Окружность и круг. Хорда и диаметр

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Радиус окружности с центром $O$ равен $6$ см. Распределите точки по расстоянию до $O$: на окружности, внутри круга (не на окружности) или вне круга.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["На окружности","Внутри круга","Вне круга"],"items":[["$OK = 6$ см"],["$OL = 3$ см","$OM = 5{,}8$ см"],["$ON = 6{,}3$ см","$OP = 12$ см"]]}},"hints":["Меньше $6$ см — внутри, ровно $6$ см — на окружности, больше — вне.","$6$ — на окружности; $3$ и $5{,}8$ — внутри; $6{,}3$ и $12$ — вне."],"step":1},{"id":"1","content":"Диаметр окружности с центром $O$ равен $7$ см. Распределите точки по расстоянию до $O$: на окружности, внутри круга (не на окружности) или вне круга.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["На окружности","Внутри круга","Вне круга"],"items":[["$OA = 3{,}5$ см"],["$OB = 3$ см","$OC = 1$ см"],["$OD = 4$ см","$OE = 7$ см"]]}},"hints":["Радиус равен половине диаметра: $7 : 2 = 3{,}5$ см.","$3{,}5$ — на окружности; $3$ и $1$ — внутри; $4$ и $7$ — вне."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте описание и название.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Отрезок, соединяющий две точки окружности","Хорда, проходящая через центр","Отрезок, соединяющий центр с точкой окружности"],"items":["Хорда","Диаметр","Радиус","Круг"]}},"hints":["Хорда соединяет две точки окружности; диаметр — хорда через центр; радиус — от центра до точки окружности.","Ответ: две точки окружности — хорда; через центр — диаметр; центр и точка окружности — радиус."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте описание и название.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Все точки плоскости на расстоянии $r$ от центра","Все точки плоскости на расстоянии не больше $r$ от центра","Хорда, проходящая через центр"],"items":["Окружность","Круг","Диаметр","Радиус"]}},"hints":["Окружность — точки на данном расстоянии от центра; круг — еще и все точки внутри; диаметр — хорда через центр.","Ответ: все точки на расстоянии $r$ — окружность; не дальше $r$ — круг; хорда через центр — диаметр."],"step":1},{"id":"3","content":"$AB$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle AOB = 124^\\circ$. Найдите угол $OBA$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$OA = OB$ как радиусы, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный, и углы при хорде $AB$ равны: $\\angle OAB = \\angle OBA$.","$\\angle OBA = (180^\\circ-124^\\circ) : 2 = 28^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"$MN$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle OMN = 34^\\circ$. Найдите угол $MON$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"112"}},"hints":["$OM = ON$ как радиусы: $\\angle ONM = \\angle OMN = 34^\\circ$.","$\\angle MON = 180^\\circ-34^\\circ-34^\\circ = 112^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"$AB$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle AOB = 80^\\circ$. Решавр пишет: «$\\angle OAB = 80^\\circ : 2 = 40^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle OAB = 180^\\circ-80^\\circ = 100^\\circ$","Равны углы при хорде: $\\angle OAB = (180^\\circ-80^\\circ) : 2 = 50^\\circ$","$\\angle OAB = 80^\\circ$: треугольник равносторонний","Ошибки нет: $40^\\circ$ верно"],"explanations":["$100^\\circ$ — сумма двух углов при хорде; ее нужно разделить на два","","Равносторонний треугольник был бы при $\\angle AOB = 60^\\circ$","Сумма углов треугольника $AOB$ тогда $160^\\circ$, а не $180^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте суммой: $80^\\circ + 40^\\circ + 40^\\circ = 160^\\circ \\ne 180^\\circ$.","$OA = OB$ как радиусы, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный, и углы при хорде $AB$ равны: $\\angle OAB = \\angle OBA$.","Ответ: $\\angle OAB = (180^\\circ-80^\\circ) : 2 = 50^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"$CD$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle OCD = 25^\\circ$. Решавр пишет: «Угол при хорде — половина центрального, значит, $\\angle COD = 2 \\cdot 25^\\circ = 50^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\angle COD = 50^\\circ$","$\\angle COD = 180^\\circ-25^\\circ = 155^\\circ$","Правило «половина центрального» неверно: $\\angle COD = 180^\\circ-2 \\cdot 25^\\circ = 130^\\circ$","$\\angle COD = 25^\\circ$: все углы треугольника радиусов равны"],"explanations":["Сумма углов треугольника $COD$ тогда $100^\\circ$","Забыт второй угол при хорде $\\angle ODC = 25^\\circ$","","Равны только углы при хорде, против равных радиусов"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте суммой: $50^\\circ + 25^\\circ + 25^\\circ = 100^\\circ \\ne 180^\\circ$.","$OC = OD$: треугольник $COD$ равнобедренный, $\\angle ODC = 25^\\circ$.","Ответ: $\\angle COD = 180^\\circ-25^\\circ-25^\\circ = 130^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Диаметр $CD$ окружности перпендикулярен хорде $AB$ и пересекает ее в точке $H$, $AH = 7$ см. Найдите $AB$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.","$HB = AH = 7$ см, $AB = 7 + 7 = 14$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Хорда $MN$ окружности с центром $O$ равна $18$ см, $OK \\perp MN$, точка $K$ лежит на $MN$. Найдите $KN$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$OK$ лежит на диаметре, перпендикулярном хорде. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.","$KN = 18 : 2 = 9$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ (не диаметр) в точке $X$, $AX = 4$ см, $XB = 6$ см. Может ли $CD$ быть перпендикулярен $AB$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нет: перпендикулярный диаметр делил бы хорду пополам, а $4 \\ne 6$","Да: диаметр может пересекать хорду под любым углом, в том числе под прямым","Нельзя ответить, не измерив угол на чертеже","Да, если радиус равен $5$ см: тогда $AB = 10$ см $= 2r$"],"explanations":["","Под прямым углом — только если $AX = XB$, а здесь $4 \\ne 6$","Можно: при прямом угле теорема дает $AX = XB$, а $4 \\ne 6$","Хорда длиной $2r$ — диаметр, а $AB$ по условию не диаметр; и части $4$ и $6$ все равно не равны"],"answer":[0]}},"hints":["Предположите, что $CD \\perp AB$. Что тогда говорит теорема о частях хорды?","Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Значит, при прямом угле было бы $AX = XB$.","Ответ: нет, ведь $4 \\ne 6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Хорда $KL$ (не диаметр) окружности с центром $O$ пересекает диаметр в точке $X$, $KX = 3$ см, $XL = 5$ см. Решавр пишет: «Диаметр перпендикулярен хорде, ведь он ее пересекает». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: любой диаметр перпендикулярен хорде, которую пересекает","Перпендикулярный диаметр делил бы хорду пополам, а $3 \\ne 5$","Диаметр перпендикулярен, но хорда задана неверно","Диаметр перпендикулярен, если $KL < 2r$"],"explanations":["Тогда он делил бы ее пополам, а $KX \\ne XL$","","Хорда задана верно; неверен вывод о перпендикулярности","Любая хорда, кроме диаметра, короче $2r$; это ничего не говорит об угле"],"answer":[1]}},"hints":["Если бы диаметр был перпендикулярен $KL$, он делил бы хорду пополам, и $KX = XL$.","А $3 \\ne 5$, значит, диаметр не перпендикулярен хорде.","Ответ: пересечение не дает прямого угла."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Хорда окружности равна $11$ см. Какое число может быть радиусом этой окружности?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$4$ см","$5$ см","$6$ см","$5{,}4$ см"],"explanations":["Диаметр $8$ см короче хорды $11$ см","Диаметр $10$ см короче хорды $11$ см","","Диаметр $10{,}8$ см короче хорды $11$ см"],"answer":[2]}},"hints":["Хорда не длиннее диаметра: $2r \\ge 11$, то есть $r \\ge 5{,}5$ см.","Из чисел подходит только $6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Хорда окружности равна $15$ см. Какое число может быть радиусом этой окружности?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$8$ см","$7$ см","$7{,}4$ см","$5$ см"],"explanations":["","Диаметр $14$ см короче хорды $15$ см","Диаметр $14{,}8$ см короче хорды $15$ см","Диаметр $10$ см короче хорды $15$ см"],"answer":[0]}},"hints":["Хорда не длиннее диаметра: $2r \\ge 15$, то есть $r \\ge 7{,}5$ см.","Из чисел подходит только $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны, $\\angle OCD = 31^\\circ$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"118"}},"hints":["$OC = OD$: $\\angle ODC = 31^\\circ$, $\\angle COD = 180^\\circ-62^\\circ = 118^\\circ$.","$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по трем сторонам (радиусы и равные хорды), значит, $\\angle AOB = \\angle COD$.","$\\angle AOB = 118^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны, $\\angle AOB = 48^\\circ$. Найдите угол $ODC$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"66"}},"hints":["$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по трем сторонам (радиусы и равные хорды): $\\angle COD = 48^\\circ$.","$OC = OD$: углы при хорде $CD$ равны.","$\\angle ODC = (180^\\circ-48^\\circ) : 2 = 66^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"$AB$ — диаметр окружности с центром $O$, точка $C$ лежит на окружности, $\\angle AOC = 64^\\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Углы $AOC$ и $BOC$ смежные: $\\angle BOC = 180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$.","$OB = OC$ как радиусы: в треугольнике $BOC$ углы при $B$ и $C$ равны.","$\\angle ABC = (180^\\circ-116^\\circ) : 2 = 32^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"$MN$ — диаметр окружности с центром $O$, точка $K$ лежит на окружности, $\\angle NOK = 110^\\circ$. Найдите угол $KMN$. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"55"}},"hints":["Углы $NOK$ и $MOK$ смежные: $\\angle MOK = 180^\\circ-110^\\circ = 70^\\circ$.","$OM = OK$ как радиусы: в треугольнике $MOK$ углы при $M$ и $K$ равны.","$\\angle KMN = (180^\\circ-70^\\circ) : 2 = 55^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Диаметр $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярен хорде $AB$ и пересекает ее в точке $H$. Расставьте шаги доказательства того, что $AH = HB$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$OA = OB$ как радиусы, треугольник $AOB$ равнобедренный","$OH \\perp AB$, значит, $OH$ — высота к основанию $AB$","Высота к основанию равнобедренного треугольника — медиана","Значит, $AH = HB$"]}},"hints":["Начните с радиусов $OA$ и $OB$.","В равнобедренном треугольнике высота к основанию — медиана."],"step":1},{"id":"10","content":"Хорда $MN$ окружности с центром $O$ не проходит через $O$. Расставьте шаги доказательства того, что серединный перпендикуляр к $MN$ проходит через центр $O$, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$OM = ON$ как радиусы","Значит, точка $O$ равноудалена от концов хорды $MN$","Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре","Значит, серединный перпендикуляр к $MN$ проходит через $O$"]}},"hints":["Начните с радиусов $OM$ и $ON$: что они говорят о точке $O$?","Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре."],"step":1}]}</textarea></pre></div>