Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Неравенство треугольника

Содержание

    Рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ со сторонами $AB$, $BC$ и $CA$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ соответственно. Обратите внимание на чертеж: если сложить величины отрезков парами, то сумма величин всяких двух отрезков будет больше величины третьего отрезка; например, $a<b+c$. В этом заключается неравенство треугольника — сумма длин двух его сторон всегда по величине больше длины третьей стороны.

    Хоть подобное свойство и кажется интуитивным, в евклидовой геометрии неравенство треугольника является теоремой, не аксиомой. Поэтому далее мы рассмотрим доказательство неравенства треугольника, а также узнаем, что такое неравенство треугольника для разности.

    Неравенство треугольника — доказательство

    Чтобы подтвердить наши «интуитивные заключения» о неравенстве сторон, необходимо доказать, что в произвольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливы следующие неравенства: $AB<BC+AC$, $BC<AB+AC$ и $AC<AB+BC$.

    Неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

    Доказательство

    Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и на продолжении стороны $AB$ отложим отрезок $BD$ так, что $BD=BC$. Выполним доказательство неравенства треугольника: докажем, что в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливо неравенство:

    $$AC<AB+BC$$

    Рассмотрим полученный в результате дополнительных построений треугольник $\bigtriangleup{BDC}$. Поскольку $BD=BC$, заключаем, что $\bigtriangleup{BDC}$ равнобедренный. Следовательно, $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$. Угол $\angle{ACD}$ состоит из углов $\angle{ACB}$ и $\angle{\beta}$, а, значит, $\angle{ACD}>\angle{\beta}$ и, так как $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$, $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$.

    Теперь рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ACD}$ и воспользуемся теоремой о соотношениях между углами и сторонами. Если против большего угла лежит большая сторона, тогда $AD>AC$, поскольку $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$. Отрезок $AD$ состоит из отрезков $AB$ и $BD$. Раз $BD=BC$, получаем:

    $$AD>AC\\AB+BD>AC\\AB+BC>AC$$

    Неравенство треугольника соблюдается. Сторона $AC$ треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ меньше суммы длин двух других сторон — сторон $AB$ и $BC$. Что и требовалось доказать.

    Теорема неравенства треугольника: доказательство неравенства треугольника к другим сторонам

    Выше теорема неравенства треугольника доказывалась, учитывая только одно неравенство треугольника. Формулировка теоремы, тем не менее, задает соотношения сторон по «всему треугольнику». Поэтому, чтобы ни у кого не возникло путаницы, поясним: данная форма доказательства является сокращенной. Внимательный читатель мог догадаться, что аналогичный алгоритм проделывается как для стороны $BC$, так и для стороны $AB$.

    Для этого достаточно выполнить построение внешнего угла, противолежащего «нужной» стороне, и отложить на прямой внешнего угла отрезок, равный по величине стороне треугольника, образующей данный внешний угол. Алгоритм доказательства един. Меняется только расположение внешних углов и отрезков.

    Чтобы доказать неравенство треугольника $BC<AB+AC$, необходимо выполнить построение «в другую сторону».

    То же самое с доказательством неравенства треугольника $AB<BC+AC$. Дополнительное построение выполняется при вершине $C$.

    Неравенство треугольника для разности

    Итого, мы установили, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Но что, если посмотреть на неравенство треугольника не как на сумму, а как на разность? Давайте попробуем выразить каждую сторону в неравенствах ($\textcolor{purple}{b}+\textcolor{orange}{c}>a,~\textcolor{green}{a}+\textcolor{orange}{c}>b,~\textcolor{green}{a}+\textcolor{purple}{b}>c$) через разность и посмотрим, что у нас получится.

    Внимание на цветовую разметку:

    $$\textcolor{purple}{b}>a-c\\\textcolor{orange}{c}>a-b\\\textcolor{green}{a}>b-c$$

    $$\textcolor{purple}{b}>c-a\\\textcolor{orange}{c}>b-a\\\textcolor{green}{a}>c-b$$

    Рассмотрим, к примеру, последнюю пару неравенств $a>b-c$ и $a>c-b$. При условии, что буквенные обозначения задают длины сторон треугольника, есть ли принципиальная разница между выражением $b-c$ и выражением $c-b$? Конечно нет. Длина стороны треугольника не бывает отрицательной. Поэтому имеем следующее:$$|b-c|=|c-b|$$Следовательно, неравенство треугольника для разности можно сформулировать так:  

    Обратное неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда больше разности двух других сторон.

    Теорема неравенства треугольника: задачи

    Задача #1. В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

    Дано:

    $a, b, c$
    $3a=b+c$

    Найти:

    $a<b$, $a<c$

    Решение. По теореме о соотношениях между сторонами и углами известно, что против меньшей стороны лежит меньший угол. Следовательно, нам достаточно доказать, что $a$ — наименьшая из сторон в треугольнике. Раз она наименьшая, против нее будет лежать наименьший угол. Согласно теореме неравенства треугольника имеем следующие соотношения между сторонами $a$, $b$ и $c$:

    $$a<b+c\\b<a+c\\c<a+b$$

    Выразим сторону $b$ через стороны $a$ и $c$ в тождестве $3a=b+c.$ Получается: $b=3a-c$. Подставим полученное значение для стороны $b$ в неравенство $b<a+c$:

    $$3a-c<a+c\\2a<2c\\a<c$$

    Искомая сторона меньше стороны $c$. Для того, чтобы доказать, что она также меньше стороны $b$, выразим сторону $c$ через стороны $a$ и $b$ в тождестве и подставим полученное значение в неравенство $c<a+b$:

    $$3a-b<a+b\\2a<2b\\a<b$$

    Сторона $a$ меньше и стороны $b$, и стороны $c$. Что и требовалось доказать.

    Самостоятельная практика

    Следующая задача — для самостоятельного решения. Совсем немного логики и все получится. Если не справитесь, готовое решение скрыто под условием.

    Задача #2. В. треугольнике длины двух сторон равны $3,14$ и $0,67$. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является натуральным числом.

    Показать решение

    Скрыть решение

    Дано:

    $b=3,14$
    $c=0,67$
    $a\in\mathbb{N}$

    Найти:

    $a$ — ?

    Решение. Чтобы найти длину третьей стороны, воспользуемся неравенством треугольника $a<b+c$, где $a$ — искомая сторона, $b$ и $c$ — заданные по условию стороны. Получается, что длина третьей стороны:

    $$a<3,14+0,67\\a<3,81$$

    $a$ — натуральное число, меньше $3,81$. Можно воспользоваться методом перебора (у нас не так много вариантов: $1\leq{a}\leq{3}$), но что, если бы вариантов было не три, а несколько сотен? Поэтому целесообразнее воспользоваться обратным неравенством треугольника: $a>b-c$. Тогда выходит:

    $$2,47<a<3,81$$

    Раз $a\in\mathbb{N}$, делаем вывод, что $a=3$.

    Ответ: 3.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение