7 класс Геометрия Геометрические места точек. Симметрия Окружность

Задачи на построение циркулем и линейкой

Содержание

В уроке «Взаимное расположение прямой и окружности» мы выясняли, как прямая и окружность могут располагаться друг относительно друга. Теперь окружность станет инструментом. Около 300 года до н. э. Евклид написал «Начала» — книгу, по которой геометрию учили больше двух тысяч лет. Среди первых задач этой книги — задачи на построение: разделить отрезок пополам, провести перпендикуляр, разделить угол пополам, построить угол, равный данному. Решать их разрешено только двумя инструментами — циркулем и линейкой.

В этом уроке мы выполним все эти построения и, главное, докажем, что каждое из них верно. Поможет одна модель — «треугольник засечек» и составленный из двух таких треугольников «змей». А в конце ответим на вопрос, над которым математики думали больше двух тысяч лет: угол пополам делят три засечки, а можно ли так же разделить угол на три равные части?

Что разрешено циркулю и линейке

В задаче на построение важно не «нарисовать похоже», а получить фигуру точно. Поэтому инструменты умеют только самые простые действия.

Слева: линейкой проводят прямую через две точки A и B. Справа: циркуль переносит длину отрезка PQ — окружность с центром O и радиусом OK = PQ — Линейка проводит прямую через две точки. Циркуль проводит окружность с центром $O$ и радиусом, равным данному отрезку $PQ$: он переносит длину

Правило

Задача на построение — задача, в которой нужно получить фигуру с помощью только циркуля и линейки. Разрешено:

линейкой — провести прямую (луч, отрезок) через две построенные точки;
циркулем — провести окружность или дугу с центром в построенной точке и радиусом, равным построенному отрезку;
отмечать точки пересечения построенных линий.

Деления на линейке и транспортир не используют: это измерение, а не построение.

Почему измерять нельзя? Любое измерение приближенное, а построение дает точный ответ при любой длине, и его правильность можно доказать.

Расстояние между ножками циркуля называют раствором. Самое частое действие — засечка: короткая дуга, проведенная циркулем, чтобы отметить точку.

Две засечки из концов отрезка строят треугольник по трем сторонам. Пусть даны отрезки $a$, $b$, $c$. Отложим на луче отрезок $AB = c$. Из точки $A$ проведем дугу радиусом $b$, из точки $B$ — дугу радиусом $a$. Точка пересечения дуг — вершина $C$: $AC = b$, $BC = a$. Такой треугольник назовем треугольником засечек. Все его стороны заданы растворами циркуля, поэтому любые два треугольника засечек с теми же растворами равны по третьему признаку. На этом держатся все построения урока.

Треугольник по трем сторонам: слева данные отрезки a, b, c в том же масштабе; на луче AB = c, из A — дуга радиуса b, из B — дуга радиуса a, точка пересечения дуг — вершина C — Треугольник по трем сторонам: данные отрезки слева в том же масштабе; засечки радиусами $b$ и $a$ из концов отрезка $AB = c$ дают вершину $C$

Пример

Первая задача «Начал» Евклида: построить равносторонний треугольник на данном отрезке $AB$.

Решение. Из $A$ и из $B$ проведем дуги одним и тем же раствором, равным $AB$. Они пересекутся в точке $C$. По построению $AC = AB$ и $BC = AB$, значит, все три стороны равны.

Этот треугольник пригодится в конце урока: каждый его угол равен $60^\circ$.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Построение","Измерение"],"items":[["Провести прямую через точки $A$ и $B$","Провести дугу с центром $A$ радиусом $AB$","Отметить точку пересечения двух дуг"],["Отложить по делениям линейки $3$ см","Построить угол $40^\\circ$ транспортиром","Найти середину, разделив длину отрезка на $2$"]]}},"instruction":"Распределите действия по группам","hints":["Построение использует только линейку без делений (прямая через две точки) и циркуль (окружность с данным центром и радиусом).","Все, где нужны числа на шкале — сантиметры или градусы, — это измерение."],"step":1},{"content":"Даны отрезки $5$ см, $4$ см и $3$ см. Строим треугольник по трем сторонам: откладываем $AB = 5$ см. Каким раствором проводим дугу из точки $A$, если $AC$ должно быть равно $4$ см?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Раствором $4$ см","Раствором $5$ см","Раствором $3$ см","Любым, лишь бы дуги пересеклись"],"explanations":["","$5$ см — это уже отложенный отрезок $AB$. Дуга из $A$ задает длину $AC$.","$3$ см — длина $BC$: этим раствором проводят дугу из точки $B$.","Точка пересечения дуг должна быть на расстоянии $4$ см от $A$, поэтому раствор из $A$ равен $4$ см."],"answer":[0]}},"hints":["Все точки дуги с центром $A$ находятся от $A$ на расстоянии, равном раствору.","Нужно $AC = 4$ см — раствор $4$ см."],"step":1}],"mix":1}

Змей из засечек: середина отрезка

Разделим отрезок $AB$ пополам. Возьмем раствор больше половины $AB$ и проведем две дуги из точки $A$: над отрезком и под ним. Не меняя раствора, проведем такие же дуги из точки $B$. Дуги пересекутся в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AB$ в точке $M$ — это и есть середина.

Змей из засечек: дуги одного радиуса из A и B пересекаются в P и Q, AP = BP = AQ = BQ; прямая PQ проходит через середину M отрезка AB и перпендикулярна ему — «Змей из засечек»: $AP = BP = AQ = BQ$. Ось змея $PQ$ делит $AB$ пополам и перпендикулярна ему

Посмотрите на четырехугольник $APBQ$: он похож на воздушного змея. Змей — это два треугольника засечек $APB$ и $AQB$ с общей «перекладиной» $AB$, у каждого две равные стороны: $AP = BP$ и $AQ = BQ$. Ось змея $PQ$ проходит через перекладину точно посередине и под прямым углом.

Почему это верно

Точка $P$ равноудалена от концов отрезка $AB$, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ (урок «Серединный перпендикуляр к отрезку и его свойства»). Точка $Q$ — тоже. Через две точки проходит только одна прямая, поэтому $PQ$ и есть серединный перпендикуляр: $AM = MB$ и $PQ \perp AB$.

Доказательство через равные треугольники

Скрыть

1. $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трем сторонам: $AP = BP$, $AQ = BQ$, $PQ$ — общая. Значит, $\angle APM = \angle BPM$.

2. $\triangle APM = \triangle BPM$ по двум сторонам и углу между ними: $AP = BP$, $PM$ — общая, $\angle APM = \angle BPM$. Значит, $AM = MB$ и $\angle AMP = \angle BMP$.

3. Углы $AMP$ и $BMP$ смежные и равны, поэтому каждый из них равен $90^\circ$.

Ошибка

Сменили раствор. Из $A$ провели дуги радиусом $5$ см, а из $B$ — радиусом $3$ см. Точка пересечения теперь ближе к $B$, чем к $A$, змей искажается, и прямая проходит через точку $K$, а не через середину $M$.

Слишком маленький раствор. Если раствор меньше половины $AB$, дуги из $A$ и из $B$ не пересекаются. Раствор ровно в половину отрезка тоже не годится: чтобы его взять, отрезок надо измерить, а дуги лишь коснутся в одной точке.

Слева: из A и B взяли разные растворы — прямая через точки пересечения дуг проходит через K, а не через середину M. Справа: раствор r меньше половины AB — дуги не пересекаются — Слева: растворы из $A$ и из $B$ разные — прямая проходит через $K$, мимо середины $M$. Справа: раствор $r$ меньше половины $AB$ — дуги не пересеклись

{"questions":[{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Взять раствор больше половины $AB$","Провести две дуги с центром $A$","Тем же раствором провести две дуги с центром $B$","Отметить точки пересечения дуг $P$ и $Q$","Провести прямую $PQ$ и отметить точку $M$ на $AB$"]}},"instruction":"Расположите шаги построения середины отрезка AB по порядку","hints":["Сначала выбирают раствор, потом из каждого конца отрезка проводят дуги.","Прямую проводят последней: через две точки пересечения дуг."],"step":1},{"content":"Ученик строит середину отрезка $AB$. Из точки $A$ он провел дуги радиусом $6$ см, а из точки $B$ — радиусом $4$ см. Что получится?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Дуги никогда не пересекутся","Прямая $PQ$ пройдет мимо середины $AB$","Получится середина, раствор не важен","Прямая $PQ$ пройдет через середину, но не будет перпендикулярна $AB$"],"explanations":["Дуги радиусов $6$ и $4$ см пересекутся, если $AB$ больше $2$ см и меньше $10$ см. Причина в другом: точка пересечения не равноудалена от $A$ и $B$.","","Точки пересечения дуг удалены от $A$ на $6$ см, а от $B$ — на $4$ см. Они не равноудалены от концов, значит, не лежат на серединном перпендикуляре.","Прямая через точки, которые ближе к $B$, пересечет $AB$ ближе к $B$, а не в середине."],"answer":[1]}},"hints":["Середину дает змей: каждая его вершина должна быть одинаково удалена от $A$ и от $B$.","Здесь $PA = 6$ см, а $PB = 4$ см — точка $P$ не на серединном перпендикуляре, прямая пройдет мимо середины."],"step":1},{"content":"Отрезок $AB = 10$ см. Каким раствором циркуля можно сделать засечки, чтобы получить две точки $P$ и $Q$ серединного перпендикуляра?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$4$ см","$3$ см","$7$ см","$5$ см"],"explanations":["$4$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся.","$3$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся.","","$5$ см — ровно половина $AB$. Чтобы взять такой раствор, отрезок нужно измерить, а дуги из $A$ и $B$ лишь коснутся в одной точке — двух точек $P$ и $Q$ не будет."],"answer":[2]}},"hints":["Дуги из $A$ и $B$ пересекаются в двух точках, только если раствор больше половины отрезка.","Половина $AB$ — $5$ см. Подходит только $7$ см."],"step":1}],"mix":1}

Перпендикуляр к прямой: одна вершина змея уже есть

Пусть дана прямая и точка $M$. Нужно провести через $M$ прямую, перпендикулярную данной. Достаточно построить змея, у которого перекладина лежит на данной прямой, а одна вершина — точка $M$.

Точка $M$ лежит на прямой. Проведем дугу с центром $M$: она отметит на прямой точки $A$ и $B$, причем $MA = MB$. Точка $M$ — середина $AB$, она уже равноудалена от $A$ и $B$. Осталось найти вторую такую точку: засечки из $A$ и $B$ одним раствором, больше $MA$, дадут точку $P$.

Точка $M$ не лежит на прямой. Проведем окружность с центром $M$ таким радиусом, чтобы она пересекла прямую в двух точках $A$ и $B$. Тогда $MA = MB$ — это радиусы, и $M$ — вершина змея. Засечки из $A$ и $B$ тем же раствором по другую сторону прямой дадут вторую вершину $N$.

Слева: перпендикуляр через точку M на прямой — отложили MA = MB, засечки из A и B дали P, MP ⊥ AB. Справа: перпендикуляр из точки M вне прямой — дуга из M дала A и B, засечки из A и B дали N, MN ⊥ AB — Слева: точка $M$ на прямой, засечки из $A$ и $B$ дали $P$, $MP \perp AB$. Справа: точка $M$ вне прямой, змей $MANB$, $MN \perp AB$

Почему это верно

В обоих случаях две точки равноудалены от $A$ и $B$: $M$ и $P$ (или $M$ и $N$). Значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к $AB$, и прямая через них — этот перпендикуляр. Он перпендикулярен прямой $AB$, то есть данной прямой.

Пример

Постройте высоту треугольника $ABC$, проведенную из вершины $A$.

Решение. Высота — это перпендикуляр из $A$ к прямой $BC$. Точка $A$ не лежит на прямой $BC$, поэтому строим, как во втором случае: дуга с центром $A$ отмечает на прямой $BC$ точки $X$ и $Y$, засечки из $X$ и $Y$ одним раствором по другую сторону от $BC$ дают точку $N$, прямая $AN$ пересекает прямую $BC$ в точке $H$. Отрезок $AH$ — высота.

Если угол $B$ тупой, основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $BC$: дугу проводят до пересечения с прямой $BC$, а не только с отрезком. Медиану строят еще проще: середину стороны $BC$ дает змей, как в предыдущем разделе.

Слева: медиана AM — середину M стороны BC строим змеем из засечек. Справа: высота AH тупоугольного треугольника — дуга из A дала на прямой BC точки X и Y, засечки из X и Y под прямой дали N, прямая AN пересекает продолжение стороны BC в H — Слева: медиана $AM$ — середину стороны $BC$ дает змей из засечек. Справа: высота $AH$ тупоугольного треугольника — основание $H$ на продолжении стороны $BC$

{"questions":[{"content":"Строим перпендикуляр из точки $M$, не лежащей на прямой $a$. Дуга с центром $M$ пересекла прямую $a$ в точках $A$ и $B$. Почему точка $M$ уже равноудалена от $A$ и $B$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$M$ — середина отрезка $AB$","На чертеже $A$ и $B$ выглядят симметричными относительно $M$","Треугольник $AMB$ прямоугольный","$MA$ и $MB$ — радиусы одной окружности"],"explanations":["Точка $M$ не лежит на прямой $a$, поэтому она не может быть серединой $AB$.","Чертеж не доказательство. Равенство $MA = MB$ следует из того, как проведена дуга.","Треугольник $AMB$ равнобедренный ($MA = MB$), но не обязательно прямоугольный.",""],"answer":[3]}},"hints":["Точки $A$ и $B$ лежат на дуге с центром $M$.","Все точки этой дуги удалены от $M$ на один и тот же раствор: $MA = MB$."],"step":1},{"content":"Ученик хочет провести перпендикуляр из точки $M$ к прямой $a$. Он провел дугу с центром $M$, но она не дошла до прямой. Как исправить построение?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Взять раствор больше, чтобы дуга пересекла прямую в двух точках","Взять раствор меньше","Провести перпендикуляр на глаз","Построить середину отрезка от $M$ до прямой"],"explanations":["","При меньшем растворе дуга тем более не дойдет до прямой.","«На глаз» — не построение: точность ничем не гарантирована.","Отрезка «от $M$ до прямой» еще нет: его конец — основание перпендикуляра, которое мы и ищем."],"answer":[0]}},"hints":["Для змея нужны две точки $A$ и $B$ на прямой, одинаково удаленные от $M$.","Дуга пересечет прямую в двух точках, если раствор больше расстояния от $M$ до прямой: возьмите раствор побольше."],"step":1}],"mix":1}

Биссектриса угла: змей в угле

Дан угол с вершиной $O$. Проведем дугу с центром $O$: она пересечет стороны угла в точках $A$ и $B$, и $OA = OB$. Затем из $A$ и $B$ одним раствором, большим половины $AB$, проведем засечки внутри угла — они пересекутся в точке $K$, и $AK = BK$. Луч $OK$ — биссектриса.

Биссектриса угла: OA = OB (одна дуга из O), AK = BK (засечки одним раствором); змей OAKB, луч OK делит угол AOB пополам — Змей $OAKB$: $OA = OB$ (дуга из $O$), $AK = BK$ (засечки одним раствором). Луч $OK$ делит угол пополам

Почему это верно

$\triangle OAK = \triangle OBK$ по трем сторонам: $OA = OB$, $AK = BK$, $OK$ — общая (урок «Второй и третий признаки равенства треугольников»). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому $\angle AOK = \angle BOK$, и $OK$ — биссектриса угла $AOB$.

Это тот же змей: ось $OK$ — серединный перпендикуляр к перекладине $AB$ и биссектриса угла $O$. Свойства биссектрисы разобраны в уроке «Биссектриса и ее свойства».

Ошибка

Засечки на сторонах угла сделаны разными растворами. Если $OA \ne OB$, змея нет: из построения уже не следует, что треугольники $OAK$ и $OBK$ равны, и доказать, что $OK$ — биссектриса, нельзя. Как правило, луч делит угол неравными частями: на рисунке угол $70^\circ$ разделился на $31^\circ$ и $39^\circ$. Первая дуга из вершины должна быть одной — она сразу пересекает обе стороны.

{"questions":[{"content":"При построении биссектрисы угла $AOB$ получили $OA = OB$ и $AK = BK$. Какой признак равенства треугольников доказывает, что $\\angle AOK = \\angle BOK$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Никакой: это видно на чертеже","Третий: по трем сторонам","Первый: по двум сторонам и углу между ними","Второй: по стороне и двум прилежащим углам"],"explanations":["Чертеж может быть неточным. Верность построения доказывают.","","Для первого признака нужен равный угол между сторонами, а про углы мы пока ничего не знаем — их равенство и доказываем.","Равенство углов — это то, что нужно доказать; использовать его нельзя."],"answer":[1]}},"hints":["Известны три пары равных сторон: $OA = OB$, $AK = BK$ и общая сторона $OK$.","Равенство по трем сторонам — третий признак."],"step":1},{"content":"Ученик строил биссектрису угла $O$: на одной стороне сделал засечку раствором $3$ см, на другой — раствором $5$ см, затем одним раствором провел засечки из $A$ и $B$ и получил точку $K$. Что можно сказать о луче $OK$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$OK$ — биссектриса, потому что точка $K$ лежит внутри угла","$OK$ — биссектриса, если засечки сделаны аккуратно","Доказать, что $OK$ — биссектриса, нельзя","$OK$ — биссектриса, потому что $AK = BK$"],"explanations":["Внутри угла лежит много лучей, и почти все они — не биссектрисы.","Аккуратность не исправит неравенство $OA \\ne OB$: без него треугольники $OAK$ и $OBK$ не обязаны быть равными.","","Одного равенства $AK = BK$ мало: для третьего признака нужно еще $OA = OB$."],"answer":[2]}},"hints":["Биссектрису доказывают через $\\triangle OAK = \\triangle OBK$ по трем сторонам: нужны $OA = OB$, $AK = BK$ и общая $OK$.","Здесь $OA = 3$ см, $OB = 5$ см — равенства нет, доказательство не работает."],"step":1}],"mix":1}

Угол, равный данному: переносим треугольник засечек

Дан угол $O$ и луч с началом $O_1$. Нужно отложить от луча угол, равный данному. Циркуль переносит длины, а не углы, поэтому превратим угол в треугольник засечек — его можно перенести по трем сторонам.

Дуга радиусом $r$ с центром $O$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$.
Той же дугой с центром $O_1$ отмечаем на луче точку $A_1$.
Раствором, равным $AB$, проводим засечку с центром $A_1$. Она пересекает дугу в двух точках по разные стороны луча; берем ту, что лежит с нужной стороны, — точку $B_1$.
Проводим луч $O_1B_1$.

Угол, равный данному: в данном угле дуга радиуса r дала A и B; на новом луче та же дуга из O₁ дала A₁, засечка из A₁ раствором AB дала B₁. Треугольники OAB и O₁A₁B₁ равны по трем сторонам, угол A₁O₁B₁ равен углу AOB — $O_1A_1 = OA = r$, $O_1B_1 = OB = r$, $A_1B_1 = AB$: треугольники равны по трем сторонам, $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$

Почему это верно

$\triangle O_1A_1B_1 = \triangle OAB$ по трем сторонам: $O_1A_1 = OA$, $O_1B_1 = OB$ (радиус $r$), $A_1B_1 = AB$ (раствор $AB$). Значит, $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$.

Ошибка

Вторую засечку делают первым раствором. На шаге 3 нужен раствор, равный отрезку $AB$, а не радиусу $r$. Если засечку из $A_1$ сделать раствором $r$, получится равносторонний треугольник и угол $60^\circ$ — каким бы ни был данный угол. Перед шагом 3 поставьте ножки циркуля в точки $A$ и $B$ данного угла.

uploaded-postroeniya-shagi-004c09116bcd

{"questions":[{"content":"Строим угол, равный углу $AOB$. Точки $A$ и $B$ отмечены дугой радиуса $r$ на сторонах угла, точка $A_1$ — той же дугой на новом луче. Засечку с центром $A_1$ проводим раствором, равным [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$r$","$2r$","$OA + AB$","$AB$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Переносим треугольник $OAB$ по трем сторонам. Две стороны ($r$ и $r$) уже перенесены дугой.","Третья сторона треугольника — $AB$: засечку проводим раствором $AB$."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Середина отрезка","Биссектриса угла","Угол, равный данному"],"items":["Две точки, каждая одинаково удалена от концов данного отрезка","Точки на сторонах на равных расстояниях от вершины и засечки из них","Копия треугольника засечек на новом луче"]}},"instruction":"Сопоставьте построение и то, на чем оно держится","hints":["Середина отрезка: змей из засечек над и под отрезком. Биссектриса: змей с вершиной в вершине угла.","Угол, равный данному, — перенос треугольника засечек по трем сторонам."],"step":1}],"mix":1}

Как решать задачу на построение

Базовые построения — кирпичики. Более сложные задачи собирают из них по общему плану из четырех шагов.

Шаг	Что делаем
Анализ	Представляем, что фигура уже построена, и ищем, какие ее точки можно получить базовыми построениями
Построение	Записываем шаги: какую линию каким инструментом проводим
Доказательство	Объясняем, почему фигура удовлетворяет условию (чаще всего — через равные треугольники)
Исследование	Выясняем, всегда ли задача имеет решение и сколько их

Задача

Постройте равнобедренный треугольник по основанию $a$ и высоте $h$, проведенной к основанию.

Анализ. Пусть $ABC$ — искомый треугольник, $AB = a$, $CA = CB$. Вершина $C$ равноудалена от $A$ и $B$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, на расстоянии $h$ от основания.

Построение. 1) Откладываем $AB = a$. 2) Змеем из засечек строим серединный перпендикуляр к $AB$ и середину $M$. 3) На перпендикуляре циркулем откладываем $MC = h$. 4) Проводим отрезки $CA$ и $CB$.

Доказательство. $C$ лежит на серединном перпендикуляре, поэтому $CA = CB$. $CM \perp AB$ и $CM = h$, значит, высота равна $h$.

Исследование. Задача имеет решение при любых $a$ и $h$. Точку $C$ можно отложить по обе стороны от $AB$, но получатся равные треугольники — решение одно.

Попробуйте построить треугольник со сторонами $3$, $4$ и $8$ см: дуги радиусов $3$ и $4$ см из концов отрезка $8$ см не пересекутся, потому что $3 + 4 < 8$. Решения нет — об этом урок «Неравенство треугольника».

Теперь вернемся к вопросу из начала урока. Биссектриса делит любой угол пополам. Но разделить произвольный угол на три равные части циркулем и линейкой нельзя. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал, что такого построения не существует. Однако некоторые углы разделить на три части все же можно — например, прямой.

Прямой угол AOB на три равные части: дуга радиуса r из O дала A и B; засечка из A тем же раствором дала C (треугольник OAC равносторонний, угол AOC = 60°), засечка из B — D (угол BOD = 60°). Углы AOD, DOC, COB — по 30° — Прямой угол на три части: засечки радиусом $r$ из $A$ и из $B$ дают равносторонние треугольники $OAC$ и $OBD$, $\angle AOC = \angle BOD = 60^\circ$, поэтому три угла — по $30^\circ$

Треугольник $OAC$ равносторонний ($OA = OC = AC = r$), поэтому $\angle AOC = 60^\circ$ и $\angle COB = 90^\circ-60^\circ = 30^\circ$. Так же $\angle AOD = 30^\circ$, а на средний угол остается $90^\circ-30^\circ-30^\circ = 30^\circ$. Комбинируя равносторонний треугольник, перпендикуляр и биссектрису, строят углы $60^\circ$, $30^\circ$, $15^\circ$, $45^\circ$ и другие.

{"questions":[{"content":"Нужно построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB = a$ и боковыми сторонами, равными $b$. Что выясняют на шаге «анализ»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Как получить вершину $C$: она удалена от $A$ и $B$ на $b$","Сколько решений имеет задача при разных $a$ и $b$","Почему построенный треугольник будет равнобедренным","Какие линии и в каком порядке нужно провести"],"explanations":["","Это шаг «исследование».","Это шаг «доказательство».","Это шаг «построение»: его записывают после того, как анализ подсказал идею."],"answer":[0]}},"hints":["Анализ: представляем фигуру построенной и ищем, как получить ее точки.","Вершина $C$ на расстоянии $b$ от $A$ и от $B$ — точка пересечения двух дуг радиуса $b$."],"step":1},{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Отложить отрезок $OA$ на луче","Построить равносторонний треугольник $OAC$","Построить биссектрису угла $AOC$","Построить биссектрису угла, который получился между $OA$ и биссектрисой"]}},"instruction":"Расположите шаги построения угла 15° по порядку","hints":["$15^\\circ$ — половина $30^\\circ$, а $30^\\circ$ — половина $60^\\circ$.","Угол $60^\\circ$ дает равносторонний треугольник; затем дважды строим биссектрису: $60^\\circ \\to 30^\\circ \\to 15^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Все построения урока держатся на одной идее: засечки строят треугольник засечек по трем сторонам, а равные треугольники доказывают, что построение верно. Два треугольника засечек на общей перекладине — «змей»: его ось делит отрезок пополам под прямым углом и делит угол пополам.

Где это пригодится. Так размечают детали в черчении и находят центр круглой детали. На построениях учатся главному в геометрии: не верить чертежу, а доказывать. Дальше в уроке «Построение треугольника по трем элементам» из базовых построений собирают треугольник, а в уроке «Вписанная и описанная окружности» серединные перпендикуляры и биссектрисы помогут найти центры окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него.

Часто задаваемые вопросы

Почему в построениях нельзя пользоваться транспортиром и делениями линейки?

Деления и шкала транспортира дают приближенный результат, и его точность нельзя доказать. Построение циркулем и линейкой точное: каждое действие опирается на определение окружности и прямой, поэтому правильность можно обосновать через равные треугольники.

Можно ли менять раствор циркуля во время построения?

Можно — между разными шагами. Нельзя менять его там, где важно равенство: засечки из $A$ и из $B$ для одной вершины змея делают одним раствором. В задаче о середине верхнюю пару засечек можно сделать одним раствором, а нижнюю — другим.

Почему при построении середины раствор должен быть больше половины отрезка?

Две окружности радиуса $r$ с центрами на расстоянии $AB$ пересекаются в двух точках, только если $2r > AB$. При $2r < AB$ общих точек нет. При $2r = AB$ окружности касаются в середине отрезка, но такой раствор можно взять, только измерив отрезок.

Правда ли, что угол нельзя разделить на три равные части?

Произвольный угол нельзя разделить на три равные части только циркулем и линейкой — это доказал Пьер Ванцель в 1837 году. Отдельные углы разделить можно: прямой угол делится на три угла по $30^\circ$. С линейкой с отметками трисекция возможна, но это уже не задача на построение.

Награды за урок