Биссектриса и ее свойства

Дано:

Пусть $\angle ABC$ — неразвёрнутый угол, а $BD$ — его биссектриса.
Пусть точка $E$ лежит на биссектрисе $BD$.

Доказать:

Расстояние от точки $E$ до сторон угла $AB$ и $CB$ одинаковое, иными словами, перпендикуляры из точки $E$, опущенные к сторонам угла, равны.

Доказательство:

1. Проведём из точки $E$ перпендикуляры к сторонам угла:
   $EF \perp AB$ и $EG \perp CB$, где точки $F$ и $G$ — основания перпендикуляров.
2. Рассмотрим полученные прямоугольные треугольники $\triangle EFB$ и $\triangle EGB$:
   $\angle ABD = \angle DBC$, потому что $BD$ — биссектриса,
   $EB$ — общая сторона.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу):
   $\triangle EFB = \triangle EGB$.
4. В равных треугольниках равны все соответствующие элементы, поэтому $EF = EG$, следовательно, расстояние от точки $E$ до сторон угла равны.

Что и требовалось доказать.

Дано:

Пусть дана точка $E$, лежащая внутри $\angle ABC$, и из нее опущены перпендикуляры к сторонам угла $EF \perp AB$, $EG \perp BC$, причем $EF = EG$.

Доказать:

Точка $E$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle EFB$ и $\triangle EGB$. У них:
   $EF = EG$, по условию,
   $EB$ — общая сторона.
2. Следовательно, $\triangle EFB$ и $\triangle EGB$ равны по гипотенузе и катету.
3. У равных фигур все элементы равны, значит, $\angle EBF = \angle EBG$.
4. Получается, что луч $BE$ делит $\angle ABC$ пополам, а это и есть биссектриса.

Что и требовалось доказать.

Дано:

$\triangle ABC$, биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$, пересекающиеся в точке $I$.

Доказать:

Точка $I$ также лежит на биссектрисе угла $\angle C$.

Доказательство:

1. По свойству биссектрисы угла:
   точка $I$, лежащая на биссектрисе $\angle A$, равноудалена от сторон $AB$ и $AC$,
   точка $I$, лежащая на биссектрисе $\angle B$, равноудалена от сторон $AB$ и $BC$.
2. Получается, что точка $I$ равноудалена от всех трёх сторон треугольника: $AB$, $BC$, $AC$.
3. Значит, она лежит на биссектрисе $\angle C$ (по обратному свойству).
4. Точка $I$, в которой пересекаются две биссектрисы, обязательно лежит и на третьей. Поэтому, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
5. И эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, а значит, является центром вписанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Пусть в $\triangle ABC$ проведена биссектриса $BD$, где точка $D$ лежит на стороне $AC$, тогда
$\angle ABD = \angle DBC$.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $BD$, и продлим сторону $AB$ до пересечения с этой прямой в точке $E$.

$\angle ABD = \angle BEC$ как соответственные углы при $BD \parallel CE$ и секущей $AB$.

$\angle DBC = \angle BCE$ как внутренние накрест лежащие углы при $BD \parallel CE$ и секущей $BC$.

Следовательно, $\angle ECB = \angle BEC$, и треугольник $\triangle BCE$ — равнобедренный, откуда $BC = BE$.

По теореме о параллельных прямых:

$$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BE}.$$

Так как $BE = BC$, подставим:

$$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}.$$

Поменяем местами числитель и знаменатель:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{BD}.$$

Что и требовалось доказать.

Пусть $AD = x$, тогда $DC = 12 -x$.

По свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}.$$

Составим уравнение при помощи данной формулы:

$$\frac{10}{x} = \frac{8}{12 -x}.$$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) и запишем вместо дробей произведение:

$$10(12 -x) = 8x.$$

Решим уравнение:

$$120 -10x = 8x,$$

$$18x = 120,$$

$$x = \frac{120}{18} = \frac{20}{3},$$

$$x = 6\frac{2}{3}.$$

При решении задачи мы принимали $AD$ за $x$, значит, число $6\frac{2}{3}$ будет являться ответом.

Ответ: $AD = 6\frac{2}{3}$.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм,

$AE$ — биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $E$

Доказать: $\triangle ABE$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Так как $AE$ — биссектриса, то $\angle DAE = \angle BAE.$
2. В параллелограмме, по определению, противоположные стороны параллельны $AD \parallel BC$. Следовательно, $\angle DAE$ = $\angle AEC$ как внутренние накрест лежащие, $AE$ — секущая.
3. Значит, в $\triangle ABE$ $\angle BAE = \angle AEC$, а если в треугольнике два угла равны, он будет являться равнобедренным, где $AB = BE$.

Что и требовалось доказать.

По свойству биссектрисы $\triangle ABE$ — равнобедренный, следовательно,

$$AB = BE = 4.$$

Трапеция $ABCD$ — равнобедренная, значит,

$$AB = CD = 4.$$

В условии сказано, что $BE = 4$ и $EC = 6$, найдем $BC$:

$$BC = BE + EC = 4 + 6 = 10.$$

Вычислим периметр трапеции:

$$P = AB + BC + CD + AD = 4 + 10 + 4 + 17 = 35.$$

Ответ: периметр $ABCD$ равен $35$.

Проведем в параллелограмме $ABCD$ биссектрисы $\angle DAB$ и $\angle ABC$, пусть они пересекаются в точке $E$.

Так как $AD \parallel BC$, а $AB$ — секущая, то $\angle DAB$ и $\angle ABC$ являются внутренними односторонними углами и их сумма равна $180^\circ$.

По определению биссектрисы — углы $A$ и $B$ разделятся пополам, следовательно и их сумма разделится на $2$:

$$\angle ABE + \angle BAE = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ.$$

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то
$$\angle AEB = 180^\circ -(\angle ABE + \angle BAE) = 90^\circ.$$

Что и требовалось доказать.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм,

$AE$, $BF$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$.

$AO = 6$, $BO = 4$.

Найти: $CD$.

По доказанному выше свойству биссектрисы параллелограмма, выпущенные из соседних углов, пересекаются под углом $90^\circ$ $\Rightarrow$ $\triangle AOB$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2$.

Подставим исходные данные в формулу и вычислим сторону $AB$:

$$AB^2 = 6^2 + 8^2,$$

$$AB^2 = 100,$$

$$AB = 10.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно $AB = CD = 10.$

Ответ: $CD = 10$.