Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Отлично!

Добытые сапфиры0 Очки опыта, полученные за тест0
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

Сообщить об ошибке

Сообщить об ошибке в вопросе

Описание проблемы:

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Готов к практике?

Соотношения между углами и сторонами

{"questions":[{"content":"Впишите недостающее слово в формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:<br /><br />«Против большей стороны треугольника лежит [[input-1]] угол».","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"больший"}},"hints":["Мудрость дня: «Какая сторона — такой и угол»."],"id":"0"},{"content":"Впишите недостающее слово в формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:<br /><br />«Против [[input-8]] стороны треугольника лежит больший угол».  <br />","widgets":{"input-8":{"type":"input","inline":1,"answer":"большей"}},"hints":["Мудрость дня: «Какая сторона — такой и угол»."],"id":"0"},{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ известно, что $\\angle{B}<\\angle{C}$. Какой вывод можно сделать о противолежащих данным углам сторонах? [[choice-24]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["$AC < AB$","$AC > AB$","$AC < BC$"],"explanations":["Перефразируем теорему о соотношениях: против <i>меньшего</i> угла лежит <i>меньшая</i> сторона. Если $\\angle{B}<\\angle{C}$, то $AC < AB.$","",""],"answer":[0]}},"id":"1"},{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{KLM}$ известно, что $\\angle{K}<\\angle{M}$. Какой вывод можно сделать о противолежащих данным углам сторонах? [[choice-54]]","widgets":{"choice-54":{"type":"choice","options":["$LM < KL$","$LM > KL$","$KM < KL$"],"explanations":["Перефразируем теорему о соотношениях: против <i>меньшего</i> угла лежит <i>меньшая</i> сторона. Если $\\angle{K}<\\angle{M}$, то $LM < KL.$","",""],"answer":[0]}},"id":"1"},{"content":"Может ли в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ быть тупым угол $\\angle{A}$, если между сторонами треугольника верно соотношение $AB>BC>CA$?[[choice-88]]","widgets":{"choice-88":{"type":"choice","options":["Да, угол $\\angle{A}$ может быть тупым.","Нет, угол $\\angle{A}$ острый."],"explanations":["Соотношение $AB>BC>CA$ говорит: угол, противолежащий стороне $AB$, в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ наибольший. Какой это угол? Может ли при этом $\\angle{A}$ быть тупым?","По следствию из теоремы о сумме углов треугольника имеем, что в треугольнике не может быть больше <i><b>одного</b></i> тупого угла. Также если в треугольнике имеется тупой угол, он, следовательно, является наибольшим. <br /><br />Соотношение $AB>BC>CA$ же сообщает, что угол, противолежащий стороне $AB$, в треугольнике наибольший. Поскольку $\\angle{C}>\\angle{A}$, угол $\\angle{A}$ тупым быть не может."],"answer":[1]}},"hints":["«Переведите» соотношение сторон $AB>BC>CA$ в соотношение углов $\\angle{C}>\\angle{A}>\\angle{B}.$"],"id":"2"},{"content":"Известно, что в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ верно следующее соотношение: $AB = AC < BC$. Можно ли утверждать, что $\\angle{A}>90^\\circ$? [[choice-171]]","widgets":{"choice-171":{"type":"choice","options":["Да, можно утверждать, что угол $\\angle{A}>90^\\circ$.","Нет, угол $\\angle{A}<90^\\circ $."],"explanations":["","Если $AB=AC$, то $\\angle{C}=\\angle{B}$. Треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный. Подумайте, почему данный факт «снимает ограничения» с $\\angle{A}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Угол с градусной величиной $>90^\\circ$ является тупым. Тогда нам нужно проверить, может ли $\\angle{A}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ быть тупым.","По соотношению $AB = AC < BC$ делаем вывод, что треугольник равнобедренный и $\\angle{C} = \\angle{B}$. Также по соотношению делаем еще один вывод, что угол $\\angle{A}$, противолежащий $BC$, наибольший.","Из этого следует, что в $\\bigtriangleup{ABC}$ угол $\\angle{A}$ может быть тупым."],"id":"2"},{"content":"В треугольнике известны длины трех сторон — $a$, $b$ и $c$. Выберите ниже все верные неравенства, связывающие между собою длины сторон треугольника. [[choice-265]]","widgets":{"choice-265":{"type":"choice","options":["$a < b+c$","$b < a+c$","$c < a+b$","$a > b+c$","$ c> b+a$"],"answer":[0,1,2]}},"hints":["Помните про <i><b>неравенство треугольника</b></i>: «Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон»."],"id":"3"},{"content":"Какое из нижеследующих утверждений верно в применении к любому треугольнику? [[choice-379]]","widgets":{"choice-379":{"type":"choice","options":["Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.","Всякая сторона треугольника всегда больше суммы двух других сторон.","Всякая сторона треугольника всегда равна сумме двух других сторон."],"explanations":["Неравенство треугольника гласит: «Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон». В общей алгебраической форме записать неравенство треугольника можно следующим образом: $x < y+z$.","",""],"answer":[0]}},"hints":["В чем заключается <i><b>неравенство треугольника</b></i>?"],"id":"3"},{"content":"Неравенство треугольника связывает между собой соотношение стороны к <i><b>сумме</b></i> других сторон. А в чем заключается обратное неравенство треугольника? Какое слово пропущено ниже? [[speech-488]]<br>","widgets":{"speech-488":{"type":"speech","text":"Обратное неравенство треугольника заключает, что всякая сторона треугольника всегда [[input-524]]  разности двух других сторон."},"input-524":{"type":"input","inline":1,"answer":"больше"}},"hints":["Возьмем неравенство $a < b+c$. Перенесем $b$ влево и получим $a-b < c$. Это алгебраическая запись обратного неравенства треугольника. Подумайте, какое слово подходит, чтобы «оформить» обратное неравенство текстом."],"id":"4"},{"content":"[[speech-620]]<br><br>1. $c$  [[input-708]]  $d-f$<br />2. $d$  [[input-1116]]  $c-f$<br />3. $f$  [[input-1180]]  $d-c$<br />","widgets":{"speech-620":{"type":"speech","text":"Дан треугольник с длинами сторон $c$, $d$, $f$. Дополните ниже <i><b>обратные</b></i> неравенства для данного треугольника соответствующими знаками неравенства."},"input-708":{"type":"input","inline":1,"answer":">"},"input-1116":{"type":"input","inline":1,"answer":">"},"input-1180":{"type":"input","inline":1,"answer":">"}},"hints":["Вспомните, что обратное неравенство заключается в том, что всякая сторона треугольника всегда <i><b>больше</b></i> разности двух других сторон."],"id":"4"},{"content":"Может ли существовать треугольник со сторонами $a=1$, $b=2$, $c=3?$[[choice-1362]]","widgets":{"choice-1362":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник существует.","Нет, такой треугольник невозможен."],"explanations":["","Доказать данное утверждение можно с помощью всего лишь одного неравенства треугольника $a+b>c$, где $3>3$, что неверно, поскольку неравенство треугольника строгое."],"answer":[1]}},"hints":["Попробуйте подумать, как к ответу относится неверное неравенство $3 > 3$."],"id":"5"},{"content":"Может ли существовать треугольник со сторонами $a=1,2$, $b=1,3$, $c=2,5?$[[choice-1540]]","widgets":{"choice-1540":{"type":"choice","options":["Да, такой треугольник существует.","Нет, такой треугольник невозможен."],"explanations":["","Нет, треугольника с такими сторонами не существует, и доказать данное утверждение можно с помощью всего лишь одного неравенства $a+b>c$, где $2,5>2,5$, что неверно, поскольку неравенство треугольника строгое."],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте стороны в неравенстве треугольника:$$a+b > c$$"],"id":"5"},{"content":"Дан равнобедренный треугольник, где одна сторона равняется $12~см$, а вторая равняется $26~см$. Какая из данных сторон будет являться основанием треугольника?<br /><br /><i>Впишите ниже численное значение основания. Если обе стороны могут быть основанием, впишите сумму основания и боковой стороны</i>. [[input-1698]]","widgets":{"input-1698":{"type":"input","unit":"$см$","answer":"12"}},"step":1,"hints":["Предположим, что сторона с длиной $12~см$ является основанием равнобедренного треугольника. Проверим стороны треугольника в неравенстве: $26+26>12$. Неравенство верно, сторона с длиной $12~см$ может являться основанием.","С другой стороны, предположим, что сторона с длиной $26~см$ является основанием равнобедренного треугольника. Вновь проверим стороны треугольника в неравенстве: $12+12>26$. Неравенство неверно.","Вывод: основанием данного равнобедренного треугольника может являться только сторона со значением $12~см$."],"id":"6"},{"content":"Чему равняется третья сторона равнобедренного треугольника, если две другие равны $8~см$ и $2~см?$ <br /><br />Она равняется [[fill_choice_big-2038]] $см$.","widgets":{"fill_choice_big-2038":{"type":"fill_choice_big","options":["8","2"],"answer":0}},"hints":["Раз треугольник равнобедренный, задача сводится к одному: необходимо определить, какая из заданных двух сторон является основанием.","Сторона со значением $8$ основанием быть не может, так как не соблюдается неравенство треугольника: $2+2>8.$","Если основание равняется $2$, то третья сторона, она же еще одна боковая, равна $8$.","<i><b>Ответ</b></i>: $8$."],"id":"6"},{"content":"$P_{\\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $25~см$. Известно, что треугольник $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный и разность двух его сторон равна $4~см$. Один из внешних углов треугольника — острый. Найдите стороны $\\bigtriangleup{ABC}$. <br /><br /><i>Ниже укажите значения для $a$ как для основания, и для $b$ как для боковой стороны</i>. <br /><br />$a=$ [[input-2486]]$,$ $b=$ [[input-2599]]","widgets":{"input-2486":{"type":"input","inline":1,"answer":"11"},"input-2599":{"type":"input","inline":1,"answer":"7"}},"step":1,"hints":["Во-первых, нужно определить, какая сторона больше — основание или боковая: тождество «разность двух сторон равна 4 см» алгебраически можно записать и как «$a-b=4$», и как «$b-a=4$».","Один из внешних углов — острый. Следовательно, смежный с ним угол — внутренний угол треугольника — является тупым.","В треугольнике больше одного тупого угла быть не может; к тому же по условию треугольник равнобедренный. Поэтому угол, противолежащий основанию, является тупым. Против большего угла лежит большая сторона. Заключаем, что $a>b$.","Имеем: $$a > b\\\\a-b=4\\\\a+2b=25$$","Методом подстановки находим: $a=11$, $b=7$."],"id":"7"},{"content":"Два внешних угла треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$ при разных вершинах равны. $P_{\\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $70$, а одна из сторон треугольника равна $10~см$. Чему равняются две другие стороны треугольника? Впишите ниже значения в любом порядке. <br /><br />Они равняются [[input-3078]] и [[input-3162]].","widgets":{"input-3078":{"type":"input","inline":1,"answer":"30"},"input-3162":{"type":"input","inline":1,"answer":"30"}},"step":1,"hints":["У двух равных внешних углов треугольника равны соответствующие внутренние углы. Тогда $\\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный.","Периметр треугольника равняется: $P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b$, где $a$ — основание, а $b$ — боковая сторона.","Одна из сторон треугольника дана по условию. Предположим, что она является боковой стороной. Тогда:$$P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b=a+2\\cdot10=70$$","Откуда находим, что $a=50$. Это не соответствует неравенству треугольника ($50+10>10$); значит, заданная по условию сторона не боковая, а основание.","$P_{\\bigtriangleup{ABC}}=a+2b=10+2b=70$","Вычисляем и находим, что боковая сторона $b=30$.","<i><b>Ответ</b></i>: $30$ и $30$."],"id":"7"}],"mix":1}