Вписанная окружность прямоугольного треугольника

Тренажер помогает научиться решать задачи об окружности с центром O, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и касающейся катетов в точках K и M, а гипотенузы в точке L. Центр лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому отрезки CK и CM равны радиусу. Вместе с равенством отрезков касательных это дает формулы: радиус равен половине разности суммы катетов и гипотенузы, гипотенуза равна сумме катетов без двух радиусов, периметр равен удвоенной сумме гипотенузы и радиуса. Центр — точка пересечения биссектрис, поэтому угол AOB равен 135°. Длины сторон даны в условии, теорема Пифагора не нужна. Тренажер предназначен для учеников 7 класса, которые изучают окружность, вписанную в треугольник. Нужно знать сумму углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника и равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

В каждой задаче есть чертеж, построенный по данным задачи: прямоугольный треугольник, вписанная окружность, точки касания и нужные радиусы. Известные величины подписаны на чертеже или записаны под ним, искомая отмечена знаком вопроса. Числа в заданиях каждый раз новые. В тренажере чередуются задачи одного уровня сложности:

• найти радиус по катету и отрезку касательной, катет по отрезку касательной и радиусу или периметр четырехугольника CKOM;
• найти радиус по трем сторонам или по сумме катетов и гипотенузе либо гипотенузу по катетам и радиусу;
• найти периметр треугольника по гипотенузе и радиусу, гипотенузу по периметру и радиусу или радиус по периметру и гипотенузе;
• найти отрезок касательной от вершины острого угла, гипотенузу по двум отрезкам касательных или катет по гипотенузе, отрезку касательной и радиусу;
• найти угол AOB, угол между отрезком OC и отрезком из центра к вершине острого угла по острому углу или острый угол по такому углу.

Ответ — целое число сантиметров или градусов. К любой задаче можно открыть подробное решение.

В результате вы будете замечать равные отрезки касательных и отрезки, равные радиусу, и выражать через них стороны, периметр и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника.