Взаимное расположение прямой и окружности

Вам уже известны такие понятия как прямая и окружность. На этом уроке мы увидим их возможные расположения относительно друг друга: когда прямая пересекает окружность, касается ее или не имеет с ней общих точек. Каждый из этих случаев имеет свои особенности и встречается в различных задачах.

Чтобы определить, о каком именно случае идет речь, используют расстояние от центра окружности до прямой. Зная это расстояние и радиус, можно точно сказать, будет ли прямая касательной, секущей или внешней по отношению к окружности.

Исторические факты

Около 200 года до н.э. Апполоний, гений античной геометрии, разработал методы построения касательных к окружностям и эллипсам. Он умел строить касательные даже между двумя окружностями руками, без формул. Его методы до сих пор изучают.

В средние века задачи на построение касательных входили в экзамены по геометрии в университетах. Умение построить касательную к окружности — считалось высшим пилотажем у будущих ученых.

Леонардо да Винчи не просто рисовал круги — он исследовал законы оптики, отражения и строил касательные к выпуклым поверхностям. Его тетради полны зарисовок лучей, отражающихся от сфер, — а там касательные в каждом угле.

Термин tangens (от лат. tangere — касаться) впервые ввел Томас Фэйрфакс в английской математике в $17$ веке. На латыни «касательная» — это linea tangens. Отсюда и функция «тангенс».

Когда Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга открыли производную, все началось именно с касательной к кривой. Производная — это и есть наклон касательной.

Без касательной не было бы всей современной математики, физики и даже экономических моделей. Да-да, и инфляцию мы предсказываем с помощью наклонов графиков.

Прямая, не имеющая общих точек с окружностью

Рассмотрим случай, когда прямая не пересекает окружность и не касается ее. Она лежит вне окружности и называется внешней.

Пусть нам дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$, а $d$ — расстояние от центра окружности до прямой.

Если $d > R$, то прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки.

Доказательство

Скрыть

Возьмем произвольную точку $M$ на данной прямой. Поскольку $d$ — кратчайшее расстояние от центра окружности $O$ до прямой, то для любой другой точки $M$ на этой прямой выполняется неравенство:

$$OM > d.$$

Так как $d > R$, то $OM > R$.

Следовательно, все точки прямой находятся от центра окружности на расстоянии, большем радиуса.

Значит, ни одна точка прямой не лежит на окружности, и прямая не имеет с окружностью общих точек.

Что и требовалось доказать.

Задача

Окружность с центром $O$ и радиусом $5$ $см$ не имеет с прямой $a$ общих точек.

На каком наименьшем целочисленном расстоянии может находиться прямая $a$ от точки $O$?

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В каком случае прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки?[[choice-1]][[image-6]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.","Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу.","Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса.","Радиус окружности равен нулю."],"answer":[2]},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"299"}},"hints":["Если расстояние до прямой больше радиуса, значит, все точки прямой находятся за пределами окружности.","В этом случае расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса."]}]}

Прямая, пересекающая окружность

Другой вариант взаимного расположения прямой и окружности: расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Такая прямая будет пересекать окружность в двух точках и называться секущей.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух точках.

Доказательство

Скрыть

Пусть $O$ — центр окружности, $r$ — ее радиус, $a$ — прямая, а $d$ — расстояние от точки $O$ до прямой $a$.

По условию $d < r$. Построим перпендикуляр от точки $O$ к прямой $a$, пусть он пересекает прямую в точке $P$ (то есть $OP = d$).

Рассмотрим все точки, которые находятся на прямой $a$. Среди них найдутся такие, расстояние от которых до центра окружности меньше радиуса — $M$ и $N$, а также такие, для которых оно больше радиуса — $K$ и $T$.

Это значит, что часть прямой проходит внутри круга, а часть — снаружи. Поэтому граница круга, то есть окружность, и прямая обязательно пересекаются в двух точках.

Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность в двух точках.

Что и требовалось доказать.

Задача

Центр окружности — точка $O$, радиус окружности — $7$ $см$. Прямая $a$ проходит на расстоянии $5$ $см$ от точки $O$.

Сколько общих точек имеет прямая $a$ с окружностью?

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Что называют секущей по отношению к окружности?[[choice-1]][[image-5]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямую, по которой катится круг.","Прямую, которая касается окружности в одной точке.","Прямую, которая пересекает окружность в двух точках.","Прямую, не имеющую с окружностью общих точек."],"answer":[2]},"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"}},"hints":["Секущая всегда имеет две общие точки с окружностью."]}]}

Прямая, касающаяся окружности

Говорят, что прямая касается окружности, если у нее с окружностью одна общая точка. Такая прямая называется касательной.

В отличие от секущей, которая пересекает окружность в двух точках, касательная лишь слегка «задевает» окружность. При этом она не проходит через круг, а как бы скользит по самой границе.

Это третий — заключительный случай взаимного расположения прямой и окружности. Происходит тогда и только тогда, когда прямая проходит на расстоянии, от центра окружности, равному радиусу.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая касается окружности.

Доказательство

Скрыть

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — ее радиус, $a$ — прямая, и расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно $R$.

Проведем перпендикуляр из точки $O$ к прямой $a$, пусть он пересекает прямую в точке $P$.

Так как $OP = R$, точка $P$ находится на расстоянии, равном радиусу. Значит, $P$ лежит на окружности.

Если взять любую другую точку $M$ на прямой $a$, отличную от $P$, то $OM > OP = R$, значит, $M$ не принадлежит окружности.

Таким образом, только одна точка прямой принадлежит окружности. Следовательно, прямая касается окружности.

Что и требовалось доказать.

На этом уроке мы уделим особое внимание касательной, потому что она обладает свойствами, которые довольно часто применяются при решении задач, связанных с окружностью.

Задача

Окружность с центром $O$ и радиусом $8$ $см$. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $a$, если прямая касается окружности.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В каком случае прямая касается окружности?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если она пересекает окружность в двух точках.","Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса.","Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.","Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу."],"answer":[3]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/sporyat-vzroslyi-i-molodoi-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Касательная не проходит через круг, а только касается самой окружности.","Для касательной расстояние от центра до прямой совпадает с длиной радиуса."]}]}

Перпендикулярность касательной и радиуса окружности

Касательная к окружности обладает важным свойством: она всегда перпендикулярна радиусу, который можно провести в точку касания.

Данное свойство позволяет использовать прямоугольные треугольники, а значит, применять теорему Пифагора и находить длины сторон: отрезки касательных, расстояния от точки до центра окружности, длину радиуса и т. д.

Сформулируем это свойство более точно и приведем его доказательство.

Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство

Скрыть

Пусть прямая $a$ касательная, проведенная к окружности с центром $O$, и их точка касания — $P$,
Проведём радиус $OP$.

Возьмем любую другую точку $M$ на касательной. Тогда $OM > OP$, так как $OP = R$, а все другие точки на касательной находятся дальше от центра.

Значит, $OP$ — кратчайшее расстояние от центра до касательной.

Кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр $\Rightarrow$ $OP \perp a$.

Что и требовалось доказать.

Задача

Из точки $M$ проведена касательная к окружности с центром $O$ и радиусом $5$ $см$, которая касается ее в точке $P$, $MP = 12$ $см$.

Найдите длину отрезка от точки $M$ до окружности, если точка $M$ соединена с центром окружности и пересекает ее в точке $K$.

Решение

Скрыть

Отрезок $MP$ — касательная, а $OP$ — радиус, проведенный в точку касания $\Rightarrow \angle OPM = 90^\circ$, а треугольник $OMP$ — прямоугольный.

В нем: $OP = 5$, $MP = 12$,
По теореме Пифагора вычислим $OM$:

$OM^2 = OP^2 + MP^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,

$OM = \sqrt{169} = 13$.

Так как точка $K$ — это точка пересечения отрезка $OM$ с окружностью, а $OK = OP = R = 5$, то расстояние от точки $M$ до окружности равно:

$MK = OM -OK = 13 -5 = 8$.

Ответ: $MK = 8$ $см$.

{"questions":[{"content":"К окружности проведена касательная. Что можно сказать о радиусе, проведенном в точку касания?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumayushhii-razmyshlyayushhii-5-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Он параллелен касательной.","Он совпадает с касательной.","Он перпендикулярен касательной.","Он образует с касательной острый угол."],"answer":[2]}},"hints":["Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности.","Если прямая касается окружности, то радиус, соединяющий центр с точкой касания, всегда образует с ней прямой угол."]}]}

Обратная теорема о радиусе и касательной

Иногда в задаче не говорится прямо, что прямая — касательная. Вместо этого дается, что она перпендикулярна радиусу, проведенному к ней. В таком случае важно знать, что эта прямая действительно является касательной.

Теорема
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащего на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство

Скрыть

Пусть дана окружность с центром $O$ и радиусом $OP$, а прямая $a$ проходит через точку $P$, причем $OP \perp a$.

Так как $OP$ перпендикулярен прямой $a$, он является кратчайшим расстоянием от точки $O$ до этой прямой.

Значит, ни одна другая точка на прямой $a$ не может находиться от центра на расстоянии, равном радиусу.

Следовательно, только точка $P$ принадлежит окружности.

А значит, прямая $a$ касается окружности в точке $P$ и является касательной к ней.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"К окружности проведена прямая. В каком случае она будет являться касательной?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/progress-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Если проходит через центр окружности.","Если пересекает окружность в двух точках.","Если перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.","Если ее длина равна радиусу."],"answer":[2]}},"hints":["Если прямая касается окружности, то у них всего одна общая точка.","Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу называется касательной."]}]}

Теорема о двух касательных

Представьте, что вне окружности находится точка. Из этой точки можно провести две касательные — одну в одну сторону, другую в другую. Эти касательные дотрагиваются до окружности в разных точках, но ведут себя одинаково: отрезки от внешней точки до точек касания всегда равны между собой.

Благодаря этому можно легко доказывать равенство треугольников, находить длины отрезков и упрощать решение громоздких геометрических задач.

Теорема
Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные, то отрезки этих касательных от внешней точки до точек касания равны, а также равны углы между каждой касательной и прямой, соединяющей внешнюю точку с центром окружности.

Доказательство

Скрыть

Пусть из точки $M$, лежащей вне окружности, проведены касательные $MA$ и $MB$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$, $B$ и $M$.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, следовательно $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$ $\Rightarrow$ треугольники $AOM$ и $BOM$ прямоугольные.

У них: $AO = OB$ — радиусы, $OM$ — общая сторона, значит, они равны по катету и гипотенузе.

Из равенства фигур следует равенство соответствующих элементов, поэтому $AM = BM$, а $\angle AOM = \angle BOM$.

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы

Посмотрим на чертеж, прикрепленный к доказательству теоремы, немного шире: два треугольника образуют один четырехугольник $OAMB$. Известно, что сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Углы $A$ и $B$ прямые, следовательно их сумма $180^\circ$. Таким образом, сумма противоположных углов $AMB$ и $AOB$ также равна $180^\circ$.

Углы, заключенные между касательными и радиусами, проведенными в точки касания, в сумме дают $180^\circ$.

Данное знание поможет вам значительно сокращать решение задач. Рассмотрим задачу и решим ее двумя разными способами.

Задача

Из точки $M$ вне окружности проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$.
Известно, что $MA = 10$ $см$, а угол $AMO = 30^\circ$.

Найдите угол $AOB$.

Способ № 1

Скрыть

Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то
$\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$ $\Rightarrow \triangle AOM$ и $ \triangle BOM$ — прямоугольные.

По теореме о двух касательных:
$\angle AMO = \angle BMO = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит:
$\angle AOM = 90^\circ -30^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, в треугольнике $OMB$:
$\angle BOM = 60^\circ$.

Следовательно, $\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 120^\circ$.

Способ № 2

Скрыть

Как видно, второй способ решения в два раза короче.

{"questions":[{"content":"Из точки вне окружности проведены две касательные. Что можно сказать об этих касательных?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Они пересекаются в центре окружности.","Они имеют разные длины.","Они равны по длине.","Одна из них проходит через центр окружности."],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/ege_ok-01.svg","width":"300"}},"hints":["Обе касательные начинаются в одной точке и касаются окружности в разных местах.","Если из одной точки к окружности проведены две касательные, их длины всегда равны."]}]}

Интерактив

С помощью данного задания вы сможете разобраться, чем отличается касательная к окружности от секущей и от прямой, не имеющей с окружностью общих точек.

Вы можете перетаскивать красную и зелёную точки, чтобы менять положение прямой. В зависимости от расположения линия будет: секущей — если пересекает окружность в двух точках, касательной — если касается окружности ровно в одной точке, или вовсе не будет пересекать окружность.

Часто задаваемые вопросы