ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Свойства диаметров и хорд
Мы уже знаем, что такое окружность, радиус, диаметр и хорда. На этом уроке покажем, какие свойства имеют хорды и диаметры, и как они связаны между собой.
Понимание этих свойств важно и для практики, и для общего представления об окружности.
Хорда и ее свойства
Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
Все хорды находятся внутри круга. Несмотря на разную длину, их поведение подчиняется определенным законам. Знание этих закономерностей и свойств хорды помогает решать самые разные задачи: от нахождения длин отрезков до построения фигур.
Свойство хорды
Представьте, что из центра окружности $O$ проведены перпендикуляры $OM$ и $ON$ к хордам $AB$ и $CD$ и, если $AB = CD$, то $OM = ON$.
Если две хорды окружности равны, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра круга.
Доказательство
Скрыть
Дано:
Окружность с центром $O$,
$AB = CD$ — хорды,
$OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.
Доказать: $OM = ON$.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $OMA$ и $ONC$:
- $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$, так как $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, по условию.
- $OA = OC$ — радиусы окружности.
- $AB = CD$, по условию, значит, $AM = \dfrac{AB}{2}$, $CN = \dfrac{CD}{2}$ (перпендикуляр, опущенный из центра окружности, делит хорду пополам).
Следовательно, треугольники $OMA$ и $ONC$ равны по гипотенузе и катету.
В равных фигурах соответственные элементы равны $\Rightarrow$ $OM = ON$.
Что и требовалось доказать.
Посмотрим, как данное свойство возможно применить к решению задач.
Задача
В окружности с центром $O$ проведены хорды $AB$ и $CD$, причем $AB = 12$ $см$, $CD = 12$ $см$. Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $5$ $см$. Найдите расстояние от центра до хорды $CD$.
Решение
Скрыть
По условию задачи: $AB = 12$ $см$ и $CD = 12$ $см$, значит, хорды равны.
А если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности $\Rightarrow$ расстояние от центра до хорды $CD$ также равно $5$ $см$.
Ответ: $5$ $см$.
Свойство равенства хорд
Если расстояния от центра окружности до двух хорд равны, то эти хорды равны.
Доказательство
Скрыть
Дано:
Окружность с центром $O$. Из точки $O$ опущены перпендикуляры к хордам:
$OM \perp AB$, $ON \perp CD$, при этом $OM = ON$.
Доказать: $AB = CD$.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $OMA$ и $ONC$:
- По условию: $OM = ON$.
- $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$, так как $OM$ и $ON$ перпендикулярны хордам.
- $OA = OC$ — радиусы окружности.
Следовательно, $\triangle OMA = \triangle ONC$ по катету и гипотенузе $\Rightarrow AM = CN$.
Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам $\Rightarrow$ $AB = 2 \cdot AM$, $CD = 2 \cdot CN$, $\Rightarrow AB = CD$.
Что и требовалось доказать.
Это свойство удобно, когда в задаче даны расстояния от центра окружности до хорд — можно сразу сделать вывод об их длине.
Задача
В окружности с центром $O$ из центра проведены перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$.
Расстояние от центра до каждой хорды равно $6$ $см$.
Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 14$ $см$.
Решение
Скрыть
Согласно обратному свойству: если расстояния от центра до двух хорд равны, то и сами хорды равны.
По условию: $OM = ON = 6$ $см$ $\Rightarrow AB = CD = 14$ $см$.
Ответ: $14$ $см$.
Хорда, равная радиусу
Если длина хорды равна радиусу, то она идеально впишется в окружность как сторона правильного шестиугольника.
Это очень удобно при построениях — достаточно поставить циркуль в любую точку, лежащую на окружности, а дальше просто «шагаем» по ней, откладывая длину, равную радиусу той окружности, которую вы прочертили с помощью циркуля.
В итоге получаем идеальный шестиугольник без сложных вычислений:
Эта информация полезна для того, чтобы понимать, как устроен правильный шестиугольник. Каждая его сторона — это радиус окружности, а сам он складывается из шести равносторонних треугольников, у которых все стороны равны, а углы — по $60^\circ$.
Зная это, легко понять, как высчитать площадь шестиугольника, не запоминая сложную формулу, а также увидеть, что угол шестиугольника равен $120^\circ$. Данные знания вам очень пригодятся в дальнейшем при решении более сложных геометрических задач.
Да и в построении это настоящая находка: шесть шагов циркулем — и вы уже строите не просто фигуру, а настоящую геометрическую «машину», в которой все идеально совпадает.
Задача
Правильный шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром $O$. Расстояние от центра окружности $OP$ до стороны шестиугольника равно $2\sqrt{3}$ $см$.
Найдите радиус окружности.
Решение
Скрыть
По условию задачи $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, вписанный в окружность, значит, его сторона равна радиусу окружности: $AB = AO = R$, а треугольник $AOB$ — равносторонний.
Известно, что $OP$ — расстояние от центра окружности до стороны шестиугольника $\Rightarrow OP \perp AB$ и $ \triangle AOP$ — прямоугольный.
Перпендикуляр, опущенный на хорду, делит ее пополам, следовательно $AP = PB= \dfrac{1}{2}AO$, отсюда $AO = 2AP$.
Пусть $AP = x$, тогда $AO = 2x$.
По теореме Пифагора: $AO^2 = AP^2 + OP^2$, подставим имеющиеся данные и решим уравнение:
$$(2x)^2 = x^2 + (2\sqrt{3})^2,$$
$$3x^2 = 12,$$
$x = 2$.
За $x$ мы принимали $AP$, значит, $AO = 2x = 4$, $AO = R$ $\Rightarrow R = 4$.
Ответ: $R = 4$ $см$.
Свойство пересекающихся хорд
Рассмотрим следующую ситуацию: две хорды пересекаются внутри круга и каждая из них делится точкой пересечения на два отрезка. Удивительно, но произведения этих отрезков всегда будут равны — независимо от того, в каком месте пересеклись хорды.
И здесь работает теорема, которую точно стоит запомнить:
Теорема
Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков, на которые они делятся в точке пересечения, равны.
Другими словами: $AE \cdot BE = CE \cdot ED$.
Доказательство
Скрыть
Дано:
В окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.
Доказать: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $AEC$ и $BED$:
$\angle AEC = \angle BED$, вертикальные углы.
$\angle CAE = \angle DBE$, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $CD$.
Из этого следует подобие треугольников: $ \triangle AEC \sim \triangle BED$ по двум углам.
А из подобия — отношение сходственных сторон:
$$\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{CE}{BE}.$$
Применим основное свойство пропорции, перемножив крайние и средние ее члены, получим:
$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$
Что и требовалось доказать.
Теперь, зная это равенство, можно легко находить неизвестные отрезки в задачах с пересекающимися хордами.
Задача
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.
Известно: $AE = 4$ $см$, $BE = 6$ $см$, $CE = 3$ $см$.
Найдите длину отрезка $ED$.
Решение
Скрыть
По теореме о пересекающихся хордах: $AE \cdot BE = CE \cdot ED$.
Подставим значения и вычислим $ED$:
$4 \cdot 6 = 3 \cdot ED$,
$ED = 8$.
Ответ: $ED = 8$ $см$.
Диаметр и его свойства
Из более раннего курса геометрии нам известно, что диаметр — это отрезок, который проходит через центр окружности, делит ее пополам и соединяет самые удаленные точки.
Теперь мы можем сказать точнее: диаметр — это самая длинная хорда окружности. Ни одна другая хорда не может быть длиннее, ведь только диаметр соединяет точки, лежащие по разные стороны от центра на максимальном расстоянии друг от друга.
Доказательство
Скрыть
Дано:
Окружность с центром $O$. Хорда $AB$ и диаметр $CD$, проходящий через центр окружности.
Доказать: $AB < CD$.
Доказательство:
Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Его длина равна $2R$, где $R$ — радиус окружности.
Рассмотрим произвольную хорду $AB$, не проходящую через центр.
Пусть $OM$ — перпендикуляр, опущенный из центра окружности к хорде.
В прямоугольном треугольнике $OAM$:
$OA = R$ и $AM < OA$ (катет меньше гипотенузы).
Значит, $AB = 2 \cdot AM < 2 \cdot OA = 2R = CD$ $\Rightarrow AB < CD$.
Что и требовалось доказать.
Свойство диаметра и хорды
Хорда и диаметр могут располагаться в окружности по-разному: пересекаться, быть параллельными или вообще не иметь ничего общего. Но стоит диаметру «ударить» по хорде под прямым углом — и хорда послушно разделится на две равные части.
Если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам.
Доказательство
Скрыть
Дано:
Окружность с центром $O$. Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ в точке $M$, причём $CD \perp AB$.
Доказать: $AM = MB$.
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMA$ и $OMB$ ($\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$, по условию):
- $OM$ — общая сторона.
- $OA = OB$ — радиусы окружности $\Rightarrow$
- $ \triangle OMA = \triangle OMB$ по гипотенузе и катету $\Rightarrow AM = MB$.
Что и требовалось доказать.
Также верно и обратное: если диаметр делит хорду пополам, это не просто удачное совпадение. Такое деление обязательно происходит под прямым углом.
Обратное свойство диаметра и хорды
Если диаметр окружности делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.
Доказательство
Скрыть
Дано:
Окружность с центром $O$, диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ в точке $M$, причём $AM = MB$.
Доказать: $CD \perp AB$.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $OMA$ и $OMB$:
- $OA = OB$ — радиусы,
- $AM = MB$, по условию,
- $OM$ — общая сторона.
Из этого следует равенство треугольников: $ \triangle OMA = \triangle OMB$ по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: $ \angle OMA = \angle OMB$.
Но $\angle OMA$ и $\angle OMB$ — смежные $\Rightarrow \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.
Следовательно, $CD \perp AB$.
Что и требовалось доказать.
Посмотрим, как это свойство можно применить на практике.
Задача
В окружности хорда $AB$ длиной $12$ $см$ пересекается с диаметром $CD$ в точке $M$, причем $M$ — середина $AB$. Диаметр $CD = 20$ $см$.
Найдите расстояние от центра окружности до хорды $AB$.
Решение
Скрыть
По условию задачи длина диаметра $CD = 20$ $см$, значит, длина радиуса $R = BM= \dfrac{20}{2} = 10$ $см$.
Точка $M$ — середина $AB$, следовательно $AM = BM = 6$ $см$ $\Rightarrow$ по обратному свойству пересечения диаметра с хордой $\angle OMB = 90^\circ$ и $\triangle OMB$ — прямоугольный, а $OM$ будет являться расстоянием от центра окружности до хорды.
По теореме Пифагора: $OB^2 =OM^2 + BM^2$.
Подставим известные значения и вычислим $OM$:
$OM^2 = OB^2 -BM^2 = 10^2 -6^2 = 100 -36 = 64$,
$$OM = \sqrt{64} = 8.$$
Ответ: $OM = 8$ $см$.
Интерактив
Данный интерактив позволит вам самостоятельно экспериментировать с окружностью: изменять хорду и диаметр, сравнивать их и делать выводы.
Вы можете нажать кнопку «Показать хорду», чтобы увидеть отрезок, соединяющий две точки на окружности. При желании можно перемещать концы хорды по кругу и наблюдать, как меняется её положение.
Нажав кнопку «Показать диаметр», вы увидите отрезок, проходящий через центр окружности. Его также можно перемещать, чтобы убедиться, что при любом положении диаметр всегда остаётся самой длинной хордой.
Историческая справка
Слово хорда происходит от греческого хорди - "струна". В Древней Греции геометры действительно представляли хорду как струну, натянутую внутри круга. Пифагорейцы уже знали, как она связана с дугой и углами, и использовали эти знания для астрономических расчетов.
Индийские математики первыми составили таблицы хорд.
До появления синуса в том виде, в каком мы его знаем, индийские ученые (особенно Ариабхата в $5$ веке) использовали таблицы хорд, где длина хорды напрямую связывалась с центральным углом. Это было раннее приближение к тригонометрии.
Задолго до древних греков (около $1650$ г. до н.э.) египетские математики уже использовали приближенные значения для вычислений, связанных с окружностью. Диаметр там фигурировал как базовая величина для расчета площади круга.
Выводы
- Хорда - это не просто отрезок внутри круга, а объект со своими четкими законами.
- Равные хорды равноудалены от центра и наоборот.
- Диаметр - особая хорда: самая длинная, пересекающая центр окружности.
- Если диаметр перпендикулярен хорде - он делит ее пополам и наоборот.
- При пересечении двух хорд внутри окружности работает полезная формула: произведения отрезков хорд равны между собой.
Все эти свойства не только украшают теорию, но и реально помогают решать задачи быстро и без лишнего счета.
Часто задаваемые вопросы
Да. Диаметр - самая длинная хорда в окружности. Все остальные хорды короче, потому что не проходят через центр окружности.
Нет. Только если перпендикуляр опущен из центра окружности - тогда он делит хорду пополам.
Да. Это свойство окружности: хорды, находящиеся на равных расстояниях от центра, равны между собой.
Да, если диаметр делит хорду пополам, он обязательно перпендикулярен ей (обратное свойство).
Да. Точка пересечения может находиться в любой точке внутри окружности. Главное, чтобы обе хорды действительно пересекались.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти