Геометрическое место точек. Серединный перпендикуляр и биссектриса угла

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая фигура является геометрическим местом точек плоскости, удаленных от точки $M$ на $8$ см?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Окружность с центром $M$ радиусом $16$ см","Окружность с центром $M$ радиусом $8$ см","Круг с центром $M$ радиусом $8$ см","Отрезок длиной $8$ см с концом $M$"],"explanations":["Радиус — само расстояние $8$ см; $16$ см — диаметр","","В круге есть точки ближе $8$ см к $M$ — лишние","На нем одна точка на расстоянии $8$ см, остальные ближе"],"answer":[1]}},"hints":["ГМТ содержит все точки с данным свойством и только их.","Все точки на расстоянии $8$ см от $M$ — окружность.","Ответ: окружность с центром $M$ радиусом $8$ см."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая фигура является геометрическим местом точек плоскости, удаленных от точки $O$ на $2$ см?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Окружность с центром $O$ радиусом $2$ см","Две точки на расстоянии $2$ см от $O$","Круг с центром $O$ радиусом $2$ см","Окружность с центром $O$ диаметром $2$ см"],"explanations":["","Таких точек бесконечно много, они заполняют всю окружность","В круге есть точки ближе $2$ см к $O$ — лишние","Расстояние $2$ см — радиус, а не диаметр"],"answer":[0]}},"hints":["ГМТ содержит все точки с данным свойством и только их.","Все точки на расстоянии $2$ см от $O$ — окружность.","Ответ: окружность с центром $O$ радиусом $2$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Рассмотрим ГМТ, удаленных от точки $O$ на $6$ см. Распределите точки по расстоянию до $O$: какие лежат на этом ГМТ, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Лежит на ГМТ","Не лежит на ГМТ"],"items":[["$A$: $OA = 6$ см","$B$: $OB = 6$ см"],["$C$: $OC = 5{,}9$ см","$D$: $OD = 3$ см","$E$: $OE = 12$ см","$F$: $OF = 6{,}2$ см"]]}},"hints":["На ГМТ — только точки на расстоянии ровно $6$ см.","$6$ см — да; $5{,}9$, $6{,}2$, $3$ и $12$ см — нет."],"step":1},{"id":"2","content":"Рассмотрим ГМТ, удаленных от точки $Q$ на $2{,}5$ см. Распределите точки по расстоянию до $Q$: какие лежат на этом ГМТ, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Лежит на ГМТ","Не лежит на ГМТ"],"items":[["$K$: $QK = 2{,}5$ см","$L$: $QL = 2{,}5$ см"],["$R$: $QR = 2{,}4$ см","$S$: $QS = 6$ см","$T$: $QT = 2{,}6$ см","$U$: $QU = 1$ см"]]}},"hints":["На ГМТ — только точки на расстоянии ровно $2{,}5$ см.","$2{,}5$ см — да; $2{,}4$, $2{,}6$, $1$ и $6$ см — нет."],"step":1},{"id":"3","content":"Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, $KB = 9$ см, $AB = 6$ см. Найдите периметр треугольника $AKB$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ равноудалена от $A$ и $B$; и обратно, каждая точка, равноудаленная от $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре.","$KA = KB = 9$ см.","$P = 9 + 9 + 6 = 24$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, $PC = 11$ см, периметр треугольника $PCD$ равен $30$ см. Найдите $CD$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Каждая точка серединного перпендикуляра к $CD$ равноудалена от $C$ и $D$.","$PD = PC = 11$ см.","$CD = 30-11-11 = 8$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]На рисунке середина отрезка $CD$ отмечена штрихами. Какая из прямых $m$, $n$, $p$ — серединный перпендикуляр к $CD$?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8lz2pztjkkog.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Прямая $p$","Прямая $n$","Прямая $m$","Все три прямые"],"explanations":["","Перпендикулярна $CD$, но не проходит через середину","Проходит через середину, но угол с $CD$ равен $80^\\circ$, а не $90^\\circ$","Подходит только прямая, у которой выполнены оба условия"],"answer":[0]}},"hints":["Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.","$m$ — через середину, но под углом $80^\\circ$, а не $90^\\circ$; $n$ — перпендикулярна, но не через середину.","Ответ: прямая $p$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]На рисунке середина отрезка $EF$ отмечена штрихами. Какая из прямых $a$, $b$, $c$ — серединный перпендикуляр к $EF$?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/biskikc5hmtn.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Прямые $a$ и $b$","Прямая $c$","Прямая $b$","Прямая $a$"],"explanations":["Прямая $a$ не проходит через середину $EF$","Проходит через середину, но угол с $EF$ равен $80^\\circ$, а не $90^\\circ$","","Перпендикулярна $EF$, но не проходит через середину"],"answer":[2]}},"hints":["Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.","$c$ — через середину, но под углом $80^\\circ$, а не $90^\\circ$; $a$ — перпендикулярна, но не через середину.","Ответ: прямая $b$."],"step":1},{"id":"5","content":"$PA = PB = 6$ см, $AB = 10$ см. Решавр пишет: «Точка $P$ равноудалена от $A$ и $B$, значит, $P$ — середина отрезка $AB$, и $AP = 5$ см». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$P$ лежит на серединном перпендикуляре, но не на $AB$: $6 + 6 \\ne 10$","Ошибки нет: $AP = 10 : 2 = 5$ см","Такой точки $P$ нет: $6 + 6 > 10$","Ошибка в вычислении: $AP = 12 : 2 = 6$ см, но $P$ — середина"],"explanations":["","По условию $AP = 6$ см; середина отрезка дала бы $5 + 5 = 10$, а здесь $6 + 6 = 12$","Как раз потому, что $6 + 6 > 10$, засечки из $A$ и $B$ пересекаются — точка есть","Если бы $P$ была серединой, то $PA + PB = AB$, а $12 \\ne 10$"],"answer":[0]}},"hints":["Если бы $P$ лежала на $AB$, было бы $PA + PB = AB$. Проверьте: $6 + 6 = 12 \\ne 10$.","Равноудаленные от $A$ и $B$ точки заполняют серединный перпендикуляр; середина — лишь одна из них.","Ответ: $P$ — точка серединного перпендикуляра вне отрезка, а $AP = 6$ см по условию."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"$QC = QD = 7$ см, $CD = 8$ см. Решавр пишет: «Точка $Q$ равноудалена от $C$ и $D$, значит, $Q$ — середина отрезка $CD$, и $CQ = 4$ см». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $CQ = 8 : 2 = 4$ см","Такой точки $Q$ нет: $7 + 7 > 8$","$Q$ лежит на серединном перпендикуляре, но не на $CD$: $7 + 7 \\ne 8$","Ошибка в вычислении: $CQ = 14 : 2 = 7$ см, но $Q$ — середина"],"explanations":["По условию $CQ = 7$ см; середина отрезка дала бы $4 + 4 = 8$, а здесь $7 + 7 = 14$","Как раз потому, что $7 + 7 > 8$, засечки из $C$ и $D$ пересекаются — точка есть","","Если бы $Q$ была серединой, то $QC + QD = CD$, а $14 \\ne 8$"],"answer":[2]}},"hints":["Если бы $Q$ лежала на $CD$, было бы $QC + QD = CD$. Проверьте: $7 + 7 = 14 \\ne 8$.","Равноудаленные от $C$ и $D$ точки заполняют серединный перпендикуляр; середина — лишь одна из них.","Ответ: $Q$ — точка серединного перпендикуляра вне отрезка, а $CQ = 7$ см по условию."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $XOY$, $PH \\perp OX$, $PK \\perp OY$. Расставьте шаги доказательства того, что $PH = PK$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Угол $POX$ — половина неразвернутого угла, он острый, поэтому основания перпендикуляров $H$ и $K$ лежат на сторонах угла","Треугольники $OPH$ и $OPK$ прямоугольные с общей гипотенузой $OP$, и $\\angle POH = \\angle POK$, так как $OP$ — биссектриса","$\\triangle OPH = \\triangle OPK$ по гипотенузе и острому углу","Значит, $PH = PK$ как соответствующие стороны"]}},"hints":["Сначала убедитесь, что $H$ и $K$ лежат на сторонах угла, затем ищите треугольники с $PH$ и $PK$: это $OPH$ и $OPK$, они прямоугольные.","Общая гипотенуза $OP$ и равные острые углы при $O$ — признак по гипотенузе и острому углу.","Ответ: $H$ и $K$ на сторонах → прямоугольные с общей гипотенузой → признак по гипотенузе и острому углу → $PH = PK$."],"step":1},{"id":"6","content":"Точка $P$ лежит внутри острого угла $XOY$, $PH \\perp OX$, $PK \\perp OY$, $PH = PK$. Расставьте шаги доказательства того, что луч $OP$ — биссектриса угла, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Точка $P$ внутри острого угла, поэтому основания перпендикуляров $H$ и $K$ лежат на сторонах угла","Треугольники $OPH$ и $OPK$ прямоугольные с общей гипотенузой $OP$, и катеты $PH = PK$ по условию","$\\triangle OPH = \\triangle OPK$ по гипотенузе и катету","Значит, $\\angle POH = \\angle POK$, и $OP$ — биссектриса"]}},"hints":["Сначала убедитесь, что $H$ и $K$ лежат на сторонах угла, затем ищите прямоугольные треугольники с $PH$ и $PK$: это $OPH$ и $OPK$.","У них общая гипотенуза $OP$ и равные катеты $PH = PK$ — признак по гипотенузе и катету.","Ответ: $H$ и $K$ на сторонах → прямоугольные с общей гипотенузой → признак по гипотенузе и катету → равные углы при $O$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]Точка $Q$ лежит внутри угла $AMB$ (см. рисунок). Какой отрезок изображает расстояние от точки $Q$ до прямой $MB$?[[choice-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lh28lq5jpfoh.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$QE$","$QG$","$MQ$","$QF$"],"explanations":["$QE$ — расстояние до другой стороны, $MA$","","$MQ$ — расстояние до вершины $M$, а не до прямой","$QF$ — наклонная к $MB$, она длиннее перпендикуляра"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","К прямой $MB$ перпендикулярен $QG$; $QF$ — наклонная к $MB$; $QE$ — перпендикуляр к другой стороне, $MA$.","Ответ: $QG$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]Точка $T$ лежит внутри угла $CSD$ (см. рисунок). Какой отрезок изображает расстояние от точки $T$ до прямой $SD$?[[choice-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c8yq0v6yjq4m.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$TN$","$TL$","$TR$","$ST$"],"explanations":["$TN$ — наклонная к $SD$, она длиннее перпендикуляра","$TL$ — расстояние до другой стороны, $SC$","","$ST$ — расстояние до вершины $S$, а не до прямой"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","К прямой $SD$ перпендикулярен $TR$; $TN$ — наклонная к $SD$; $TL$ — перпендикуляр к другой стороне, $SC$.","Ответ: $TR$."],"step":1},{"id":"8","content":"Точка $P$ внутри угла $XOY$. Решавр отметил на сторонах точки $U$ и $V$ так, что $PU = PV = 8$ см, и пишет: «$P$ одинаково удалена от сторон угла, значит, $OP$ — биссектриса». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Вывод верен только для прямого угла","Сравнивать надо не $PU$ и $PV$, а $OU$ и $OV$: при $OU = OV$ точка $P$ на биссектрисе","Ошибки нет: равные отрезки до сторон — это равные расстояния","$PU$ и $PV$ могут быть наклонными; расстояния — только перпендикуляры к сторонам"],"explanations":["Величина угла не важна: в любом угле равные наклонные ничего не доказывают","$OU = OV$ не зависит от положения $P$: такие $U$ и $V$ можно взять для любой точки угла","Расстояние — длина перпендикуляра; наклонные бывают любой длины больше него",""],"answer":[3]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","Решавр не проверил, что $PU \\perp OX$ и $PV \\perp OY$; равные наклонные можно провести из любой точки угла.","Ответ: нужно сравнить перпендикуляры к сторонам, а не произвольные отрезки."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точка $T$ внутри угла $AOB$. Решавр провел из $T$ к сторонам отрезки $TE$ и $TF$ под углами $60^\\circ$ и $80^\\circ$ к ним, $TE = TF = 6$ см, и пишет: «$T$ одинаково удалена от сторон угла, значит, $OT$ — биссектриса». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Сравнивать надо $OE$ и $OF$, а не $TE$ и $TF$","Ошибки нет: равные отрезки до сторон — это равные расстояния","$TE$ и $TF$ — наклонные; расстояния — только перпендикуляры к сторонам","Вывод верен только для острого угла $AOB$"],"explanations":["$OE$ и $OF$ — отрезки на сторонах, они не показывают, насколько $T$ далека от сторон; сравнивают перпендикуляры из $T$","Расстояние — длина перпендикуляра; наклонные бывают любой длины больше него","","Величина угла не важна: в любом угле равные наклонные ничего не доказывают"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","Решавр не проверил, что $TE \\perp OA$ и $TF \\perp OB$: углы $60^\\circ$ и $80^\\circ$ не прямые, значит, это наклонные.","Ответ: нужно сравнить перпендикуляры к сторонам, а не произвольные отрезки."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Прямая $c$ проходит через конец $A$ отрезка $AB$ и не перпендикулярна ему; $c$ не совпадает с прямой $AB$. Сколько на прямой $c$ точек, равноудаленных от $A$ и $B$?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Ни одной","Две","Одна"],"explanations":["Тогда $c$ совпадала бы с серединным перпендикуляром, а она проходит через $A$","Середины $AB$ на $c$ нет, но равноудаленная точка — не только середина: $c$ пересекает серединный перпендикуляр","Две прямые пересекаются не больше чем в одной точке",""],"answer":[3]}},"hints":["Искомые точки — общие точки прямой $c$ и серединного перпендикуляра к $AB$.","Серединный перпендикуляр перпендикулярен $AB$, а $c$ — нет, значит, они не параллельны и пересекаются в одной точке.","Ответ: одна (и это не середина $AB$: середина лежит на прямой $AB$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Прямая $c$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и образует с $AB$ угол $50^\\circ$. Сколько на прямой $c$ точек, равноудаленных от $A$ и $B$?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Ни одной","Одна","Две","Бесконечно много"],"explanations":["Середина $M$ лежит на $c$, и $MA = MB$","","Две различные прямые имеют не больше одной общей точки","Через середину проходит не только серединный перпендикуляр: $c$ идет под углом $50^\\circ$ и пересекается с ним только в точке $M$"],"answer":[1]}},"hints":["Искомые точки — общие точки прямой $c$ и серединного перпендикуляра к $AB$.","Обе прямые проходят через $M$, но $c$ не перпендикулярна $AB$, значит, это разные прямые: у них одна общая точка.","Ответ: одна — середина $M$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Точка $P$ лежит внутри угла $XOY$, равного $80^\\circ$, $PH \\perp OX$, $PK \\perp OY$, $PH = PK = 5$ см. Найдите угол $POX$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе (обратная теорема).","Значит, $OP$ — биссектриса, и она делит угол $XOY$ пополам.","$\\angle POX = 80^\\circ : 2 = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"Точка $T$ лежит внутри угла $AOB$, $TE \\perp OA$, $TF \\perp OB$, $TE = TF = 3$ см, $\\angle TOB = 28^\\circ$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе (обратная теорема).","Значит, $OT$ — биссектриса, и $\\angle TOA = \\angle TOB = 28^\\circ$.","$\\angle AOB = 28^\\circ \\cdot 2 = 56^\\circ$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>