline":1,"answer":"7"}},"step":1,"hints":["Во-первых, нужно определить, какая сторона больше — основание или боковая: тождество «разность двух сторон равна 4 см» алгебраически можно записать и как «$a-b=4$», и как «$b-a=4$».","Один из внешних углов — острый. Следовательно, смежный с ним угол — внутренний угол треугольника — является тупым.","В треугольнике больше одного тупого угла быть не может; к тому же по условию треугольник равнобедренный. Поэтому угол, противолежащий основанию, является тупым. Против большего угла лежит большая сторона. Заключаем, что $a>b$.","Имеем: $$a > b\\\\a-b=4\\\\a+2b=25$$","Методом подстановки находим: $a=11$, $b=7$."],"id":"7"},{"content":"Два внешних угла треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$ при разных вершинах равны. $P_{\\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $70$, а одна из сторон треугольника равна $10~см$. Чему равняются две другие стороны треугольника? Впишите ниже значения в любом порядке. <br /><br />Они равняются [[input-3078]] и [[input-3162]].","widgets":{"input-3078":{"type":"input","inline":1,"answer":"30"},"input-3162":{"type":"input","inline":1,"answer":"30"}},"step":1,"hints":["У двух равных внешних углов треугольника равны соответствующие внутренние углы. Тогда $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный.","Периметр треугольника равняется: $P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b$, где $a$ — основание, а $b$ — боковая сторона.","Одна из сторон треугольника дана по условию. Предположим, что она является боковой стороной. Тогда:$$P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b=a+2\\cdot10=70$$","Откуда находим, что $a=50$. Это не соответствует неравенству треугольника ($50+10>10$); значит, заданная по условию сторона не боковая, а основание.","$P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b=10+2b=70$","Вычисляем и находим, что боковая сторона $b=30$.","<i><b>Ответ</b></i>: $30$ и $30$."],"id":"7"}],"mix":1}