Вписанная окружность и углы треугольника

Тренажер помогает научиться находить углы в фигуре из треугольника ABC и вписанной в него окружности, которая касается сторон AB, AC и BC в точках K, L и M. Отрезки касательных из одной вершины равны, поэтому у каждой вершины получается равнобедренный треугольник с углами при основании 90° минус половина угла вершины. Из этого следуют углы треугольника KLM, углы между отрезками KL, KM, LM и сторонами, а радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам и образуют между собой угол 180° минус угол вершины. Тренажер предназначен для учеников 7 класса, которые изучают окружность, вписанную в треугольник. Нужно знать сумму углов треугольника, смежные углы, свойства равнобедренного треугольника и то, что центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

В каждой задаче есть чертеж, построенный по данным задачи: окружность касается всех сторон треугольника, точки касания K, L и M отмечены, нужные отрезки между ними и радиусы проведены. Известные углы подписаны на чертеже или записаны под ним, искомый угол отмечен знаком вопроса. Числа в заданиях каждый раз новые. В тренажере чередуются задачи одного уровня сложности:

• найти угол треугольника KLM по двум углам треугольника ABC или по одному углу, противолежащему стороне с этой точкой касания;
• найти угол треугольника ABC по углу треугольника KLM или по двум его углам;
• найти угол между радиусами, проведенными в две точки касания, по двум углам треугольника ABC или угол треугольника по двум углам между радиусами;
• найти угол треугольника KLM по углу между радиусами или угол между радиусами по углу треугольника KLM;
• найти угол между стороной и отрезком, соединяющим точки касания на двух сторонах одной вершины, по углу этой вершины или по двум другим углам либо угол вершины по этому углу;
• в точке касания K, L или M даны углы между стороной и отрезками к двум другим точкам касания: найти угол треугольника ABC или найти один такой угол по другому и углу треугольника.

Ответ — целое число градусов. К любой задаче можно открыть подробное решение.

В результате вы будете замечать равнобедренные треугольники, которые образуют вершины треугольника и точки касания, и выражать через углы треугольника углы фигуры с вписанной окружностью.