0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Неравенство треугольника

Содержание

    Рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ со сторонами $AB$, $BC$ и $CA$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ соответственно. Обратите внимание на чертеж: если сложить величины отрезков парами, то сумма величин всяких двух отрезков будет больше величины третьего отрезка; например, $a<b+c$. В этом заключается неравенство треугольника — сумма длин двух его сторон всегда по величине больше длины третьей стороны.

    Хоть подобное свойство и кажется интуитивным, в евклидовой геометрии неравенство треугольника является теоремой, не аксиомой. Поэтому далее мы рассмотрим доказательство неравенства треугольника, а также узнаем, что такое неравенство треугольника для разности.

    Неравенство треугольника — доказательство

    Чтобы подтвердить наши «интуитивные заключения» о неравенстве сторон, необходимо доказать, что в произвольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливы следующие неравенства: $AB<BC+AC$, $BC<AB+AC$ и $AC<AB+BC$.

    Неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

    Доказательство

    Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и на продолжении стороны $AB$ отложим отрезок $BD$ так, что $BD=BC$. Выполним доказательство неравенства треугольника: докажем, что в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливо неравенство:

    $$AC<AB+BC$$

    Рассмотрим полученный в результате дополнительных построений треугольник $\bigtriangleup{BDC}$. Поскольку $BD=BC$, заключаем, что $\bigtriangleup{BDC}$ равнобедренный. Следовательно, $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$. Угол $\angle{ACD}$ состоит из углов $\angle{ACB}$ и $\angle{\beta}$, а, значит, $\angle{ACD}>\angle{\beta}$ и, так как $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$, $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$.

    Теперь рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ACD}$ и воспользуемся теоремой о соотношениях между углами и сторонами. Если против большего угла лежит большая сторона, тогда $AD>AC$, поскольку $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$. Отрезок $AD$ состоит из отрезков $AB$ и $BD$. Раз $BD=BC$, получаем:

    $$AD>AC\\AB+BD>AC\\AB+BC>AC$$

    Неравенство треугольника соблюдается. Сторона $AC$ треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ меньше суммы длин двух других сторон — сторон $AB$ и $BC$. Что и требовалось доказать.

    Теорема неравенства треугольника: доказательство неравенства треугольника к другим сторонам

    Выше теорема неравенства треугольника доказывалась, учитывая только одно неравенство треугольника. Формулировка теоремы, тем не менее, задает соотношения сторон по «всему треугольнику». Поэтому, чтобы ни у кого не возникло путаницы, поясним: данная форма доказательства является сокращенной. Внимательный читатель мог догадаться, что аналогичный алгоритм проделывается как для стороны $BC$, так и для стороны $AB$.

    Для этого достаточно выполнить построение внешнего угла, противолежащего «нужной» стороне, и отложить на прямой внешнего угла отрезок, равный по величине стороне треугольника, образующей данный внешний угол. Алгоритм доказательства един. Меняется только расположение внешних углов и отрезков.

    Чтобы доказать неравенство треугольника $BC<AB+AC$, необходимо выполнить построение «в другую сторону».

    То же самое с доказательством неравенства треугольника $AB<BC+AC$. Дополнительное построение выполняется при вершине $C$.

    Неравенство треугольника для разности

    Итого, мы установили, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Но что, если посмотреть на неравенство треугольника не как на сумму, а как на разность? Давайте попробуем выразить каждую сторону в неравенствах ($\textcolor{purple}{b}+\textcolor{orange}{c}>a,~\textcolor{green}{a}+\textcolor{orange}{c}>b,~\textcolor{green}{a}+\textcolor{purple}{b}>c$) через разность и посмотрим, что у нас получится.

    Внимание на цветовую разметку:

    $$\textcolor{purple}{b}>a-c\\\textcolor{orange}{c}>a-b\\\textcolor{green}{a}>b-c$$

    $$\textcolor{purple}{b}>c-a\\\textcolor{orange}{c}>b-a\\\textcolor{green}{a}>c-b$$

    Рассмотрим, к примеру, последнюю пару неравенств $a>b-c$ и $a>c-b$. При условии, что буквенные обозначения задают длины сторон треугольника, есть ли принципиальная разница между выражением $b-c$ и выражением $c-b$? Конечно нет. Длина стороны треугольника не бывает отрицательной. Поэтому имеем следующее:$$|b-c|=|c-b|$$Следовательно, неравенство треугольника для разности можно сформулировать так:  

    Обратное неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда больше разности двух других сторон.

    Теорема неравенства треугольника: задачи

    Задача #1. В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

    Дано:

    $a, b, c$
    $3a=b+c$

    Найти:

    $a<b$, $a<c$

    Решение. По теореме о соотношениях между сторонами и углами известно, что против меньшей стороны лежит меньший угол. Следовательно, нам достаточно доказать, что $a$ — наименьшая из сторон в треугольнике. Раз она наименьшая, против нее будет лежать наименьший угол. Согласно теореме неравенства треугольника имеем следующие соотношения между сторонами $a$, $b$ и $c$:

    $$a<b+c\\b<a+c\\c<a+b$$

    Выразим сторону $b$ через стороны $a$ и $c$ в тождестве $3a=b+c.$ Получается: $b=3a-c$. Подставим полученное значение для стороны $b$ в неравенство $b<a+c$:

    $$3a-c<a+c\\2a<2c\\a<c$$

    Искомая сторона меньше стороны $c$. Для того, чтобы доказать, что она также меньше стороны $b$, выразим сторону $c$ через стороны $a$ и $b$ в тождестве и подставим полученное значение в неравенство $c<a+b$:

    $$3a-b<a+b\\2a<2b\\a<b$$

    Сторона $a$ меньше и стороны $b$, и стороны $c$. Что и требовалось доказать.

    Самостоятельная практика

    Следующая задача — для самостоятельного решения. Совсем немного логики и все получится. Если не справитесь, готовое решение скрыто под условием.

    Задача #2. В. треугольнике длины двух сторон равны $3,14$ и $0,67$. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является натуральным числом.

    Показать решение

    Скрыть решение

    Дано:

    $b=3,14$
    $c=0,67$
    $a\in\mathbb{N}$

    Найти:

    $a$ — ?

    Решение. Чтобы найти длину третьей стороны, воспользуемся неравенством треугольника $a<b+c$, где $a$ — искомая сторона, $b$ и $c$ — заданные по условию стороны. Получается, что длина третьей стороны:

    $$a<3,14+0,67\\a<3,81$$

    $a$ — натуральное число, меньше $3,81$. Можно воспользоваться методом перебора (у нас не так много вариантов: $1\leq{a}\leq{3}$), но что, если бы вариантов было не три, а несколько сотен? Поэтому целесообразнее воспользоваться обратным неравенством треугольника: $a>b-c$. Тогда выходит:

    $$2,47<a<3,81$$

    Раз $a\in\mathbb{N}$, делаем вывод, что $a=3$.

    Ответ: 3.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение