Свойства диаметров и хорд

Дано:

Окружность с центром $O$,

$AB$ и $CD$ — равные хорды,

$OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Доказать: $OM = ON$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $OMA$ и $ONC$:

1. $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$, так как по условию $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.
2. $OA = OC$ — радиусы окружности.
3. Перпендикуляр из центра окружности делит хорду пополам. Например, треугольники $OMA$ и $OMB$ равны по гипотенузе и катету: $OA = OB$, а $OM$ — общая сторона. Поэтому $AM = MB$. Так же получаем $CN = ND$. Значит, $AM = \dfrac{AB}{2}$ и $CN = \dfrac{CD}{2}$. Так как $AB = CD$, то $AM = CN$.

Следовательно, треугольники $OMA$ и $ONC$ равны по гипотенузе и катету.

В равных фигурах соответственные элементы равны $\Rightarrow$ $OM = ON$.

Что и требовалось доказать.

По условию задачи: $AB = 12$ $см$ и $CD = 12$ $см$, значит, хорды равны.

А если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности $\Rightarrow$ расстояние от центра до хорды $CD$ также равно $5$ $см$.

Ответ: $5$ $см$.

Дано:

Окружность с центром $O$. Из точки $O$ опущены перпендикуляры к хордам:
$OM \perp AB$, $ON \perp CD$, при этом $OM = ON$.

Доказать: $AB = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $OMA$ и $ONC$:

1. По условию: $OM = ON$.
2. $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$, так как $OM$ и $ON$ перпендикулярны хордам.
3. $OA = OC$ — радиусы окружности.

Следовательно, $\triangle OMA = \triangle ONC$ по катету и гипотенузе $\Rightarrow AM = CN$.

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам $\Rightarrow$ $AB = 2 \cdot AM$, $CD = 2 \cdot CN$, $\Rightarrow AB = CD$.

Что и требовалось доказать.

Согласно обратному свойству: если расстояния от центра до двух хорд равны, то и сами хорды равны.

По условию: $OM = ON = 6$ $см$ $\Rightarrow AB = CD = 14$ $см$.

Ответ: $14$ $см$.

По условию задачи $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, вписанный в окружность, значит, его сторона равна радиусу окружности: $AB = AO = R$, а треугольник $AOB$ — равносторонний.

Известно, что $OP$ — расстояние от центра окружности до стороны шестиугольника $\Rightarrow OP \perp AB$ и $ \triangle AOP$ — прямоугольный.

Перпендикуляр $OP$, проведенный из центра окружности к хорде $AB$, делит ее пополам. Поэтому $AP = PB = \dfrac{AB}{2}$. Так как $AB = AO$, получаем $AP = \dfrac{AO}{2}$, откуда $AO = 2AP$.

Пусть $AP = x$, тогда $AO = 2x$.

По теореме Пифагора: $AO^2 = AP^2 + OP^2$, подставим имеющиеся данные и решим уравнение:

$$(2x)^2 = x^2 + (2\sqrt{3})^2,$$

$$3x^2 = 12,$$

$x = 2$.

За $x$ мы принимали $AP$, значит, $AO = 2x = 4$, $AO = R$ $\Rightarrow R = 4$.

Ответ: $R = 4$ $см$.

Дано:

В окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Доказать: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $AEC$ и $BED$:

$\angle AEC = \angle BED$, вертикальные углы.

$\angle CAE = \angle BDE$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $CB$.

Следовательно, $\triangle AEC \sim \triangle DEB$ по двум углам.

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{CE}{BE}.$$

Применив основное свойство пропорции, перемножив крайние и средние ее члены, получим:

$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$

Что и требовалось доказать.

По теореме о пересекающихся хордах: $AE \cdot BE = CE \cdot ED$.

Подставим значения и вычислим $ED$:

$4 \cdot 6 = 3 \cdot ED$,

$ED = 8$.

Ответ: $ED = 8$ $см$.

Дано:

Окружность с центром $O$. Хорда $AB$ не проходит через центр окружности, а $CD$ — диаметр.

Доказать: $AB < CD$.

Доказательство:

Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Его длина равна $2R$, где $R$ — радиус окружности.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, не проходящую через центр.

Пусть $OM$ — перпендикуляр, опущенный из центра окружности к хорде.

В прямоугольном треугольнике $OAM$:

$OA = R$ и $AM < OA$ (катет меньше гипотенузы).

Значит, $AB = 2 \cdot AM < 2 \cdot OA = 2R = CD$ $\Rightarrow AB < CD$.

Что и требовалось доказать.

Дано:

Окружность с центром $O$. Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ в точке $M$, причем $CD \perp AB$.

Доказать: $AM = MB$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMA$ и $OMB$ ($\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$, по условию):

1. $OM$ — общая сторона.
2. $OA = OB$ — радиусы окружности.
3. $ \triangle OMA = \triangle OMB$ по гипотенузе и катету $\Rightarrow AM = MB$.

Что и требовалось доказать.

Дано:

Окружность с центром $O$. Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$, которая не является диаметром, в точке $M$, причем $AM = MB$.

Доказать: $CD \perp AB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $OMA$ и $OMB$:

1. $OA = OB$ — радиусы,
2. $AM = MB$, по условию,
3. $OM$ — общая сторона.

Из этого следует равенство треугольников: $ \triangle OMA = \triangle OMB$ по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: $ \angle OMA = \angle OMB$.

Но $\angle OMA$ и $\angle OMB$ — смежные $\Rightarrow \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.

Следовательно, $CD \perp AB$.

Что и требовалось доказать.

По условию задачи длина диаметра $CD = 20$ $см$, значит, длина радиуса $R = OB = \dfrac{20}{2} = 10$ $см$.

Точка $M$ — середина $AB$, следовательно, $AM = BM = 6$ $см$ $\Rightarrow$ по обратному свойству пересечения диаметра с хордой $\angle OMB = 90^\circ$ и $\triangle OMB$ — прямоугольный, а $OM$ будет являться расстоянием от центра окружности до хорды.

По теореме Пифагора: $OB^2 =OM^2 + BM^2$.

Подставим известные значения и вычислим $OM$:

$OM^2 = OB^2 -BM^2 = 10^2 -6^2 = 100 -36 = 64$,

$$OM = \sqrt{64} = 8.$$

Ответ: $OM = 8$ $см$.