Карточки
Тесты
Зави
Окружность и круг. Хорда и диаметр
Окружность и круг. Хорда и диаметр
В уроке «Геометрическое место точек» мы выяснили, что каждое условие на точку оставляет «след» — фигуру из всех точек с этим свойством. В этом уроке разберем самый знакомый след — окружность. Узнаем, чем окружность отличается от круга, что такое хорда и диаметр, и докажем их главные свойства: когда диаметр делит хорду пополам и почему диаметр — самая длинная хорда.
Окружность — след ножки циркуля
Почему крышки канализационных люков обычно делают круглыми? Одна из причин — геометрическая, и к концу урока у нас будет точный ответ.
Поставим иглу циркуля в точку $O$, раствор — 3 см. Грифель оставляет след, и каждая точка следа находится на расстоянии 3 см от $O$. Обратно, любую точку на расстоянии 3 см от $O$ грифель пройдет. Значит, след — это все точки на расстоянии 3 см от $O$, и только они, то есть геометрическое место точек.
Определение
Окружность — фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр окружности. Отрезок, соединяющий центр с точкой окружности, и его длина $r$ — радиус.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью: все точки на расстоянии не больше $r$ от центра.
Окружность — линия, а круг — часть плоскости. Если рисовать окружности с тем же центром, уменьшая раствор от $r$ до нуля, грифель закрасит весь круг. Поэтому положение точки $X$ определяет одно сравнение: $OX < r$ — точка внутри круга, $OX = r$ — на окружности, $OX > r$ — вне круга.
Главный перевод этого урока: «точка лежит на окружности» значит «точка находится на расстоянии $r$ от центра». Все радиусы одной окружности равны, поэтому на чертежах мы отмечаем их одинаковыми штрихами.
Определение
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина $2r$. Две точки окружности делят ее на две части — дуги.
Хорда и два радиуса дают равнобедренный треугольник
Проведем хорду $AB$, не проходящую через центр, и радиусы $OA$ и $OB$. Точки $A$ и $B$ лежат на одном следе циркуля, поэтому $OA = OB = r$. Получился треугольник $AOB$ с двумя равными сторонами — равнобедренный (урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»). Угол $AOB$ с вершиной в центре окружности называют центральным углом.
Правило
В треугольнике радиусов $AOB$ углы при хорде равны: $\angle OAB = \angle OBA$ — они лежат против равных сторон $OB$ и $OA$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ (урок «Сумма углов треугольника»), поэтому по одному углу находятся два других:
$$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ-\angle AOB) : 2$$
Пример
$AB$ — хорда окружности с центром $O$, $\angle OAB = 36^\circ$. Найдите угол $AOB$.
Решение. $OA = OB$ как радиусы, поэтому $\angle OBA = \angle OAB = 36^\circ$. По сумме углов треугольника $\angle AOB = 180^\circ-36^\circ-36^\circ = 108^\circ$. Проверка: $108^\circ + 36^\circ + 36^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $108^\circ$.
Ошибка
Дано: $\angle AOB = 130^\circ$, нужно найти $\angle OAB$. Решавр рассуждает: «Треугольник равнобедренный, значит, угол делится пополам: $\angle OAB = 130^\circ : 2 = 65^\circ$».
Проверим суммой углов треугольника $AOB$: $130^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 260^\circ \ne 180^\circ$.
Где сломалось: пополам делится угол $O$ — высотой $OH$ (пунктир на рисунке). А $\angle OAB$ — угол с вершиной $A$, он не часть угла $O$. Равны углы при хорде, против равных радиусов: $\angle OAB = (180^\circ-130^\circ) : 2 = 25^\circ$.
Когда диаметр делит хорду пополам
Перегнем кальку с окружностью по любой прямой, проходящей через центр $O$. Центр остается на месте, а каждая точка окружности ложится снова на окружность — на том же расстоянии $r$ от $O$. Окружность ложится сама на себя: любая прямая через центр — ее ось симметрии (урок «Осевая симметрия»).
Возьмем хорду $AB$ и диаметр $CD$, перпендикулярный ей; $H$ — их общая точка. Перегнем кальку по $CD$. При сгибе точка $A$ переходит в точку на перпендикуляре к линии сгиба, то есть на прямой $AB$, и остается на окружности. На кальке видно: $A$ ложится на $B$, отрезок $HA$ — на $HB$.
Теорема
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Калька показывает один чертеж, а доказательство нужно для любого. Пусть хорда $AB$ не проходит через центр. $OA = OB$ как радиусы, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. $OH \perp AB$, значит, $OH$ — высота к основанию, а в равнобедренном треугольнике она же медиана (урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»): $AH = HB$. Если хорда $AB$ сама диаметр, то $H$ — центр $O$, и $AO = OB$ как радиусы.
Пример
Хорда $AB = 10$ см, $\angle AOB = 120^\circ$. Диаметр $CD$ перпендикулярен $AB$ и пересекает ее в точке $H$. Найдите $AH$ и $\angle OAB$.
Решение. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам: $AH = 10 : 2 = 5$ см. $OA = OB$, поэтому $\angle OAB = (180^\circ-120^\circ) : 2 = 30^\circ$.
Ответ: $5$ см и $30^\circ$.
Ошибка
Решавр запомнил «диаметр делит хорду пополам» без слова «перпендикулярный». Проверим на числах. Радиус окружности 5 см, хорда $AB = 8$ см, $OH \perp AB$, $OH = 3$ см. Диаметр пересекает хорду в точке $X$ под углом $45^\circ$. Решавр пишет: $AX = XB = 4$ см.
Посчитаем точно. По теореме $AH = HB = 4$ см. В треугольнике $OHX$ угол $H$ прямой, угол $X$ равен $45^\circ$, значит, угол $O$ тоже $45^\circ$ — треугольник равнобедренный, $HX = OH = 3$ см. Тогда $AX = 4 + 3 = 7$ см, $XB = 4-3 = 1$ см.
Где сломалось: при сгибе по диаметру точка $A$ переходит по перпендикуляру к линии сгиба. Если хорда не перпендикулярна диаметру, $A$ уходит с прямой $AB$ и на $B$ не попадает. Без прямого угла теорема не работает.
Проверьте сами: поворачивайте диаметр и сравнивайте части хорды.
Обратная теорема и поиск центра
Теперь наоборот: диаметр $CD$ проходит через середину $M$ хорды $AB$. Обязательно ли он перпендикулярен хорде?
Теорема
Диаметр, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен ей.
Доказательство. $OA = OB$ как радиусы, треугольник $AOB$ равнобедренный. $AM = MB$, поэтому $OM$ — медиана к основанию, а она же высота: $OM \perp AB$. Прямая $OM$ — это диаметр $CD$, значит, $CD \perp AB$.
Важно
Оговорка «хорда не является диаметром» нужна. Возьмем два диаметра под углом $70^\circ$: каждый проходит через середину другого — центр $O$, — но они не перпендикулярны. Для такой хорды в доказательстве нет треугольника $AOB$: точка $O$ лежит на самой хорде.
Еще одно следствие — через знакомый сгиб. В уроке «Геометрическое место точек» серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ был сгибом, кладущим $A$ на $B$, и геометрическим местом точек, равноудаленных от $A$ и $B$. Центр $O$ равноудален от концов любой хорды: $OA = OB = r$, поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к ней.
Следствие
Серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр окружности. Поэтому центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к двум непараллельным хордам.
Так находят центр нарисованной окружности (урок «Задачи на построение циркулем и линейкой»): центр там, где пересеклись два следа. Как найти центр тарелки по ее осколку, разобрано в уроке «Вписанная и описанная окружности».
Самая длинная хорда и круглая крышка люка
Сравним с диаметром хорду $AB$, не проходящую через центр. Путь $A \to O \to B$ состоит из двух радиусов, его длина $2r$ — ровно диаметр. А в треугольнике $AOB$ каждая сторона меньше суммы двух других (урок «Неравенства в треугольнике»): $AB < OA + OB = 2r$.
Теорема
Диаметр — наибольшая хорда окружности: любая хорда, не проходящая через центр, короче $2r$, а хорда, проходящая через центр, равна $2r$.
Например, в окружности радиуса 3 см нет хорды длиннее 6 см, а хорда длиной ровно 6 см обязательно проходит через центр. Это вы видели в задании 4 интерактива: $AB = 8$ только тогда, когда хорда проходит через центр.
Теперь ответ про люк. Крышка лежит на бортике, поэтому диаметр крышки больше ширины отверстия, то есть диаметра его круга. Пусть крышка проваливается. В какой-то момент ее центр окажется ровно на уровне отверстия, и в отверстии будет отрезок крышки, проходящий через ее центр, — весь диаметр крышки. Но любой отрезок в отверстии — часть хорды, поэтому он не длиннее ширины отверстия, а она меньше диаметра крышки. Значит, круглая крышка провалиться не может.
С квадратной крышкой иначе. Диагональ квадратного отверстия — гипотенуза прямоугольного треугольника, она длиннее стороны. Если бортик узкий, крышку можно поставить на ребро вдоль диагонали и уронить в колодец. Есть и другие причины круглой формы: такую крышку удобно катить и не нужно поворачивать.
Поворот кальки: равные хорды
Скопируем хорду $AB$ вместе с радиусами $OA$ и $OB$ на кальку и повернем кальку вокруг центра $O$. Концы хорды движутся по следу циркуля и остаются на окружности, поэтому копия ложится хордой $CD$ той же длины и с тем же центральным углом. Говорят, что хорда $AB$ стягивает центральный угол $AOB$: она соединяет точки его сторон на окружности.
Теорема
Равные хорды стягивают равные центральные углы. Обратно: если центральные углы равны, то равны и хорды, которые их стягивают.
Доказательство. Пусть $AB = CD$ и хорды не проходят через центр. Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по трем сторонам: $OA = OC$ и $OB = OD$ — радиусы, $AB = CD$ (урок по признакам равенства треугольников). Значит, $\angle AOB = \angle COD$. Обратно, если $\angle AOB = \angle COD$, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, и $AB = CD$. Если одна из равных хорд — диаметр, то и другая — диаметр (раздел выше), а оба угла развернутые.
Пример
Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны, $\angle AOB = 70^\circ$. Найдите угол $OCD$.
Решение. Равные хорды стягивают равные центральные углы: $\angle COD = 70^\circ$. $OC = OD$, поэтому $\angle OCD = (180^\circ-70^\circ) : 2 = 55^\circ$.
Ответ: $55^\circ$.
Угол при диаметре с вершиной на окружности — прямой
Пусть $AB$ — диаметр, а $C$ — точка окружности, отличная от $A$ и $B$. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одном следе циркуля, поэтому $OA = OB = OC$. Радиус $OC$ делит треугольник $ACB$ на два треугольника радиусов, $AOC$ и $BOC$. В каждом углы при хорде равны: $\angle OCA = \angle CAB$, $\angle OCB = \angle CBA$. Радиус $OC$ делит и угол $ACB$ на два: $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = \angle CAB + \angle CBA$, и сумма углов треугольника $ACB$ равна $2 \cdot \angle ACB = 180^\circ$. Отсюда $\angle ACB = 90^\circ$.
Теорема
Если $AB$ — диаметр, $C$ — точка окружности, отличная от $A$ и $B$, то $\angle ACB = 90^\circ$.
Пример
$AB$ — диаметр окружности с центром $O$, точка $C$ лежит на окружности, $\angle CAB = 35^\circ$. Найдите остальные углы треугольника $ACB$.
Решение. $AB$ — диаметр, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. $OA = OC$, значит, $\angle OCA = 35^\circ$, и $\angle OCB = 90^\circ-35^\circ = 55^\circ$. $OB = OC$, значит, $\angle CBA = \angle OCB = 55^\circ$. Проверка: $35^\circ + 90^\circ + 55^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $90^\circ$ и $55^\circ$.
Интересный факт: окружность у Евклида
Скрыть
Окружности посвящена третья книга «Начал» Евклида (около 300 года до н. э.). В предложении 1 Евклид находит центр данного круга: строит серединный перпендикуляр к хорде — он проходит через центр — и делит пополам получившийся диаметр. В предложении 3 — обе наши теоремы о диаметре и хорде, прямая и обратная, с той же оговоркой: хорда не проходит через центр. В предложении 15 — что диаметр наибольшая хорда, в 31 — что угол при диаметре прямой.
Вывод
Окружность — след ножки циркуля, поэтому «точка на окружности» означает «$OX = r$», а все радиусы равны. Почти каждая задача урока решается одним движением: провести радиусы к концам хорды и увидеть равнобедренный треугольник.
Часто задаваемые вопросы
Окружность — линия: только точки на расстоянии $r$ от центра. Круг — часть плоскости: окружность и все точки внутри нее, на расстоянии не больше $r$. Центр принадлежит кругу, но не окружности.
Проведите радиусы к концам хорды: треугольник равнобедренный. Вычтите центральный угол из $180^\circ$ и разделите остаток на два. Проверка — сумма трех углов должна быть $180^\circ$.
Если хорда — диаметр, ее середина — центр $O$, а через центр проходит любой другой диаметр под любым углом. Поэтому «через середину» еще не значит «перпендикулярно».
Сгиб показывает, где искать равенство и когда оно есть: $A$ ложится на $B$, только если хорда перпендикулярна сгибу. Доказательство через треугольник подтверждает это для любой хорды.
В следующем уроке «Прямая и окружность. Касательная» тот же сгиб по прямой через центр объяснит, почему касательная перпендикулярна радиусу. Треугольник радиусов и диаметр, перпендикулярный хорде, часто встречаются в задачах ОГЭ по геометрии.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий