Вписанная и описанная окружности

Этот тест поможет разобраться, чем отличается вписанная окружность от описанной и где находятся их центры. Мы потренируемся применять свойства таких окружностей в задачах и научимся уверенно отличать одну окружность от другой.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Где находится центр вписанной окружности треугольника?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumayushhii-razmyshlyayushhii-5-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["В точке пересечения медиан.","В точке пересечения высот.","В точке пересечения серединных перпендикуляров.","В точке пересечения биссектрис"],"explanations":["","","В этой точке лежит центр описанной окружности.",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника, вне зависимости от его вида.","Эти прямые делят углы пополам."],"id":"0"},{"content":"Что находится в точке пересечения биссектрис треугольника?[[image-26]][[choice-39]]","widgets":{"image-26":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"},"choice-39":{"type":"choice","options":["Центр описанной окружности.","Центр вписанной окружности.","Центр вневписанной окружности.","Медиацентр."],"explanations":["Такой центр лежит на точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.","Центр окружности, вписанной в треугольник, находится именно в этой точке."],"id":"0"},{"content":"Где находится центр описанной окружности треугольника?[[image-89]][[choice-110]]","widgets":{"image-89":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/drevnii-obrazavr-zharit-myaso-na-kostre-01.svg","width":"300"},"choice-110":{"type":"choice","options":["В точке пересечения медиан.","В точке пересечения биссектрис.","В точке пересечения серединных перпендикуляров.","В точке пересечения высот."],"explanations":["","В этой точке находится центр вписанной окружности.","",""],"answer":[2]}},"hints":["Центр описанной окружности может находиться как внутри треугольника, так и вне его — зависит от углов треугольника.","Эти прямые проходят через середины сторон треугольника и перпендикулярны им."],"id":"1"},{"content":"Что находится в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника?[[image-184]][[choice-213]]","widgets":{"image-184":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/ispantsy3-01.svg","width":"299"},"choice-213":{"type":"choice","options":["Центр описанной окружности.","Центр вписанной окружности.","Центр вневписанной окружности.","Центр зала."],"explanations":["","такой центр находится на точке пересечения биссектрис.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.","В ней находится центр окружности, проходящей через все вершины треугольника."],"id":"1"},{"content":"В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, где $AB$ и $CD$ — противоположные стороны. Выберите верное утверждение.[[image-307]][[choice-64]]","widgets":{"image-307":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/futbolisty-01-01.svg","width":"300"},"choice-64":{"type":"choice","options":["$AB + CD = AD + BC$","$\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$","$AB = CD$","$\\angle B = \\angle D$"],"explanations":["","Данное утверждение верно, если около четырехугольника описана окружность.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Окружность можно вписать в четырехугольник не всегда — для этого должно выполняться особое условие для сторон.","Суммы противоположных сторон будут равны."],"id":"2"},{"content":"Около четырехугольника $ABCD$ описана окружность. Выберите верное утверждение.[[image-462]][[choice-503]]","widgets":{"image-462":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/hokkey_1-01.svg","width":"299"},"choice-503":{"type":"choice","options":["$\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$","$AB + CD = AD + BC$","$\\angle A = \\angle C$","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$"],"explanations":["","Данное выражение верно, если окружность вписана в четырехугольник.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Если окружность проходит через все вершины, обратите внимание на противоположные углы.","Сумма противоположных углов в таком четырехугольнике всегда равна $180^\\circ$."],"id":"2"},{"content":"При каком условии около четырехугольника можно описать окружность?[[image-655]][[choice-704]]","widgets":{"image-655":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/ege_ok-01.svg","width":"300"},"choice-704":{"type":"choice","options":["Противоположные стороны равны.","Сумма противоположных сторон равна.","Сумма противоположных углов равна $180^\\circ$.","Один из углов тупой."],"explanations":["","Так происходит, когда окружность вписана в четырехугольник.","",""],"answer":[2]}},"hints":["Через все вершины можно провести окружность только при особом угловом условии.","Если $\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$, то такой четырехугольник можно вписать в окружность."],"id":"3"},{"content":"При каком условии в четырехугольник можно вписать окружность?[[image-853]][[choice-910]]","widgets":{"image-853":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/portret-01.svg","width":"300"},"choice-910":{"type":"choice","options":["Противоположные углы равны.","Сумма противоположных углов равна $180^\\circ$.","Противоположные стороны равны.","Суммы противоположных сторон равны."],"explanations":["","Данное утверждение верно, если около четырехугольника описана окружность.","",""],"answer":[3]}},"hints":["Если в четырехугольник можно<br />вписать окружность, то должно выполняться определенное условие, которое касается длин его сторон.","Окружность можно вписать внутрь четырехугольника, когда суммы его противоположных сторон равны."],"id":"3"},{"content":"В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 7$ $см$, $CD = 5$ $см$, $AD = 6$ $см$. Найдите длину стороны $BC$.[[image-1056]][[choice-478]]","widgets":{"image-1056":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01-5.svg","width":"299"},"choice-478":{"type":"choice","options":["$6$ $см$","$8$ $см$","$4$ $см$","$7$ $см$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Поскольку в четырехугольник вписана окружность, выполняется равенство: $AB + CD = AD + BC$.","Подставим известные значения и вычислим $BC$:<br />$$7 + 5 = 6 + BC,$$<br />$$BC = 6.$$<br /><br />Ответ: $BC = 6$ $см$."],"id":"4"},{"content":"Вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. Известно, что $\\angle A = 75^\\circ$, $\\angle D = 95^\\circ$. Найдите величину угла $\\angle C$.[[image-1426]][[choice-1495]]","widgets":{"image-1426":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/5-01-5.svg","width":"299"},"choice-1495":{"type":"choice","options":["$85^\\circ$","$95^\\circ$","$105^\\circ$","$115^\\circ$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Если около четырехугольника описана окружность, то сумма противоположных углов равна $180^\\circ$.","$\\angle A + \\angle C = 180^\\circ$.<br />Подставим известные данные:<br /><br />$$75^\\circ + \\angle C = 180^\\circ,$$<br />$$\\angle C = 105^\\circ.$$<br /><br />Ответ: $\\angle C = 105^\\circ$."],"id":"4"},{"content":"Четырехугольник вписан в окружность. Один из его углов равен $90^\\circ$. Что это за фигура?[[image-1884]][[choice-746]]","widgets":{"image-1884":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/obrazavr-na-kube-01.svg","width":"300"},"choice-746":{"type":"choice","options":["Прямоугольник или квадрат","Прямоугольная трапеция","Ромб","Параллелограмм"],"explanations":["","Прямоугольную трапецию нельзя вписать в окружность.","Ромб нельзя вписать в окружность.","Параллелограмм нельзя вписать в окружность."],"answer":[0]}},"hints":["В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\\circ$.","Если один из углов равен $90^\\circ$, то противоположный угол также будет $90^\\circ$.","Четырехугольник, у которого противоположные углы прямые, — прямоугольник или квадрат."],"id":"5"},{"content":"В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 31$ $см$, $CD = 28$ $см$. Найдите периметр четырехугольника.[[image-2209]][[choice-2290]]","widgets":{"image-2209":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01-5.svg","width":"300"},"choice-2290":{"type":"choice","options":["$116$ $см$","$118$ $см$","$106$ $см$","$108$ $см$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:<br /><br />$AB + CD = AD + BC = 31 + 28 = 59$.","Значит, периметр четырехугольника:<br /><br />$P = 2 \\cdot 59 = 118$.<br /><br />Ответ: $P = 118$ $см$."],"id":"5"}],"mix":1}</textarea></pre></div>