Неравенство треугольника

Рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ со сторонами $AB$, $BC$ и $CA$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ соответственно. Обратите внимание на чертеж: если сложить величины отрезков парами, то сумма величин всяких двух отрезков будет больше величины третьего отрезка; например, $a<b+c$. В этом заключается неравенство треугольника — сумма длин двух его сторон всегда по величине больше длины третьей стороны.

Хоть подобное свойство и кажется интуитивным, в евклидовой геометрии неравенство треугольника является теоремой, не аксиомой. Поэтому далее мы рассмотрим доказательство неравенства треугольника, а также узнаем, что такое неравенство треугольника для разности.

Неравенство треугольника — доказательство

Чтобы подтвердить наши «интуитивные заключения» о неравенстве сторон, необходимо доказать, что в произвольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливы следующие неравенства: $AB<BC+AC$, $BC<AB+AC$ и $AC<AB+BC$.

{"questions":[{"content":"Небольшая пауза. Доказательство неравенства треугольника опирается на выводы из теоремы о соотношениях между углами и сторонами. Вспомним суть данной теоремы.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если $\\angle{A}>\\angle{B}$, то $BC>AC$, и наоборот.","Если $\\angle{A}<\\angle{B}$, то $BC>AC$, и наоборот.","Если $\\angle{A}=\\angle{B}$, то $BC < AC$."],"explanations":["Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника сообщает, что против большей стороны лежит больший угол. Справедлива и <i><b>обратная</b></i> теорема: против большего угла лежит большая сторона. <br /><br />Откуда получаем, что если $\\angle{A}>\\angle{B}$, то $BC>AC$, или, наоборот, если известно, что $BC>AC$, то известно, что $\\angle{A}>\\angle{B}$.","",""],"answer":[0]}}}]}

Неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

Доказательство

Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и на продолжении стороны $AB$ отложим отрезок $BD$ так, что $BD=BC$. Выполним доказательство неравенства треугольника: докажем, что в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ справедливо неравенство:

$$AC<AB+BC$$

Рассмотрим полученный в результате дополнительных построений треугольник $\bigtriangleup{BDC}$. Поскольку $BD=BC$, заключаем, что $\bigtriangleup{BDC}$ равнобедренный. Следовательно, $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$. Угол $\angle{ACD}$ состоит из углов $\angle{ACB}$ и $\angle{\beta}$, а, значит, $\angle{ACD}>\angle{\beta}$ и, так как $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$, $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\bigtriangleup{ACD}$ и воспользуемся теоремой о соотношениях между углами и сторонами. Если против большего угла лежит большая сторона, тогда $AD>AC$, поскольку $\angle{ACD}>\angle{\alpha}$. Отрезок $AD$ состоит из отрезков $AB$ и $BD$. Раз $BD=BC$, получаем:

$$AD>AC\\AB+BD>AC\\AB+BC>AC$$

Неравенство треугольника соблюдается. Сторона $AC$ треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ меньше суммы длин двух других сторон — сторон $AB$ и $BC$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"[[speech-1]] <br>Образавра попросили начертить равнобедренный треугольник со сторонами $4$ и $9$, только никто не потрудился уточнить, где <i><b>основание</b></i>. Воспользуйтесь неравенством треугольника, чтобы помочь Образавру определить, какая из сторон является основанием.[[choice-13]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"А какая из сторон — основание?.."},"choice-13":{"type":"choice","options":["Сторона со значением $4$ — основание.","Сторона со значением $9$ — основание."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Два варианта: либо сторона со значением $4$ является основанием, либо сторона со значением $9$. Теорема неравенства треугольника задает, что сторона треугольника всегда <b>меньше</b> суммы двух других сторон. Значит, чтобы определиться, нужно проверить суммы в составе неравенства.","Помним, что треугольник <b>равнобедренный</b>.","Если сторона со значением $9$ — основание, тогда сумма боковых сторон должна быть больше $9$. Однако это не так, ведь неравенство $4+4>9$ неверно.","Заключаем, что сторона со значением $9$ основанием быть не может. Тогда в указанном равнобедренном треугольнике $4$ — основание, $9$ — боковая сторона и $9$ — еще одна боковая сторона."]}]}

Теорема неравенства треугольника: доказательство неравенства треугольника к другим сторонам

Выше теорема неравенства треугольника доказывалась, учитывая только одно неравенство треугольника. Формулировка теоремы, тем не менее, задает соотношения сторон по «всему треугольнику». Поэтому, чтобы ни у кого не возникло путаницы, поясним: данная форма доказательства является сокращенной. Внимательный читатель мог догадаться, что аналогичный алгоритм проделывается как для стороны $BC$, так и для стороны $AB$.

Для этого достаточно выполнить построение внешнего угла, противолежащего «нужной» стороне, и отложить на прямой внешнего угла отрезок, равный по величине стороне треугольника, образующей данный внешний угол. Алгоритм доказательства един. Меняется только расположение внешних углов и отрезков.

Чтобы доказать неравенство треугольника $BC<AB+AC$, необходимо выполнить построение «в другую сторону».

То же самое с доказательством неравенства треугольника $AB<BC+AC$. Дополнительное построение выполняется при вершине $C$.

Неравенство треугольника для разности

Внимание на цветовую разметку:

Рассмотрим, к примеру, последнюю пару неравенств $a>b-c$ и $a>c-b$. При условии, что буквенные обозначения задают длины сторон треугольника, есть ли принципиальная разница между выражением $b-c$ и выражением $c-b$? Конечно нет. Длина стороны треугольника не бывает отрицательной. Поэтому имеем следующее:$$|b-c|=|c-b|$$Следовательно, неравенство треугольника для разности можно сформулировать так:  

Обратное неравенство треугольника. Всякая сторона треугольника всегда больше разности двух других сторон.

{"questions":[{"content":"В треугольнике сторона $a$ равняется $6$, сторона $b$ равняется $8$. Чему равняется сторона $c$, если известно, что $c>12$ и $c\\in\\mathbb{Z}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"step":1,"hints":["Воспользуемся неравенством треугольника и обратным неравенством треугольника:$$8-6 < c < 8+6$$","По условию $c>12$. Раз $c$ — целое число, то $c=13$.","<b><i>Ответ</i></b>: 13."]}]}

Теорема неравенства треугольника: задачи

Задача #1. В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

Самостоятельная практика

Задача #2. В. треугольнике длины двух сторон равны $3,14$ и $0,67$. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является натуральным числом.

{"questions":[{"content":"Длина третьей стороны равняется: [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"calc":1}]}

Показать решение

Скрыть решение