7 класс Геометрия Геометрические места точек. Симметрия Окружность

Вписанная и описанная окружности треугольника

Содержание

В уроке «Задачи на построение циркулем и линейкой» мы строили серединный перпендикуляр и биссектрису. Теперь они помогут решить старую задачу: найти точку, которая одинаково удалена от трех вершин треугольника, и точку, которая одинаково удалена от трех его сторон. Около 300 года до н. э. Евклид поставил эти задачи в четвертой книге «Начал»: как вписать круг в треугольник и как описать круг около треугольника.

В этом уроке мы выясним, где лежат центры этих окружностей и почему. А начнем с вопроса, на который Евклид ответил в конце задачи об описанном круге: всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника?

Две окружности одного треугольника

Посмотрите на один и тот же треугольник $ABC$ с двумя окружностями. Левая проходит через все три вершины. Правая лежит внутри треугольника и касается каждой стороны в одной точке.

Слева: окружность с центром O проходит через все три вершины треугольника ABC — описанная. Справа: окружность с центром I касается всех трех сторон, радиус в точку касания перпендикулярен стороне — вписанная — Слева: окружность проходит через вершины $A$, $B$, $C$. Справа: окружность касается сторон, радиус в точку касания перпендикулярен стороне

Определение

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Треугольник при этом называют вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Треугольник при этом называют описанным около окружности.

Переведем определения на язык расстояний. Центр описанной окружности $O$ одинаково удален от трех вершин: $OA = OB = OC = R$, где $R$ — ее радиус. Центр вписанной окружности $I$ одинаково удален от трех сторон. Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (урок «Взаимное расположение прямой и окружности»). Поэтому радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр из $I$ к любой стороне.

Получились две задачи о точке с тремя условиями. Каждую решим одним приемом: три условия сведем к двум геометрическим местам точек.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Описанная окружность","Вписанная окружность"],"items":[["Проходит через все вершины треугольника","Ее центр одинаково удален от вершин","Ее радиус соединяет центр с вершиной"],["Касается всех сторон треугольника","Ее центр одинаково удален от сторон","Ее радиус перпендикулярен стороне в точке касания"]]}},"instruction":"Распределите свойства по группам","hints":["Описанная окружность «описывает» треугольник снаружи и проходит через вершины.","Вписанная окружность лежит внутри и касается сторон; расстояние до стороны измеряют по перпендикуляру."],"step":1},{"content":"Вписанная окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $K$. Что можно сказать об отрезке $IK$, где $I$ — центр окружности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$IK \\perp BC$","$K$ — середина $BC$","$IK$ лежит на биссектрисе угла $A$","$IK = IA$"],"explanations":["","Точка касания совпадает с серединой стороны только в особых треугольниках, например в равностороннем. В общем случае это не так.","Биссектриса угла $A$ проходит через $I$, но, как правило, не через точку касания на стороне $BC$: это бывает, только когда $AB = AC$.","$IA$ — расстояние до вершины. Вершина лежит вне вписанной окружности, поэтому $IA > IK$."],"answer":[0]}},"hints":["$IK$ — радиус, проведенный в точку касания.","Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $IK \\perp BC$."],"step":1}],"mix":1}

Описанная окружность: три вершины — два серединных перпендикуляра

Пример

Треугольник нарисован на клетчатой бумаге: $A(0;\,0)$, $B(6;\,0)$, $C(2;\,4)$. Найдем центр описанной окружности по клеткам.

Точки, одинаково удаленные от $A$ и $B$, лежат на вертикальной прямой через середину $AB$ — точку $(3;\,0)$. Ищем на этой прямой узел сетки, одинаково удаленный от $A$ и $C$. Подходит $O(3;\,1)$: от нее до $A$ — $3$ клетки влево и $1$ вниз, до $C$ — $1$ клетка влево и $3$ вверх. Прямоугольные треугольники с катетами $3$ и $1$ равны, поэтому $OA = OC$.

До $B$ от $O$ — $3$ клетки вправо и $1$ вниз, то есть $OB = OA$ тоже. Итак, $OA = OB = OC$: $O$ — центр описанной окружности. На рисунке видно, что серединный перпендикуляр к $AC$ тоже проходит через $O$.

Треугольник ABC на клетках: A(0; 0), B(6; 0), C(2; 4). Серединный перпендикуляр к AB — вертикальная прямая через середину AB, серединный перпендикуляр к AC проходит через середину AC. Они пересекаются в точке O, от которой до каждой вершины — 3 клетки в одну сторону и 1 в другую — Серединные перпендикуляры к $AB$ и $AC$ пересекаются в узле сетки $O(3;\,1)$: до каждой вершины — $3$ клетки в одну сторону и $1$ в другую

Теперь в общем виде. Ищем точку $O$, для которой $OA = OB = OC$. Разделим условие на части. Все точки, одинаково удаленные от $A$ и $B$, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ (урок «Серединный перпендикуляр к отрезку и его свойства»). Все точки, одинаково удаленные от $B$ и $C$, — на серединном перпендикуляре к $BC$. Две прямые пересекаются в одной точке — это и есть $O$.

Серединный перпендикуляр к AB (оранжевый) и к BC (голубой) пересекаются в точке O: OA = OB и OB = OC. Третий серединный перпендикуляр, к стороне CA (серый пунктир), проходит через O сам. Пунктирная окружность с центром O проходит через A, B и C — Серединные перпендикуляры к $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Третий, к стороне $CA$, проходит через $O$ сам

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Почему третий перпендикуляр не нужен? Точка $O$ лежит на первом перпендикуляре, значит, $OA = OB$. Она лежит на втором, значит, $OB = OC$. Отсюда $OA = OC$, а все такие точки лежат на серединном перпендикуляре к $CA$. Третье условие выполнилось само. Подробное доказательство разобрано в уроке «Серединный перпендикуляр к отрезку и его свойства».

Почему окружность только одна? Любой ее центр одинаково удален от трех вершин, а значит, лежит на обоих серединных перпендикулярах. Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.

Ошибка

Серединный перпендикуляр проводят из вершины. Ученик опускает из вершины $A$ перпендикуляр на сторону $BC$ и называет его серединным. Но это высота $AH$: ее основание $H$ обычно не совпадает с серединой $M$ стороны $BC$.

Серединный перпендикуляр строят от стороны, а не от вершины: он проходит через середину стороны под прямым углом и через вершину, как правило, не проходит. Через противолежащую вершину он проходит только тогда, когда две другие стороны равны.

Серединный перпендикуляр к BC (голубой) проходит через середину M и точку O, но не через вершину A. Красный пунктир AH — перпендикуляр из вершины A, то есть высота: его основание H не совпадает с серединой M — Голубая прямая — серединный перпендикуляр к $BC$: проходит через середину $M$ и центр $O$. Красный пунктир — высота $AH$ из вершины, она проходит мимо $O$

{"questions":[{"content":"Какие линии нужно провести в треугольнике, чтобы найти центр описанной окружности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Медианы к двум сторонам","Серединные перпендикуляры к двум сторонам","Биссектрисы двух углов","Высоты из двух вершин"],"explanations":["Медиана проходит через середину стороны, но, как правило, не перпендикулярно ей.","","Биссектрисы дают точку, одинаково удаленную от сторон, — центр вписанной окружности.","Высота идет из вершины перпендикулярно противолежащей стороне, но не через ее середину. Точки высоты не обязаны быть одинаково удалены от концов стороны."],"answer":[1]}},"hints":["Центр описанной окружности одинаково удален от вершин.","Точки, одинаково удаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к нему."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Серединный перпендикуляр к $AB$","Биссектриса угла $A$"],"items":["Точки, одинаково удаленные от точек $A$ и $B$","Точки внутри угла, одинаково удаленные от прямых $AB$ и $AC$","Точки, одинаково удаленные от точки $A$ и от прямой $BC$"]}},"instruction":"Установите соответствие","hints":["Серединный перпендикуляр — геометрическое место точек, одинаково удаленных от концов отрезка.","Биссектриса угла — геометрическое место точек внутри угла, одинаково удаленных от его сторон. Третий вариант лишний."],"step":1},{"content":"Чтобы найти центр описанной окружности, ученик провел из вершины $A$ перпендикуляр к стороне $BC$ и из вершины $B$ перпендикуляр к стороне $AC$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Перпендикуляры надо проводить к продолжениям сторон","Ошибки нет, так находят центр описанной окружности","Он провел высоты, а не серединные перпендикуляры","Нужно было провести три перпендикуляра, а не два"],"explanations":["Дело не в продолжениях: перпендикуляры из вершин — это высоты, а нужны прямые через середины сторон.","Перпендикуляр из вершины — высота. Ее точки не обязаны быть одинаково удалены от концов стороны.","","Двух прямых достаточно: они пересекаются в одной точке, а третья проходит через нее сама. Ошибка в другом — в выборе прямых."],"answer":[2]}},"hints":["Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны, а не через противолежащую вершину.","Перпендикуляры из вершин — высоты. Ученик перепутал высоты с серединными перпендикулярами."],"step":1}],"mix":1}

Вписанная окружность: три стороны — две биссектрисы

Теперь ищем точку $I$ внутри треугольника, одинаково удаленную от трех сторон. Снова делим условие. Точки внутри угла $A$, одинаково удаленные от сторон $AB$ и $AC$, лежат на биссектрисе угла $A$ (урок «Биссектриса и ее свойства»). Точки внутри угла $B$, одинаково удаленные от $AB$ и $BC$, — на биссектрисе угла $B$. Биссектрисы пересекаются в точке $I$.

Биссектрисы углов A и B (фиолетовые) пересекаются в точке I. Перпендикуляры IK, IL, IN к сторонам равны (зеленые) — это радиусы вписанной окружности, K, L, N — точки касания. Биссектриса угла C (серый пунктир) проходит через I сама — Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $I$. Перпендикуляры $IK$, $IL$, $IN$ к сторонам равны — это радиусы, $K$, $L$, $N$ — точки касания

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр — точка пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от этой точки до любой стороны.

Третья биссектриса снова не нужна: $I$ одинаково удалена от $AB$ и $AC$, и от $AB$ и $BC$, значит, и от $AC$ и $BC$. Точка $I$ лежит внутри угла $C$, поэтому она на его биссектрисе.

Чтобы начертить окружность, мало найти $I$: нужен радиус. Опустим из $I$ перпендикуляр $IK$ на сторону $BC$. Его длина и есть $r$, а точка $K$ — точка касания.

Ошибка

Перепутали линии. Центр вписанной окружности ищут пересечением серединных перпендикуляров, а центр описанной — пересечением биссектрис. Запомнить помогает само условие. Вершины — это точки, а одинаково удалены от двух точек точки серединного перпендикуляра. Стороны — это прямые, а одинаково удалены от двух сторон угла точки биссектрисы.

Не тот радиус. Окружность с центром $I$ радиусом $IA$ проходит через вершину и выходит за стороны: $IA$ — расстояние до вершины, а не до стороны. Радиус вписанной окружности — только перпендикуляр к стороне. Точки касания, как правило, не середины сторон и не концы биссектрис.

Две ошибки. Слева: окружность с центром I радиусом IA проходит через вершину и выходит за стороны — радиус вписанной окружности не IA. Справа: центр O взят на пересечении серединных перпендикуляров — окружность касается стороны BC, но пересекает AB и не достает до CA — Слева: радиус $IA$ — окружность выходит за стороны. Справа: центр $O$ найден серединными перпендикулярами — окружность касается $BC$, но пересекает $AB$ и не достает до $CA$

Пример

Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$, $\angle B = 120^\circ$. Где лежат центры его вписанной и описанной окружностей?

Решение. В равнобедренном треугольнике высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, — это и медиана, и биссектриса. Значит, прямая $BH$ — биссектриса угла $B$ и одновременно серединный перпендикуляр к $AC$. Оба центра лежат на прямой $BH$.

Центр вписанной окружности $I$ всегда внутри треугольника — он на отрезке $BH$. А угол $B$ тупой, поэтому центр описанной окружности $O$ вне треугольника — на продолжении $BH$ за основание $AC$ (это доказано в следующем разделе).

	Описанная окружность	Вписанная окружность
Условие для центра	одинаково удален от трех вершин	одинаково удален от трех сторон
Какие линии	серединные перпендикуляры к сторонам	биссектрисы углов
Радиус	отрезок от центра до вершины: $R = OA$	перпендикуляр от центра к стороне: $r = IK$

{"questions":[{"content":"На рисунке $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Какой отрезок — радиус вписанной окружности?[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/t5buz7eo8vrd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$IA$","$ID$","$IM$","$IK$"],"explanations":["$IA$ — расстояние от центра до вершины, оно больше радиуса.","$ID$ — часть биссектрисы до стороны. Она наклонена к стороне, поэтому длиннее перпендикуляра.","$M$ — середина $BC$. Точка касания не обязана быть серединой стороны.",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус вписанной окружности — расстояние от $I$ до стороны.","Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру: это $IK$."],"step":1},{"content":"В равностороннем треугольнике биссектриса каждого угла является и медианой, и высотой. Где лежат центры вписанной и описанной окружностей?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["В одной и той же точке","Центр описанной — на стороне, центр вписанной — внутри","Центр вписанной — внутри, центр описанной — вне треугольника","В разных точках одной биссектрисы"],"explanations":["","Центр описанной окружности на стороне бывает только в прямоугольном треугольнике, а все углы равностороннего — по $60^\\circ$.","Все углы равностороннего треугольника острые, центр описанной окружности не выйдет наружу.","Каждая биссектриса здесь лежит на серединном перпендикуляре к стороне. Значит, точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров — одна и та же."],"answer":[0]}},"hints":["Биссектриса равностороннего треугольника — медиана и высота: она проходит через середину стороны под прямым углом.","Значит, биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах, и обе точки пересечения совпадают."],"step":1}],"mix":1}

Где лежит центр описанной окружности

Центр вписанной окружности всегда внутри треугольника. Биссектриса угла треугольника — отрезок, который идет из вершины внутри треугольника к противолежащей стороне, поэтому точка пересечения двух биссектрис тоже внутри. С центром описанной окружности так не получается. Проверьте это в интерактиве: тяните вершины и следите, где окажется центр $O$.

uploaded-okruzhnosti-tyani-vershinu-16b92388ba7c

Если двигать вершины, видна закономерность: пока все углы острые, центр $O$ внутри. Когда один угол становится прямым, $O$ попадает на противолежащую сторону, а при тупом угле уходит наружу. Объясним это. Поможет «веер»: отрезки $OA$, $OB$, $OC$ равны и режут треугольник на три равнобедренных треугольника.

Остроугольный треугольник ABC, O — центр описанной окружности внутри. Отрезки OA, OB, OC равны и делят треугольник на три равнобедренных треугольника: OAB с углами z при основании, OBC — с углами x, OCA — с углами y — «Веер»: $OA = OB = OC$, поэтому треугольники $OBC$, $OCA$, $OAB$ равнобедренные. Углы при их основаниях обозначены $x$, $y$, $z$

Пример

Центр внутри ⇒ все углы острые. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому $\angle A = y + z$, $\angle B = z + x$, $\angle C = x + y$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$2x + 2y + 2z = 180^\circ, \quad x + y + z = 90^\circ.$$

Тогда $\angle C = x + y = 90^\circ-z$, то есть меньше $90^\circ$. Так же $\angle A = 90^\circ-x$ и $\angle B = 90^\circ-y$. Все три угла острые.

Центр на стороне ⇒ угол прямой. Пусть $O$ лежит на стороне $AB$. Тогда «веер» состоит из двух равнобедренных треугольников $OCA$ и $OBC$, и $\angle C = x + y$. Сумма углов треугольника: $y + x + (x + y) = 180^\circ$, откуда $\angle C = x + y = 90^\circ$.

Слева: угол C прямой, центр O описанной окружности — середина гипотенузы AB; OA = OB = OC, треугольник делится на два равнобедренных с углами x и y, и угол C = x + y. Справа: угол C тупой, центр O лежит вне треугольника, по другую сторону от AB; веер: углы при основаниях x, y, z, угол C = x + y = 90° + z — Слева: $O$ — середина гипотенузы $AB$, угол $C = x + y = 90^\circ$. Справа: угол $C$ тупой, центр $O$ по другую сторону от $AB$; угол $C = x + y = 90^\circ + z$

Центр вне треугольника ⇒ угол тупой (доказательство)

Скрыть

Пусть $O$ лежит по другую сторону от прямой $AB$, чем вершина $C$, как на рисунке справа. Углы при основаниях равнобедренных треугольников снова $x$ (в $\triangle OBC$), $y$ (в $\triangle OCA$) и $z$ (в $\triangle OAB$).

Точки $C$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, а отрезок $CO$ — радиус, он весь лежит внутри круга, где прямая $AB$ — это хорда $AB$. Поэтому отрезок $CO$ пересекает именно сторону $AB$, и $\angle C = x + y$. А углы $A$ и $B$ теперь получаются вычитанием: $\angle A = y-z$, $\angle B = x-z$.

Сумма углов: $(y-z) + (x-z) + (x + y) = 180^\circ$, откуда $x + y = 90^\circ + z$. Значит, $\angle C = 90^\circ + z$ — больше прямого.

Теорема

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит:

внутри треугольника, если треугольник остроугольный;
на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный;
вне треугольника, если треугольник тупоугольный.

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = \dfrac{c}{2}$.

Почему именно середина гипотенузы? Если угол $C$ прямой, центр не внутри (тогда все углы острые) и не снаружи (тогда один угол тупой), значит, на стороне. Это сторона $AB$: иначе прямым был бы другой угол. А раз $OA = OB$, точка $O$ — середина $AB$.

Мы доказали три утверждения «положение центра ⇒ вид угла». Обратные утверждения следуют из них. Например, если треугольник остроугольный, центр не может быть на стороне (тогда угол прямой) и не может быть снаружи (тогда угол тупой). Остается одно — внутри.

Этот результат и есть ответ Евклида. В конце задачи IV.5 «Начал» он замечает: если центр лежит внутри треугольника, угол против стороны $BC$ острый; если на стороне $BC$ — прямой; если за $BC$ — тупой.

Ошибка

«Центр описанной окружности всегда внутри». Так кажется, потому что центр вписанной окружности всегда внутри, а на рисунках обычно рисуют остроугольный треугольник. Проверка: треугольник с углами $20^\circ$, $30^\circ$ и $130^\circ$. Если бы центр был внутри или на стороне, наибольший угол был бы не больше $90^\circ$. Значит, центр снаружи.

Пример

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $13$ см. Найдите радиус описанной окружности и длину медианы, проведенной к гипотенузе.

Решение. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому $R = 13 : 2 = 6{,}5$ см. Медиана из вершины прямого угла соединяет эту вершину с центром, то есть тоже является радиусом: ее длина $6{,}5$ см.

Ответ: $6{,}5$ см и $6{,}5$ см.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Центр внутри","Центр на стороне","Центр вне треугольника"],"items":[["Углы $40^\\circ$, $60^\\circ$, $80^\\circ$","Углы $50^\\circ$, $50^\\circ$, $80^\\circ$"],["Углы $30^\\circ$, $60^\\circ$, $90^\\circ$","Углы $45^\\circ$, $45^\\circ$, $90^\\circ$"],["Углы $20^\\circ$, $30^\\circ$, $130^\\circ$","Углы $40^\\circ$, $40^\\circ$, $100^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите треугольники по положению центра описанной окружности","hints":["Смотрите на наибольший угол треугольника.","Острый — центр внутри, прямой — на середине гипотенузы, тупой — снаружи."],"step":1},{"content":"Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $18$ см. Найдите радиус описанной около него окружности.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["9"],"unit":"см"}},"hints":["Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.","$R = 18 : 2 = 9$ см."],"step":1},{"content":"На рисунке центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Какой угол треугольника прямой?[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wc4hzyey12ld.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни один: центр на стороне бывает и в остроугольном треугольнике","$\\angle C$","$\\angle A$","$\\angle B$"],"explanations":["В остроугольном треугольнике центр строго внутри — это доказано «веером».","","Угол $A$ прилежит к стороне $AB$, на которой лежит центр. Прямым будет угол напротив этой стороны.","Угол $B$ прилежит к стороне $AB$. Прямым будет угол напротив нее."],"answer":[1]}},"hints":["Если центр $O$ лежит на стороне, то эта сторона — гипотенуза.","Напротив гипотенузы $AB$ лежит прямой угол $C$."],"step":1}],"mix":1}

Задачи на «веер» и на поиск центра

«Веер» помогает не только понять положение центра, но и считать углы. Главное — заметить равнобедренные треугольники с вершиной $O$.

Треугольник ABC, O — центр описанной окружности, OA = OB = OC. Отмечены углы OAB = 20° и OBC = 40° — $O$ — центр описанной окружности: $OA = OB = OC$. Даны углы $OAB = 20^\circ$ и $OBC = 40^\circ$

Задача

$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $\angle OAB = 20^\circ$, $\angle OBC = 40^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Показать решение

Скрыть

Треугольник $OAB$ равнобедренный ($OA = OB$), поэтому $\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$, это $z$. Треугольник $OBC$ равнобедренный, поэтому $\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ$, это $x$.

Центр внутри, поэтому $x + y + z = 90^\circ$, $y = 90^\circ-40^\circ-20^\circ = 30^\circ$.

$\angle A = y + z = 50^\circ$, $\angle B = z + x = 60^\circ$, $\angle C = x + y = 70^\circ$. Проверка: $50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$.

Задача

$I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, $\angle C = 70^\circ$. Найдите угол $AIB$.

Показать решение

Скрыть

$\angle A + \angle B = 180^\circ-70^\circ = 110^\circ$. Биссектрисы делят углы пополам: $\angle IAB + \angle IBA = 110^\circ : 2 = 55^\circ$.

Из треугольника $AIB$: $\angle AIB = 180^\circ-55^\circ = 125^\circ$.

В общем виде $\angle AIB = 90^\circ + \dfrac{\angle C}{2}$: угол $AIB$ всегда тупой, какой бы ни был угол $C$.

Ответ: $125^\circ$.

Тот же прием находит центр любой окружности по трем ее точкам. Представьте осколок края тарелки. Отметим на дуге три точки $A$, $B$, $C$ и проведем серединные перпендикуляры к хордам $AB$ и $BC$. Они пересекутся в центре: он одинаково удален от трех точек окружности. Теперь можно восстановить всю окружность и узнать размер тарелки.

Осколок края тарелки — дуга. На ней отмечены точки A, B, C, проведены хорды AB и BC и серединные перпендикуляры к ним. Они пересекаются в центре O, и пунктиром восстановлена вся окружность — Осколок края тарелки: серединные перпендикуляры к хордам $AB$ и $BC$ пересекаются в центре $O$, пунктиром — вся окружность

{"questions":[{"content":"$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $\\angle OAB = 25^\\circ$, $\\angle OBC = 35^\\circ$. Найдите угол $C$ треугольника $ABC$ в градусах.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["65"]}},"hints":["Треугольники $OAB$ и $OBC$ равнобедренные: $z = 25^\\circ$, $x = 35^\\circ$. Центр внутри, поэтому $x + y + z = 90^\\circ$.","$y = 90^\\circ-35^\\circ-25^\\circ = 30^\\circ$.","$\\angle C = x + y = 35^\\circ + 30^\\circ = 65^\\circ$."],"step":1},{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Отметить на дуге три точки $A$, $B$, $C$","Провести хорды $AB$ и $BC$","Построить серединные перпендикуляры к $AB$ и $BC$","Отметить точку $O$ их пересечения","Провести окружность с центром $O$ радиусом $OA$"]}},"instruction":"Расположите шаги восстановления окружности по осколку по порядку","hints":["Сначала нужны точки и хорды, потом серединные перпендикуляры к хордам.","Центр — пересечение перпендикуляров, радиус — расстояние от центра до любой из трех точек."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

У каждого треугольника есть ровно одна описанная и ровно одна вписанная окружность. Обе задачи решаются одним приемом: три условия «одинаково удален» заменяем пересечением двух геометрических мест точек.

Как быстро вспомнить: вершины — точки, от двух точек одинаково удален серединный перпендикуляр; стороны — прямые, от двух сторон угла одинаково удалена биссектриса. А положение центра описанной окружности вспоминайте по «вееру» из трех равнобедренных треугольников.

Где это пригодится. Этим приемом находят центр круглой детали или колеса по дуге, выбирают место, одинаково удаленное от трех пунктов. В 8 классе вы узнаете, около каких четырехугольников можно описать окружность и в какие — вписать.

Часто задаваемые вопросы

Почему около любого треугольника можно описать окружность?

Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника не параллельны, потому что сами стороны не параллельны. Значит, они пересекаются в точке $O$, одинаково удаленной от всех трех вершин. Окружность с центром $O$ радиусом $OA$ проходит через $A$, $B$ и $C$.

Зачем проводить две линии, если в треугольнике их три?

Двух достаточно: точка на двух серединных перпендикулярах уже одинаково удалена от всех трех вершин, поэтому третий перпендикуляр проходит через нее сам. То же с биссектрисами. Третью линию проводят только для проверки чертежа.

Может ли центр вписанной окружности лежать вне треугольника?

Нет. Центр лежит на биссектрисах углов, а биссектриса угла треугольника идет внутри треугольника. Поэтому точка пересечения двух биссектрис всегда внутри.

Чему равен радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Половине гипотенузы: центр — ее середина, $R = \dfrac{c}{2}$. Поэтому и медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Когда центры вписанной и описанной окружностей совпадают?

В равностороннем треугольнике: там каждая биссектриса лежит на серединном перпендикуляре к стороне. В равнобедренном треугольнике оба центра лежат на прямой, содержащей высоту к основанию, но в разных точках; при тупом угле при вершине центр описанной окружности лежит на продолжении этой высоты.

Награды за урок