Неравенства в треугольнике

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$. Расположите углы треугольника в порядке возрастания.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\angle C$","$\\angle B$","$\\angle A$"]}},"hints":["Сторона лежит против угла, если она соединяет две другие вершины: против $\\angle A$ — $BC$, против $\\angle B$ — $AC$, против $\\angle C$ — $AB$.","Против $AB = 4$ — угол $C$, против $CA = 5$ — угол $B$, против $BC = 6$ — угол $A$.","Ответ: $\\angle C$, $\\angle B$, $\\angle A$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $PQR$ $PQ = 7$, $QR = 9$, $RP = 8$. Расположите углы треугольника в порядке возрастания.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$\\angle R$","$\\angle Q$","$\\angle P$"]}},"hints":["Против угла $P$ — $QR$, против $Q$ — $RP$, против $R$ — $PQ$.","Против $PQ = 7$ — угол $R$, против $RP = 8$ — угол $Q$, против $QR = 9$ — угол $P$.","Ответ: $\\angle R$, $\\angle Q$, $\\angle P$."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите тройки отрезков: из каких можно составить треугольник, а из каких нельзя.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Можно","Нельзя"],"items":[["$4$, $6$, $9$","$5$, $5$, $8$"],["$2$, $5$, $8$","$3$, $6$, $9$"]]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","$9 < 4 + 6$; $8 < 5 + 5$; $8 > 2 + 5$; $9 = 3 + 6$.","Можно: $4$, $6$, $9$ и $5$, $5$, $8$. Нельзя: $2$, $5$, $8$ и $3$, $6$, $9$."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите тройки отрезков: из каких можно составить треугольник, а из каких нельзя.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Можно","Нельзя"],"items":[["$5$, $8$, $12$","$6$, $6$, $11$"],["$3$, $7$, $11$","$4$, $6$, $10$"]]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","$12 < 5 + 8$; $11 < 6 + 6$; $11 > 3 + 7$; $10 = 4 + 6$.","Можно: $5$, $8$, $12$ и $6$, $6$, $11$. Нельзя: $3$, $7$, $11$ и $4$, $6$, $10$."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезки $3$, $5$ и $9$. Решавр пишет: «$3 + 9 > 5$, значит, из них можно составить треугольник». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Проверять надо наименьшую сторону: $3 < 5 + 9$, треугольник есть","Надо было сравнить $9$ с разностью $5-3$; так как $9 > 2$, треугольник есть","Ошибки нет: одно неравенство выполнено","Проверять надо наибольшую сторону: $3 + 5 = 8 < 9$, треугольника нет"],"explanations":["Для наименьшей стороны неравенство верно всегда; решает наибольшая: $9 > 3 + 5$","Сравнение с разностью — не вся проверка; $9$ больше суммы $3 + 5$","Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других; для стороны $9$ это не так",""],"answer":[3]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","Наибольшая сторона $9$, а $3 + 5 = 8 < 9$: дуги радиусов $3$ и $5$ из концов отрезка $9$ не пересекаются.","Ответ: треугольника нет."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезки $2$, $5$ и $9$. Решавр пишет: «$5 + 9 > 2$, значит, из них можно составить треугольник». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Проверять надо наибольшую сторону: $2 + 5 = 7 < 9$, треугольника нет","Проверять надо наименьшую сторону: $2 < 5 + 9$, треугольник есть","Надо было сравнить $9$ с разностью $5-2$; так как $9 > 3$, треугольник есть","Ошибки нет: одно неравенство выполнено"],"explanations":["","Для наименьшей стороны неравенство верно всегда; решает наибольшая: $9 > 2 + 5$","Сравнение с разностью — не вся проверка; $9$ больше суммы $2 + 5$","Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других; для стороны $9$ это не так"],"answer":[0]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","Наибольшая сторона $9$, а $2 + 5 = 7 < 9$: дуги радиусов $2$ и $5$ из концов отрезка $9$ не пересекаются.","Ответ: треугольника нет."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 7$, $BC = 9$, $AC = 12$. Решавр пишет: «Наибольший угол — $C$: он лежит между самыми длинными сторонами $9$ и $12$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Наибольший угол — $A$: он прилежит к стороне $AC = 12$","По сторонам о величине углов судить нельзя","Угол и сторона связаны «против»: против $AC = 12$ лежит угол $B$, он наибольший","Ошибки нет: наибольший угол лежит между длинными сторонами"],"explanations":["Против угла $A$ лежит $BC = 9$, она не наибольшая","Против большей стороны лежит больший угол — это теорема","","Против угла $C$ лежит наименьшая сторона $AB = 7$ — угол $C$ наименьший"],"answer":[2]}},"hints":["Сторона лежит против угла, если она соединяет две другие вершины: против $\\angle A$ — $BC$, против $\\angle B$ — $AC$, против $\\angle C$ — $AB$.","Против угла $C$ лежит $AB = 7$ — наименьшая сторона, значит, угол $C$ наименьший. Против наибольшей стороны $AC = 12$ — угол $B$.","Ответ: наибольший угол — $B$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 6$, $BC = 13$, $AC = 9$. Решавр пишет: «Наибольший угол — $C$: он лежит между самыми длинными сторонами $13$ и $9$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Наибольший угол — $B$: он прилежит к стороне $BC = 13$","Ошибки нет: наибольший угол лежит между длинными сторонами","Угол и сторона связаны «против»: против $BC = 13$ лежит угол $A$, он наибольший","По сторонам о величине углов судить нельзя"],"explanations":["Против угла $B$ лежит $AC = 9$, она не наибольшая","Против угла $C$ лежит наименьшая сторона $AB = 6$ — угол $C$ наименьший","","Против большей стороны лежит больший угол — это теорема"],"answer":[2]}},"hints":["Сторона лежит против угла, если она соединяет две другие вершины: против $\\angle A$ — $BC$, против $\\angle B$ — $AC$, против $\\angle C$ — $AB$.","Против угла $C$ лежит $AB = 6$ — наименьшая сторона, значит, угол $C$ наименьший. Против наибольшей стороны $BC = 13$ — угол $A$.","Ответ: наибольший угол — $A$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ddmircmrdv0b.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра из точки к прямой.","Прямая $BC$ идет по горизонтальной линии сетки; перпендикуляр из $A$ — вертикальный.","Он занимает $5$ клеток. Ответ: $5$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ (см. рисунок). Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $MN$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/n3208ggxwony.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра из точки к прямой.","Прямая $MN$ идет по вертикальной линии сетки; перпендикуляр из $K$ — горизонтальный.","Он занимает $6$ клеток. Ответ: $6$."],"step":1},{"id":"6","content":"Прямые $a$ и $b$ параллельны. Из точки $A$ прямой $a$ проведен перпендикуляр $AH$ к прямой $b$, $AH = 7$ см. Из точки $B$ прямой $a$ проведен перпендикуляр $BK$ к прямой $b$. Найдите $BK$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Отрезки перпендикуляров между параллельными прямыми равны.","$BK = AH$.","Ответ: $7$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"Прямые $m$ и $n$ параллельны. Расстояние от точки $M$ прямой $m$ до прямой $n$ равно $4{,}5$ см. Найдите расстояние от точки $P$ прямой $m$ до прямой $n$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Отрезки перпендикуляров между параллельными прямыми равны.","Расстояние от любой точки прямой $m$ до прямой $n$ одно и то же.","Ответ: $4{,}5$ см."],"step":1},{"id":"7","content":"Две стороны треугольника равны $4$ и $9$. Сколько целых значений может принимать длина третьей стороны? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Третья сторона меньше суммы: $x < 13$; больше разности: $x > 5$.","$5 < x < 13$: целые $6$, $7$, …, $12$.","Всего $7$ значений."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Две стороны треугольника равны $6$ и $11$. Сколько целых значений может принимать длина третьей стороны? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Третья сторона меньше суммы: $x < 17$; больше разности: $x > 5$.","$5 < x < 17$: целые $6$, $7$, …, $16$.","Всего $11$ значений."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Две стороны равнобедренного треугольника равны $3$ и $8$. Найдите его периметр.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$19$","$14$","$11$","$14$ или $19$"],"explanations":["","Треугольника $3$, $3$, $8$ нет: $3 + 3 < 8$","Это сумма двух данных сторон, а у треугольника три стороны","Случай $3$, $3$, $8$ невозможен по неравенству треугольника"],"answer":[0]}},"hints":["Два случая: $3$, $3$, $8$ или $8$, $8$, $3$.","$8 > 3 + 3$ — первого треугольника нет; второй существует.","Периметр $8 + 8 + 3 = 19$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Две стороны равнобедренного треугольника равны $5$ и $12$. Найдите его периметр.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$22$ или $29$","$22$","$29$","$17$"],"explanations":["Случай $5$, $5$, $12$ невозможен по неравенству треугольника","Треугольника $5$, $5$, $12$ нет: $5 + 5 < 12$","","Это сумма двух данных сторон, а у треугольника три стороны"],"answer":[2]}},"hints":["Два случая: $5$, $5$, $12$ или $12$, $12$, $5$.","$12 > 5 + 5$ — первого треугольника нет; второй существует.","Периметр $12 + 12 + 5 = 29$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH = 6$ и наклонная $AK$. Какой может быть длина $AK$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$8$","$3$","$5$","$6$"],"explanations":["","Наклонная длиннее перпендикуляра: $AK > 6$","Наклонная длиннее перпендикуляра: $AK > 6$","При $AK = AH$ точка $K$ совпала бы с $H$ — это перпендикуляр, а не наклонная"],"answer":[0]}},"hints":["В треугольнике $AHK$ угол $H$ прямой и наибольший.","Против него лежит наибольшая сторона: $AK > AH = 6$.","Ответ: $8$."],"step":1},{"id":"9","content":"Из точки $M$ к прямой $m$ проведены перпендикуляр $MH = 9$ и наклонная $MP$. Какой может быть длина $MP$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$9$","$7$","$4{,}5$","$11$"],"explanations":["При $MP = MH$ точка $P$ совпала бы с $H$ — это перпендикуляр, а не наклонная","Наклонная длиннее перпендикуляра: $MP > 9$","Наклонная длиннее перпендикуляра: $MP > 9$",""],"answer":[3]}},"hints":["В треугольнике $MHP$ угол $H$ прямой и наибольший.","Против него лежит наибольшая сторона: $MP > MH = 9$.","Ответ: $11$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-3]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ изображены зеркало — прямая $m$ — и точки $A$ и $B$ (см. рисунок); $AH$ — перпендикуляр к прямой $m$. Луч света выходит из точки $A$, отражается от зеркала в точке $O$ и попадает в точку $B$, проходя кратчайший путь. Найдите длину отрезка $HO$. [[input-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uv45renmjjs4.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Перегните лист по прямой $m$: точка $B$ перейдет в точку $B_1$ на $1$ клетку ниже $m$, и путь $AOB$ равен ломаной $AOB_1$.","Ломаная $AOB_1$ не короче отрезка $AB_1$ и равна ему, только когда $O$ лежит на $AB_1$. От $A$ до $B_1$ — $4$ клетки вправо и $4$ вниз: на каждую клетку вниз приходится одна клетка вправо.","От $A$ до прямой $m$ — $3$ клетки вниз, значит, точка $O$ на $3$ клетки правее $H$. Ответ: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-4]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ изображены зеркало — прямая $m$ — и точки $A$ и $B$ (см. рисунок); $AH$ — перпендикуляр к прямой $m$. Луч света выходит из точки $A$, отражается от зеркала в точке $O$ и попадает в точку $B$, проходя кратчайший путь. Найдите длину отрезка $HO$. [[input-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/13yxusemy36s.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Перегните лист по прямой $m$: точка $B$ перейдет в точку $B_1$ на $2$ клетки ниже $m$, и путь $AOB$ равен ломаной $AOB_1$.","Ломаная $AOB_1$ не короче отрезка $AB_1$ и равна ему, только когда $O$ лежит на $AB_1$. От $A$ до $B_1$ — $9$ клеток вправо и $6$ вниз: на каждые $2$ клетки вниз приходится $3$ клетки вправо.","От $A$ до прямой $m$ — $4$ клетки вниз, значит, точка $O$ на $6$ клеток правее $H$. Ответ: $6$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>